Конспект лекции по дисциплине «Численное интегрирование функций одной переменной.», pdf
Файл загружается
Благодарим за ожидание, осталось немного.
Конспект лекции по дисциплине «Численное интегрирование функций одной переменной.», текстовый формат
ЛЕКЦИЯ №5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Во многих случаях применение формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла затруднительно или невозможно из-за того, что первообразная оказывается слишком сложной или вообще не может быть выражена через элементарные функции. Кроме того, подынтегральная функция в задачах моделирования часто задается в табличной форме и об аналитическом представлении первообразной речь вообще не идет. В этой ситуации проблема разрешается использованием численных методов. Вначале рассмотрим интегрирование функций с использованием формул Гаусса, обладающих наивысшей алгебраической точностью. Затем приведем другие часто используемые в вычислительной практике формулы (трапеций, средних, Симпсона). 5.1. Квадратурная формула Гаусса Пусть интеграл вычисляется на стандартном интервале [1; 1] . Задача состоит в том, чтобы подобрать точки t1 ,t 2 ,...,t n и коэффициенты A1 , A2 ,..., An так, чтобы квадратурная формула 1 1 n f (t )dt Ai f (ti ) (5.1) i 1 была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени. Из приведенного ниже способа нахождения узлов t i и коэффициентов Ai следует, что эта наивысшая степень равна N 2n 1 . Запишем полином в виде f (t ) 2 n 1 a t k 0 k k Легко показать, что для того, чтобы форму- ла (5.1) была точна для полинома, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для степенных функций t при k 0,1,2,...,2n 1. Действительно, полагая, что согласно (5.1) k 1 n 1 i 1 k k t dt Ai t i k 0,1, 2,...,2n 1 (5.2) получим последовательно 1 1 1 2 n 1 2 n 1 1 2 n 1 n n 2 n 1 n 1 k 0 k 0 1 k 0 i 1 i 1 k 0 i 1 f ( t )dt ak t k dt ak t k dt ak Ai tik Ai ak tik Ai f ( ti ) , т.е. на самом деле из условия справедливости (5.2) пришли к формуле (5.1). Таким образом, система (5.2) дает 2 n соотношений для определения 2 n неизвестных Ai и t i . При этом 1 k t dt 1 2 1 (1) k 1 , при k четном k 1 k 1 , при k нечетном 0 Итак, согласно (5.2) коэффициенты Ai и узлы t i находятся из системы 2 n уравнений n Ai 2, i 1 n Ai t i 0, i 1 n 2 2 Ai t i , 3 i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n A t 2 n 1 0. i i i 1 (5.3) Система (5.3) нелинейная, и ее решение найти довольно трудно. Рассмотрим следующий прием нахождения Ai и t i . Для этого нам понадобятся полиномы Лежандра, которые определяются по формуле Pn ( x) 1 dn [( x 2 1) n ] , n 0,1,2,... 2 n n! dx n Используя данную формулу, выпишем в качестве примера первые 4 полинома Лежандра P0 ( x), P1 ( x), P2 ( x), P3 ( x) P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x, P2 ( x ) 1 (3 x 2 1), 2 P3 ( x ) 1 (5 x 3 3 x ). 2 Полиномы Лежандра обладают рядом полезных свойств: 1) Pn (1) 1,Pn (1) (1) n , 1 2) P ( x) P n m n 0,1,2,... ; ( x)dx mn N m , N m 1 2 ; 2m 1 3) полином Лежандра Pn (x) имеет n различных и действительных корней, расположенных на интервале [1;1] . (5.4) 4) Справедливо рекуррентное соотношение Pm ( x) 1 (2m 1) x Pm1 ( x) (m 1) Pm2 ( x) . m (5.5) Теперь перейдем к рассмотрению упомянутого выше удобного способа решения нелинейной системы (5.3). Составим по узлам интегрирования многочлен n -й степени n wn ( x ) ( x x k ) k 1 . Функция f ( x) wn ( x) Pm ( x) при m n 1 есть многочлен степени не выше 2n 1 . Значит для этой функции формула Гаусса справедлива: 1 n 1 i 1 wn ( x) Pm ( x) dx Ai wn ( xi ) Pm ( xi ) 0 , так как wn ( xi ) 0 . Разложим wn (x ) в ряд по ортогональным многочленам Лежандра: n wn ( x) bk Pk ( x) , k 0 1 wn ( x) Pm ( x) dx 1 1 n bk Pk ( x) Pm ( x) bm N m 0 , 1 k 0 m n 1 , bm 0 при m n 1 . Значит wn (x ) с точностью до численного т.е. все коэффициенты множителя совпадает с Pn (x) . Таким образом, узлами формулы Гаусса являются нули многочлена Лежандра степени n . Зная t i , из линейной теперь системы первых n уравнений (5.3) легко найти коэффициенты Ai (i 1,2,..., n) . Определитель этой системы есть определитель Вандермонда. 1 Формулу 1 n f (t )dt Ai f (t1 ) , в которой t i - нули полинома Лежандра Pn (t ) , а Ai i 1 определяют из (5.3), называют квадратурной формулой Гаусса. Пример. Вывести квадратурную формулу Гаусса для случая трех узлов, т.е. n 3 . 1. Ищем корни полинома Лежандра третьей степени P3 (t ) 1 3 (5t 3t ) 0 . 2 Корни полинома: t1 3 , t 2 0, t 3 5 3 . 5 2. Из первых трех уравнений (5.3) находим коэффициенты Ai A1 A2 A3 2 , 3 3 A1 A3 0 , 5 5 3 3 2 A1 A3 . 5 5 3 Отсюда 5 8 A1 A3 , A2 . 9 9 В итоге формула Гаусса при интегрировании на промежутке [1;1] имеет вид 1 1 f (t )dt 9 [5 f ( 1 3 ) 8 f (0) 5 f ( 3 )] . 5 5 b При вычислении интеграла на произвольном интервале [a; b] |, т.е. f ( x )dx для a применения квадратурной формулы Гаусса необходимо выполнить преобразование переменной x ba ba t . 2 2 Получим f ( x)dx ba ba ba f( t ) dt , 2 1 2 2 f ( x)dx ba n Ai f ( xi ) , 2 i 1 b 1 a тогда b a где (5.6) xi ba ba ti , i 1,2,..., n ; 2 2 (5.7) здесь t i - нули полинома Лежандра Pn (t ) , т.е. Pn (t i ) 0 . Погрешность формулы Гаусса с n узлами выражается формулой Rn (b a) 2 n1 (n!) 4 ( 2 n ) f ( ) . (2n 1)[( 2n)!]3 Отсюда, в частности, следует R3 1 b a 7 (6) ( ) f ( ) , 15750 2 R4 1 b a 9 (8) ( ) f ( ) 3472875 2 ......................................................... 1 b a (12) R8 f ( ) 648984486150 2 13 и т.д. Сделаем замечание по поводу отыскания корней полинома Лежандра произвольной степени. Эта процедура выполняется численным методом, например, можно применить метод половинного деления. Сам полином строится по рекуррентной формуле (5.5), а для начала процесса используются полиномы P0 (t ) и P1 (t ) (выписаны выше). Процедура повторяется до тех пор, пока не будут найдены все n корней полинома. При этом следует учитывать свойство полиномов (5.4), согласно которому все эти корни располагаются на интервале [1; 1] , и они все действительны и различны, т.е. кратных корней нет. 5.2. Другие формулы численного интегрирования Ставится задача вычисления определенного интеграла b F f ( x )dx a (5.8) При построении нижеприведенных формул численного интегрирования используется общая идея, заключающаяся в том, что подынтегральную функцию f ( x ) заменяют интерполяционным многочленом, который легко интегрируется. Поскольку коэффициенты полинома линейным образом выражаются через значения интегрируемой функции в узлах, то имеет место соотношение n f ( x) f ( xi ) i ( x) r ( x) , (5.9) i 1 где n -количество узлов интерполяции на отрезке интегрирования [a, b] , i (x) - многочлены степени n , xi - заданные узлы интерполяции, r( x ) - остаточный член. Подставляя (5.9) в (5.8), получают формулу численного интегрирования (она называется квадратурной формулой) n F Ai f ( xi ) R, i 0 b b a a , (5.10) Ai i ( x)dx, R r ( x)dx где Ai -веса квадратурной формулы, а R - погрешность или остаточный член формулы. Понятно, что формула (5.10) точна для полинома степени n , а следовательно и для всех степеней x от 0 до n , т.е. справедливы соотношения, использованные ранее при получении системы (5.3) b n a i 0 k k x dx Ai xi при k 0,1, 2....n . При этом b k x dx a b k 1 a k 1 . k 1 (5.11) Отсюда, задаваясь количеством и расположением узлов можно, применяя (5.11), вычислить веса квадратурной формулы. Например, при n 0, x0 ab получим b a A0 , т.е. квадратурная формула име2 ет вид b f ( x)dx (b a) a f( ab ) 2 (5.12) Эта формула называется формулой средних. При n 1, x0 a, x1 b получим формулу трапеций. При n 2, x 0 a, x1 b f ( x)dx a ab , x 2 b будет построена формула Симпсона 2 (b a) f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) . 6 (5.13) Эту процедуру можно продолжить, получая новые формулы со все большим количеством узлов. Однако можно поступить иначе. Используя интерполяционный полином Лагранжа, т.е. подставляя в (5.9) в качестве функций i ( x ) лагранжевы коэффициенты L(i n ) ( x ) , и проведя интегрирование в формуле (5.10), вычислим Ai Ai ( b a )H i , где H i - коэффициенты Котеса. Существуют таблицы коэффициентов Котеса вплоть до значений n=10 Приведем сводку ряда простейших формул, используемых в практике численного интегрирования, при большом количестве узлов и постоянном расстоянии между узлами (шаге сетки). Формула трапеций: b 1 f ( x)dx h ( 2 f a f1 ... f N 1 1 fN ) , 2 b 1 R h 2 f ( x) dx O(h 2 ) , 12 a h xi xi1 const , где R - асимптотическая погрешность формулы; f i f ( xi ) - значения интегрируемой функции в узлах. Формула средних: b N f ( x)dx h f ( x i 1 a i 1 / 2 ), xi 1 / 2 xi 1 xi , 2 b 1 2 R h f ( x)dx O(h 2 ) . 24 a Формула Симпсона: b h N 1 2 f ( x)dx 3 ( f i 0 a 2i 4 f 2i 1 f 2i 2 ) , b 1 4 ( 4) R h f ( x)dx O(h 4 ) . 180 a Отметим, что если подинтегральная функция не имеет соответствующих производных, то указанный теоретический порядок точности не достигается. Так, если на отрезке интегрирования не существуют 3-я и 4-я производные, то порядок точности формулы Симпсона будет только 2-ой, O(h2).
