Справочник от Автор24
Высшая математика

Конспект лекции
«Численное интегрирование функций одной переменной.»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по высшей математике / Численное интегрирование функций одной переменной.

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Численное интегрирование функций одной переменной.», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Численное интегрирование функций одной переменной.». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Численное интегрирование функций одной переменной.», текстовый формат

ЛЕКЦИЯ №5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Во многих случаях применение формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла затруднительно или невозможно из-за того, что первообразная оказывается слишком сложной или вообще не может быть выражена через элементарные функции. Кроме того, подынтегральная функция в задачах моделирования часто задается в табличной форме и об аналитическом представлении первообразной речь вообще не идет. В этой ситуации проблема разрешается использованием численных методов. Вначале рассмотрим интегрирование функций с использованием формул Гаусса, обладающих наивысшей алгебраической точностью. Затем приведем другие часто используемые в вычислительной практике формулы (трапеций, средних, Симпсона). 5.1. Квадратурная формула Гаусса Пусть интеграл вычисляется на стандартном интервале [1; 1] . Задача состоит в том, чтобы подобрать точки t1 ,t 2 ,...,t n и коэффициенты A1 , A2 ,..., An так, чтобы квадратурная формула 1  1 n f (t )dt   Ai f (ti ) (5.1) i 1 была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени. Из приведенного ниже способа нахождения узлов t i и коэффициентов Ai следует, что эта наивысшая степень равна N  2n  1 . Запишем полином в виде f (t )  2 n 1 a t k 0 k k Легко показать, что для того, чтобы форму- ла (5.1) была точна для полинома, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для степенных функций t при k  0,1,2,...,2n  1. Действительно, полагая, что согласно (5.1) k 1 n 1 i 1 k k  t dt   Ai t i k  0,1, 2,...,2n  1 (5.2) получим последовательно 1  1 1 2 n 1 2 n 1 1 2 n 1 n n 2 n 1 n 1 k 0 k 0 1 k 0 i 1 i 1 k 0 i 1 f ( t )dt    ak t k dt   ak  t k dt   ak  Ai tik   Ai  ak tik   Ai f ( ti ) , т.е. на самом деле из условия справедливости (5.2) пришли к формуле (5.1). Таким образом, система (5.2) дает 2 n соотношений для определения 2 n неизвестных Ai и t i . При этом 1 k  t dt  1 2 1  (1) k 1   , при k четном  k  1 k 1  , при k нечетном  0 Итак, согласно (5.2) коэффициенты Ai и узлы t i находятся из системы 2 n уравнений n  Ai  2,  i 1 n  Ai t i  0,  i 1 n 2 2  Ai t i  , 3  i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n  A t 2 n 1  0. i i  i 1   (5.3) Система (5.3) нелинейная, и ее решение найти довольно трудно. Рассмотрим следующий прием нахождения Ai и t i . Для этого нам понадобятся полиномы Лежандра, которые определяются по формуле Pn ( x)  1 dn [( x 2  1) n ] , n  0,1,2,... 2 n n! dx n Используя данную формулу, выпишем в качестве примера первые 4 полинома Лежандра P0 ( x), P1 ( x), P2 ( x), P3 ( x) P0 ( x )  1, P1 ( x )  x, P2 ( x )  1 (3 x 2  1), 2 P3 ( x )  1 (5 x 3  3 x ). 2 Полиномы Лежандра обладают рядом полезных свойств: 1) Pn (1)  1,Pn (1)  (1) n , 1 2)  P ( x) P n m n  0,1,2,... ; ( x)dx   mn N m , N m  1 2 ; 2m  1 3) полином Лежандра Pn (x) имеет n различных и действительных корней, расположенных на интервале [1;1] . (5.4) 4) Справедливо рекуррентное соотношение Pm ( x)  1 (2m  1) x Pm1 ( x)  (m  1) Pm2 ( x) . m (5.5) Теперь перейдем к рассмотрению упомянутого выше удобного способа решения нелинейной системы (5.3). Составим по узлам интегрирования многочлен n -й степени n wn ( x )   ( x  x k ) k 1 . Функция f ( x)  wn ( x) Pm ( x) при m  n  1 есть многочлен степени не выше 2n  1 . Значит для этой функции формула Гаусса справедлива: 1 n 1 i 1  wn ( x) Pm ( x) dx   Ai wn ( xi ) Pm ( xi )  0 , так как wn ( xi )  0 . Разложим wn (x ) в ряд по ортогональным многочленам Лежандра: n wn ( x)   bk Pk ( x) , k 0 1  wn ( x) Pm ( x) dx  1 1 n    bk Pk ( x)  Pm ( x)  bm N m  0 , 1 k 0 m  n 1 , bm  0 при m  n  1 . Значит wn (x ) с точностью до численного т.е. все коэффициенты множителя совпадает с Pn (x) . Таким образом, узлами формулы Гаусса являются нули многочлена Лежандра степени n . Зная t i , из линейной теперь системы первых n уравнений (5.3) легко найти коэффициенты Ai (i  1,2,..., n) . Определитель этой системы есть определитель Вандермонда. 1 Формулу  1 n f (t )dt   Ai f (t1 ) , в которой t i - нули полинома Лежандра Pn (t ) , а Ai i 1 определяют из (5.3), называют квадратурной формулой Гаусса. Пример. Вывести квадратурную формулу Гаусса для случая трех узлов, т.е. n  3 . 1. Ищем корни полинома Лежандра третьей степени P3 (t )  1 3 (5t  3t )  0 . 2 Корни полинома: t1   3 , t 2  0, t 3  5 3 . 5 2. Из первых трех уравнений (5.3) находим коэффициенты Ai A1  A2  A3  2 , 3 3 A1  A3  0 , 5 5  3 3 2 A1  A3  . 5 5 3 Отсюда 5 8 A1  A3  , A2  . 9 9 В итоге формула Гаусса при интегрировании на промежутке [1;1] имеет вид 1 1  f (t )dt  9 [5 f ( 1 3 )  8 f (0)  5 f ( 3 )] . 5 5 b При вычислении интеграла на произвольном интервале [a; b] |, т.е.  f ( x )dx для a применения квадратурной формулы Гаусса необходимо выполнить преобразование переменной x ba ba  t . 2 2 Получим f ( x)dx  ba ba ba f(  t ) dt ,  2 1 2 2 f ( x)dx  ba n  Ai f ( xi ) , 2 i 1 b  1 a тогда b  a где (5.6) xi  ba ba  ti , i  1,2,..., n ; 2 2 (5.7) здесь t i - нули полинома Лежандра Pn (t ) , т.е. Pn (t i )  0 . Погрешность формулы Гаусса с n узлами выражается формулой Rn  (b  a) 2 n1 (n!) 4 ( 2 n ) f ( ) . (2n  1)[( 2n)!]3 Отсюда, в частности, следует R3  1 b  a 7 (6) ( ) f ( ) , 15750 2 R4  1 b  a 9 (8) ( ) f ( ) 3472875 2 ......................................................... 1  b  a  (12) R8    f ( ) 648984486150  2  13 и т.д. Сделаем замечание по поводу отыскания корней полинома Лежандра произвольной степени. Эта процедура выполняется численным методом, например, можно применить метод половинного деления. Сам полином строится по рекуррентной формуле (5.5), а для начала процесса используются полиномы P0 (t ) и P1 (t ) (выписаны выше). Процедура повторяется до тех пор, пока не будут найдены все n корней полинома. При этом следует учитывать свойство полиномов (5.4), согласно которому все эти корни располагаются на интервале [1; 1] , и они все действительны и различны, т.е. кратных корней нет. 5.2. Другие формулы численного интегрирования Ставится задача вычисления определенного интеграла b F   f ( x )dx a (5.8) При построении нижеприведенных формул численного интегрирования используется общая идея, заключающаяся в том, что подынтегральную функцию f ( x ) заменяют интерполяционным многочленом, который легко интегрируется. Поскольку коэффициенты полинома линейным образом выражаются через значения интегрируемой функции в узлах, то имеет место соотношение n f ( x)   f ( xi ) i ( x)  r ( x) , (5.9) i 1 где n -количество узлов интерполяции на отрезке интегрирования [a, b] , i (x) - многочлены степени n , xi - заданные узлы интерполяции, r( x ) - остаточный член. Подставляя (5.9) в (5.8), получают формулу численного интегрирования (она называется квадратурной формулой) n F   Ai f ( xi )  R, i 0 b b a a , (5.10) Ai    i ( x)dx, R   r ( x)dx где Ai -веса квадратурной формулы, а R - погрешность или остаточный член формулы. Понятно, что формула (5.10) точна для полинома степени n , а следовательно и для всех степеней x от 0 до n , т.е. справедливы соотношения, использованные ранее при получении системы (5.3) b n a i 0 k k  x dx   Ai xi при k  0,1, 2....n . При этом b k  x dx  a b k 1  a k 1 . k 1 (5.11) Отсюда, задаваясь количеством и расположением узлов можно, применяя (5.11), вычислить веса квадратурной формулы. Например, при n  0, x0  ab получим b  a  A0 , т.е. квадратурная формула име2 ет вид b  f ( x)dx  (b  a) a f( ab ) 2 (5.12) Эта формула называется формулой средних. При n  1, x0  a, x1  b получим формулу трапеций. При n  2, x 0  a, x1  b  f ( x)dx  a ab , x 2  b будет построена формула Симпсона 2 (b  a)  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 ) . 6 (5.13) Эту процедуру можно продолжить, получая новые формулы со все большим количеством узлов. Однако можно поступить иначе. Используя интерполяционный полином Лагранжа, т.е. подставляя в (5.9) в качестве функций  i ( x ) лагранжевы коэффициенты L(i n ) ( x ) , и проведя интегрирование в формуле (5.10), вычислим Ai Ai  ( b  a )H i , где H i - коэффициенты Котеса. Существуют таблицы коэффициентов Котеса вплоть до значений n=10 Приведем сводку ряда простейших формул, используемых в практике численного интегрирования, при большом количестве узлов и постоянном расстоянии между узлами (шаге сетки). Формула трапеций: b 1  f ( x)dx  h ( 2 f a  f1 ... f N 1  1 fN ) , 2 b 1 R   h 2  f ( x) dx  O(h 2 ) , 12 a h  xi  xi1  const , где R - асимптотическая погрешность формулы; f i  f ( xi ) - значения интегрируемой функции в узлах. Формула средних: b N  f ( x)dx  h f ( x i 1 a i 1 / 2 ), xi 1 / 2  xi 1  xi , 2 b 1 2 R h  f ( x)dx  O(h 2 ) . 24 a Формула Симпсона: b h N 1 2  f ( x)dx  3  ( f i 0 a 2i  4 f 2i 1  f 2i 2 ) , b 1 4 ( 4) R h  f ( x)dx  O(h 4 ) . 180 a Отметим, что если подинтегральная функция не имеет соответствующих производных, то указанный теоретический порядок точности не достигается. Так, если на отрезке интегрирования не существуют 3-я и 4-я производные, то порядок точности формулы Симпсона будет только 2-ой, O(h2).

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Автоматизация технологических процессов

Моделирование во временной области (расчет переходных процессов)

Модели и методы анализа проектных решений Лекция 10 – Моделирование во временной области (расчет переходных процессов) Введение Переходный процесс опр...

Информационные технологии

Модели и методы анализа проектных решений

№ 5267 Л.А. Гладков Н.В. Гладкова Модели и методы анализа проектных решений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государс...

Автор лекции

Л.А. Гладков, Н.В. Гладкова

Авторы

Высшая математика

Численные методы

Часть 1. ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; дать общую характерис­тику таких свойств численн...

Информатика

Классификация и структура систем компьютерной математики

Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ―Новгородский государственный уни...

Информационные технологии

Математическое моделирование в технических системах

ЛЕКЦИИ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ» 1 ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция 1. Математическое моделирование. Форма и принципы представления матем...

Электроника, электротехника, радиотехника

Вычисление определенных интегралов. Задачи электротехники, приводящие к вычислению определенных интегралов.

ЛЕКЦИЯ №5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Задачи электротехники, приводящие к вычислению определенных интегралов Круг задач электротехники, в котор...

Программирование

Интерполяция функций одной и нескольких переменных

Содержание Лекция_2 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция_3 Нелинейная интерполяция Лекция_4 НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕ...

Информационные технологии

Информационные технологии в математике

Mathcad в рамках курса «Информационные технологии в математике» Лекция 2. Вычисление и типы данных Задание переменных Переменная — это именованный объ...

Физика

Двухполюсные элементы электронных цепей

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ Элементы электронных цепей • Под элементами в теории цепей понимают не реальные у...

Высшая математика

Численные методы решения уравнений

Тема 1. Численные методы решения уравнений Уравнение называется алгебраическим, если его можно представить в виде: (1.1) Формула (1.1) – каноническая ...

Смотреть все