Численное интегрирование.

Лекция 2: Численное интегрирование. п.2 Квадратурные формулы. Квадратурная формула прямоугольника. Пусть требуется вычислить от непрерывной функции b I = ∫ f ( x)dx a Приближенное равенство b N ∫ f ( x)dx ≈ ∑ q f ( x ) i i (2.7) i =1 a где qi - некоторые числа, xi -некоторые точки отрезка a, b , называется квадратурной формулой, определяемой весами узлами xi . h h Пусть f ∈ C2 − , , h > 0.  2 2  [ ] qi и Для вычисления интеграла можно использовать квадратурную формулу h прямоугольника: 2 (2.8) ∫ f ( x)dx ≈ f h − h 2 f 0 = f (0) Квадратурная формула формулой прямоугольников с остаточным членом имеет вид h 2 (2.9) h3  h h ′ ′ f ( x ) dx = f h + f ( ξ ), ξ ∈ − ,  ∫h 24  2 2 − 2 Квадратурная формула трапеции. [ ] Пусть f ∈ C2 0, ,h тогда квадратурной формулой трапеции будем называть правую часть равенства: h (2.10) ∫ где f 0 + f1 f ( x) dx ≈ h 2 f 0 = f (0) , f1 = f (h) Квадратурная формула трапеции с остаточным членом имеет вид: h (2.11) ∫ f 0 + f1 h 3 f ( x)dx = h − f ′′(ξ ), ξ ∈ (0, h ) 2 12 Квадратурная формула Симпсона. Пусть f ∈ C4 [− h, h] h Для вычисления ∫ f ( x)dx используем параболу, проходящую через точки (− h, f (−h) ), (0, f (0) ), (h, f (h. ) ) −h Квадратурную формулу Симпсона имеет вид h ∫ (2.12) −h f ( x)dx ≈ h ( f −1 + 4 f0 + f +1 ) 3 Квадратурная формула Симпсона с остаточным членом: (3.13) h h h5 (4 ) ∫−h f ( x)dx = 3 ( f −1 + 4 f 0 + f +1 ) − 90 f (ξ ), ξ ∈ (− h, h ) Квадратурные формулы (2.6), (2.8), (2.10) называются каноническими квадратурными формулами. П.3. Усложненные квадратурные формулы. b На практике, когда требуется вычислить ∫ f ( x)dx, отрезок [a, b] разбивают на a N частей. На каждом из частичных отрезков применяют одну из канонических квадратурных формул, затем полученные результаты суммируют. Построенная таким образом квадратурная формула на [a, b] называется усложненной квадратурной формулой. При использовании квадратурных формул прямоугольников и трапеций за длину частичного отрезка удобно выбирать h, а квадратурной формулы Симпсона удобно выбирать 2h. Остановимся подробнее на применении усложненной формулы прямоугольника. Разобьем [a, b] на N равных частей. Каждый из этих частичных отрезков будем обозначать [xi , xi +1 ], где b−a x0 = a, xi = a + ih, i = 1,..., N − 1, xN = b, h = N На каждом из частичных отрезков применим квадратурную формулу прямоугольника: xi +1 (2.14) ∫ f ( x)dx ≈ f xi i+ 1 2 ⋅h f i+ 1 2   1  = f  a +  i + h ,  2   i = 0,..., N − 1 Суммируя формулы (4.1) при i = 0,..., N − 1 , устанавливаем усложненную квадратурную формулу прямоугольников: b ∫ (2.15) a    f ( x)dx = h f 1 + f 3 + ... + f 1  N− 2 2  2 Усложненная квадратурная формула прямоугольников с остаточным членом имеет вид: b ∫ a   h2 f ( x)dx = h f 1 + f 3 + ... + f 1  + (b − a) f ′′(ξ ), ξ ∈ (a, b ) N− 24 2 2  2 Если ф. f ∈ C2 [a, b ] , то разбив [a, b] на N частей запишем усложненную квадратурную формулу трапеций: b ∫ (4.6) a  f + fN  f ( x)dx ≈ h 0 + f1 + ... + f N −1   2  Усложненная квадратурная формула трапеций с остаточным членом: b (4.7) ∫ a где 2  f0 + f N  h f ( x)dx = h + f1 + ... + f N −1  − (b − a ) f ′′(ξ ), ξ ∈ (a, b )  2  12 fi = f (a + ih), h = (b − a ) / N Обозначим h = b−a , x i = a + ih, i = 0,2 N 2N На каждом из отрезков [x2i , x2i + 2 ] запишем каноническую квадратурную формулу Симпсона: x2 i + 2 ∫ x2 i f ( x)dx ≈ h ( f 2i + 4 f 2i +1 + f 2i + 2 ) 3 Усложненная квадратурная формула Симпсона: (4.8) b ∫ a N N −1 h  f ( x)dx ≈  f 0 + 4∑ f 2i −1 + 2∑ f 2i + f 2 N  3 i =1 i =1  Усложненная квадратурная формула Симпсона с остаточным членом: b ∫ a N N −1 h  h4 f ( x)dx =  f 0 + 4∑ f 2i −1 + 2∑ f 2i + f 2 N  − (b − a ) f ( 4) (ξ ), 3 i =1 i =1  180 ξ ∈ (a, b )