Частотные характеристики

Комплексные передаточные функции линейных электрических цепей Комплексная передаточная функция определяется как отношение комплексной Теория электрических цепей амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия • H U ( jω) = 1. Передаточная функция по напряжению Лекция 4. Частотные характеристики Um2 • U m1 • 2. Передаточная функция по току H i ( jω) = Im 2 • I m1 3. Комплексное передаточное сопротивление • H Z ( jω) = Um2 • I m1 • 4. Комплексная передаточная проводимость H Y ( jω) = Im 2 • U m1 4 Лекция ТЭЦ 2 Стационарные характеристики RC-цепи В общем случае комплексная передаточная функция может быть представлена так же, как и любое комплексное число в следующем виде: H( jω) = H1 (ω) + jH 2 (ω) Рассмотрим простейшую цепь переменного тока, состоящую из двух элементов: активного сопротивления R и реактивного – C, соединенных последовательно. Данная цепь представляет собой пассивный четырехполюсник, входные зажимы которого подсоединены к генератору синусоидальных колебаний (источнику электрической энергии), а выходные – к измерителю выходного напряжения Uвых (приемнику электрической энергии) Тогда модуль комплексной передаточной функции будет равен: 2 2 | H(jω) |= H(ω) = H1 (ω) + H2 (ω) аргумент ϕ( ω ) = arctg H2( ω ) H1 ( ω ) 4 Лекция ТЭЦ Отношение выходного напряжения цепи, снимаемого с зажимов 2-2, к напряжению, подаваемому на вход цепи (зажимы 1-1), называется коэффициентом передачи по напряжению напряжению: Ku Ku= =Uвых/U вых/Uвх 3 4 Лекция ТЭЦ 4 В соответствии с законом Ома для участка цепи с активным сопротивлением Uвых=IR вых=IR, откуда I=Uвх/R вх/R. В нашем случае сопротивление участка цепи складывается из последовательно соединенных активного сопротивления R и RC– –цепи будет реактивного сопротивления емкости Xc. Входное сопротивление RC носить комплексный характер Zвх=R вх=R+jX jXс с. Следовательно, и ток, и напряжение в цепи будут комплексными величинами. Сопротивление R не зависит от частоты, а сопротивление емкости изменяется обратно пропорционально частоте: 1 j . Хс = =− jω C ωC 1 j = R− . Поэтому комплексное сопротивление для RC RC--цепи будет равно равно:: Ζ вч = R + jω C ωC Угол поворота векторной суммы R и Хс относительно действительной оси зависит от соотношения величин сопротивлений и называется аргументом комплексного числа Zвх: вх: X ϕ = arctg Ток в цепи будет равен: 2 4 Лекция ТЭЦ (Или: комплексная передаточная функция по напряжению численно равна отношению выходного сопротивления цепи к входному сопротивлению). 5 Модуль комплексной передаточной функции называется амплитудночастотной характеристикой или передаточной характеристикой цепи, а аргумент комплексной передаточной функции называется фазо-частотной характеристикой цепи. 2 2 ФЧХ – ϕ = −arctg ( ω cR ) . 0.707 АЧХ ωгр ω φ(ω) ω -π/4 ФЧХ Цепь пропускает низкие частоты и не пропускает высокие частоты и является простейшим фильтром низкой частоты. Граничной частотой фильтра называется такая частота, при которой значение модуля комплексной передаточной функции в 0,707 раз меньше своего максимального значения. 2 2 4 Лекция ТЭЦ 6 Полоса частот, в которой значение модуля комплексной передаточной функции лежит в пределах от Kmax до 0,707, называется полосой прозрачности (полосой пропускания) фильтра. Она зависит от произведения RC. Входное сопротивление Ζвх = U m / Im , где U m / Im - отношение амплитуд напряжения H(ω) 1 U вх 1 i 1 jω C R+ jω C H u ( jω) = U вых ( jω) / U вх ( jω) = (1 / jω C) / (R + 1/ jω C) = 1 / (1 + jω RC) ω График зависимости входного сопротивления от частоты 2 U вых = Зависимость коэффициента передачи по напряжению от частоты входного сигнала называется комплексной передаточной функцией по напряжению: является векторной суммой активной (R) и реактивной (Хс ) составляющих входного сопротивления Zвх. В нашем случае АЧХ – H(ω) = 1 / 1 + ω R C Напряжение на выходе: U вх U вх = Ζ вх R + 1 jω C Модуль комплексного сопротивления 2 = −arctg(1/ ωCR) В данном случае, при изменении частоты входного сигнала от 0 до ∞ вектор полного входного сопротивления поворачивается от -п/2 до 0, а величина входного сопротивления изменяется от - ∞ до R. Таким образом, при неизменной амплитуде напряжения на входе цепи амплитуда выходного напряжения, снимаемого с емкости, будет изменяться с изменением частоты сигнала, подаваемого на вход. Zвх(ω) Ζвх = R + 1/ (ωC) c R и тока на входе цепи, откуда I m = U m / Zвх и U вых = I m ⋅ x c = ( U m / Zвх ) ⋅1/ ω c Следовательно, зная величину входного сопротивления цепи при данной частоте, легко определить амплитуду выходного сигнала. сигнала. Если выходное напряжение берется не с емкости как в нашем случае, а с резистора, то его величина будет отличаться от рассчитанного выше, т.к. выходное сопротивление изменилось и стало равным R. Zвх(ω) С 2 H(ω гр ) = 1 / 1 + ω гр R C = 1/ 2. Uвх -π/2 2 2 2 ωгр R C = 1, 4 Лекция ТЭЦ R Uвых откуда ωгр = 1/ RC. 7 ω 4 Лекция ТЭЦ 8 АЧХ Н(ω) Комплексная передаточная функция данной цепи 1 H u ( jω) = 0.707 U вых ( jω) R 1 = = . 1 U вх ( jω) R + 1 1+ jω C jωCR π/2 π/4 ω ωгр Модуль и аргумент КПФ 1 H(ω) = 1+ . 1 2 2 ωRC ( φ(ω) = −arctg − На граничной частоте полосы прозрачности модуль коэффициента передачи по напряжению равен 0,707 Кmax 1 H(ω) = 1+ = 1 2 2 ω гр R C 2 1 . 2 Отсюда ) 1 1 = arctg ω cR ω cR 2 = 1+ 1 2 2 ω гр R C следовательно 2 ω гр = 2 , 1 . RC Таким образом, чем больше произведение RC, тем меньше значение граничной частоты фильтра. Аналогично рассчитываются передаточные характеристики по напряжению для цепей, содержащих L и R. 4 Лекция ТЭЦ 9