Цепи переменного тока с ферромагнитными элементами

Тема 2.1 ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ФЕРРОМАГНИТНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Индуктивные элементы с сердечниками из разнообразных ферромагнитных материалов широко используются в электро- и радиотехнике. На их основе строятся двигатели, генераторы, трансформаторы различных типов, магнитные усилители, измерительные приборы, устройства записи на магнитные носители и другие устройства. Несмотря на все разнообразие конструкций, все эти устройства обобщенно можно рассматривать как магнитные цепи, состоящие из ферромагнитного магнитопровода, возможно с зазорами из немагнитных материалов, и обмоток с токами, создающими магнитный поток. Электромагнитные процессы в катушках с ферромагнитными сердечниками весьма сложны и определяются, в первую очередь, нелинейными свойствами ферромагнитного материала сердечника. Рассмотрим основные процессы, протекающие в ферромагнитных материалах при переменных магнитных потоках. 18.1. 0собенности процессов в ферромагнитных материалах при переменном магнитном потоке Для ферромагнитных материалов даже при отсутствии внешнего поля характерна самопроизвольная намагниченность отдельных участков (магнитных доменов) до состояния насыщения. При этом магнитные поля отдельных доменов ориентированы по-разному и взаимно компенсируют друг друга, в результате сердечник оказывается не намагниченным. B Остаточная индукция - B r Основная кривая намагничивания Bs - индукция насыщения H Hc - коэрцитивная Предельная петля гистерезиса сила Рис. 18.1 228 Воздействие внешнего поля на доменную структуру материала характеризует кривая намагничивания B  f H  рис. 18.1. При нарастании внешнего поля домены, намагниченные преимущественно в направлении этого поля, увеличиваются в размерах за счет уменьшения доменов намагниченных навстречу внешнему полю. Возможен также поворот доменов в направлении внешнего поля. В результате индукция в магнитопроводе быстро нарастает (начальный участок кривой намагничивания на рис. 18.1). Когда весь магнитопровод окажется намагниченным в направлении внешнего поля, ферромагнетик перейдет в состояние насыщения и, в дальнейшем, рост индукции будет незначительным (индукция насыщения BS на рис. 18.1). При уменьшении напряженности магнитного поля индукция ферромагнетика частично сохранится, в связи с явлением запаздывания или гистерезиса. Даже при снятии внешнего поля ( H  0 ) сердечник сохранит остаточную индукцию Br (см. рис. 18.1). Для полного размагничивания сердечника необходимо приложить встречно направленное внешнее поле напряженностью H C , где H C – коэрцитивная сила (см. рис. 18.1). При перемагничивании переменным полем процессы в ферромагнетике характеризуются петлей гистерезиса. На рис. 18.1 показана предельная петля гистерезиса, соответствующая намагничиванию магнитопровода до насыщения. Вершины петель гистерезиса, симметричных относительно начала координат, образуют основную кривую намагничивания, обычно приводимую в справочниках для различных ферромагнитных материалов. Процесс перемагничивания ферромагнетика сопровождается необратимыми процессами поглощения энергии – потерями на гистерезис, характерными для всех ферромагнитных материалов. Эти потери могут играть как отрицательную роль, увеличивая потери в оборудовании, так и положительную, препятствуя самопроизвольному размагничиванию ферромагнетиков, например, в устройствах хранения данных. Кроме потерь на гистерезис, для ферромагнетиков с высокой удельной проводимостью характерны потери на вихревые токи. Действительно, переменный магнитный поток создает в проводящей среде вихревое электрическое поле, сопровождающееся появлением вихревых токов. Вихревые токи разогревают сердечник и создают дополнительные потери энергии в магнитопроводе. Рассмотрим подробнее основные составляющие потерь в ферромагнетиках. 18.1.1. Потери на гистерезис Проанализируем потери на гистерезис в катушке с ферромагнитным сердечником рис. 18.2,а. Будем считать известными длину средней линии магнитопровода lC , его сечение S и число витков обмотки w . Для упро229 щения расчета положим, что в магнитопроводе нет потерь на вихревые токи, активное сопротивление обмотки равно нулю и нет магнитного потока рассеяния, замыкающегося вне магнитопровода. При сделанных допущениях можно записать: i H lС d dB ; u  e  w .  wS w dt dt (18.1) Мощность потерь в обмотке за период приложенного напряжения T (т. е. мощность потерь на гистерезис) составит T 1 PГ  u i dt  f T  T  wS dB H lС dt  f V H dB , dt w  (18.2) где V  S l С – объем магнитопровода. Вычисление интеграла в правой части (18.2) иллюстрирует рис. 18.2,б. а) i u б) B Bm h  lс -Hm S dB B 0 H d Hm H -Bm Рис. 18.2 Произведению H dB соответствует заштрихованная часть площади петли гистерезиса, а весь интеграл, следовательно, пропорционален площади всей петли гистерезиса S Г  H dB  m B m H S Г   Bmn , (18.3) где m B , m H – масштабы петли гистерезиса по осям B , H ; Bm – амплитуда магнитной индукции;  – эмпирический коэффициент, определяемый типом ферромагнетика: n  1,6 при Bm  1 Тл и n  2 при Bm  1 Тл. С учетом (18.3) мощность потерь на гистерезис определяется выражением 230 PГ  f V  Bmn . (18.4) Мощность потерь на гистерезис пропорциональна частоте f , объему ферn , приближенно характеризуюромагнитного материала V и величине  Bm щей площадь петли гистерезиса. Потери на гистерезис меньше у магнитомягких материалов с «узкой» петлей гистерезиса: электротехническая сталь, пермаллой, альсифер. 18.1.2. Потери на вихревые токи Для ферромагнитных материалов с высокой удельной проводимостью характерны потери от вихревых токов, наводимых в объеме магнитопровода переменным магнитным потоком. Для снижения потерь от вихревых токов магнитопроводы из таких материалов выполняют из тонких пластин с малым сечением, перпендикулярным направлению магнитного потока. Рассмотрим пластину магнитопровода толщиной d , шириной h и длиной средней линии l С (рис. 18.3), выполненную из материала с удельной проводимостью  . Определим мощность потерь в пластине от вихревых токов, наведенных переменным магнитным потоком    m sin t , (18.5) пронизывающим поперечное сечение пластины. Выделим в сечении пластины замкнутый контур (окружает заштрихованную область на рис. 18.3) сечением S   2 x  h . Ширину контура приближенно примем равной ширине листа. h lС dx S x  d dI Рис. 18.3 231 Переменный магнитный поток наводит в рассматриваемом контуре вихревую э.д.с. e d   m cos  t  2 f Bm S  cos  t   E m cos  t , dt действующее значение которой 2 E E m  f Bm S   4,44 f Bm S  . 2 2 (18.6) Эта э.д.с. вызовет элементарный вихревой ток dI , протекающий в охватывающей трубке с поперечным сечением l С dx и длиной 4 x  2h  2h , так как ширина листа много больше его толщины. Сопротивление этой трубки R 2h . Элементарные потери в этой трубке  l С dx 2 E 2 4,44 f B m 2 x h  . dPВ   2h R  l С dx Мощность потерь в пластине составит d 2 PВ  0 dP В  1,64 Bm2 f 2 d 2  V , (18.7) где V  d h l С – объем листа. Из соотношения (18.7) следует, что мощность потерь в единице объема стали пропорциональна удельной проводимости материала и квадратам амплитуды магнитной индукции, частоты и толщины листа. Поэтому магнитопроводы из электротехнической стали выполняют из тонких листов. При повышенных частотах используют ферриты – материалы на основе окислов железа, никеля, цинка, алюминия, магния, не имеющие потерь от вихревых токов из-за низкой проводимости. Мощности потерь на гистерезис и вихревые токи можно определить экспериментально, используя их различную зависимость от частоты PС  PГ  PВ  a f  b f 2 . (18.8) Измерение мощности потерь в стали при двух различных частотах дает систему уравнений для определения коэффициентов a и b . Амплитуда магнитной индукции в обоих опытах должна быть неизменной, т. е. необходимо выполнение условия U 1 f1  U 2 f 2 . 232 На практике мощность потерь в стали измеряют как разность полной активной мощности катушки и мощности потерь в обмотке PС  P  RОБМ I 2 . 18.1.3. Комплексная магнитная проницаемость ферромагнетика. Эквивалентные параметры катушки с ферромагнитным сердечником с учетом потерь Точное описание петли гистерезиса при динамическом изменении B и H оказывается весьма сложной задачей. Вместе с тем, если магнитопровод не входит в глубокое насыщение, то динамическая петля гистерезиса при высокой частоте изменения B и H оказывается близкой к эллипсу (рис. 18.4), в отличие от существенно нелинейной квазистатической петли гистерезиса (рис. 18.1), соответствующей медленному изменению B и H   0 . В случае магнитопровода из проводящего материала в соответствии с правилом Ленца вихревые токи оказывают размагничивающее действие и уменьшают индуктивность катушки. При этом динамическая петля гистерезиса дополнительно сглаживается, а ее площадь возрастает из-за потерь от вихревых токов. Данное свойство позволяет использовать эллипс для аппроксимации реальной динамической петли гистерезиса. B Bm Hm H Рис. 18.4 При такой аппроксимации B и H , а, следовательно, u и i обмотки, заменяются синусоидальными функциями и для их расчета можно использовать символический метод Bt   Bm sin  t : B m , (18.9) H t   H m sin  t    : H m  H m e j , (18.10) где  – угол потерь: угол, на который индукция отстает от напряженности магнитного поля за счет потерь в ферромагнетике. Для описания свойств магнитного материала вводят комплексную магнитную проницаемость   B m Bm  j    e  j     j   , e H m H m 233 (18.11) где     cos  – упругая (консервативная) составляющая магнитной проницаемости, определяющая индуктивность катушки с сердечником;     sin  – вязкая (диссипативная, поглощающая) составляющая магнитной проницаемости, характеризующая потери в сердечнике. Основанная на данной аппроксимации схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником должна содержать индуктивность и активное сопротивление, соответствующее потерям в стали. Необходимо отметить, что параметры схемы замещения будут изменяться при изменении частоты, а также действующих значений напряжения и тока. Следовательно, катушку со стальным сердечником, при данной аппроксимации, можно рассматривать как инерционный нелинейный элемент. 18.2.Уравнения, векторные диаграммы и схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником 18.2.1. Катушка со сталью без учета насыщения, потерь и потоков рассеяния Простейшая модель катушки с ферромагнитным сердечником рис. 18.5,а – линейная индуктивность. Подобная замена может быть выполнена при аппроксимации рабочего участка кривой намагничивания BH  прямой линией (рис. 18.5,б) и допущении об отсутствии гистерезиса, вихревых токов и потоков рассеяния. В этом случае магнитная проницаемость сердечника полагается постоянной:   Bm H m  const . б) а)  B Bm Р Hm S Hm  Bm l ср i H u Рис. 18.5 Следовательно, при синусоидальном напряжении на обмотке u  U m sin  t   d dt потокосцепление, э.д.с. самоиндукции и ток обмотки останутся синусоидальными функциями: 234 U     u dt   m cos  t  m sin   t   ;  2   eL   i d  u  U m sin t  ; dt U    m cos  t   I m cos t  , L L  w 2 S Bm  w 2 S    const ; w – число витков обмотки; S , l ср где L  i H m l ср l ср – сечение и длина средней линии магнитопровода. При расчетах часто используют связь амплитуды индукции с действующим значением напряжения (э.д.с. самоиндукции) обмотки U  E  4,44 f w S B m , (18.12) где f – частота напряжения на обмотке. Согласно полученным соотношениям на рис. 18.6,а построена эквивалентная схема замещения катушки, а на рис. 18.6,б ее векторная диаграмма. а) u i L б) U e E   I Рис. 18.6 При принятых допущениях намагничивающий ток катушки – чисто реактивный. 18.2.2. Катушка со сталью с учетом насыщения магнитопровода Предположим, что в катушке со сталью отсутствуют потоки рассеяния, а также потери на гистерезис и вихревые токи. В качестве зависимости BH  примем основную кривую намагничивания материала магнитопровода. Для дальнейших расчетов перестроим кривую намагничивания BH  в вебер-амперную характеристику катушки  i  рис. 18.7, где   w S B , i  H l ср w . 235 При синусоидальном приложенном напряжении u d  U m cos t  , dt (18.13) потокосцепление обмотки также будет синусоидальным  1  u dt  Um sin  t   m sin  t  .  (18.14) Соответствующий данному потокосцеплению ток обмотки i1 t  построен графически на рис. 18.7. Кривая тока имеет выраженную пикообразную форму и, очевидно, содержит нечетные гармоники (1, 3, ...).  m  2 1 i Im t1 t2 t3 t Im i t1 t2 i1 t3 i2 t Рис. 18.7 Данный результат можно получить аналитически. При аппроксимации вебер-амперной характеристики степенным полиномом ток i1  a1  b13 . (18.15) Подстановка уравнения (18.14) в (18.15) дает i1  I1m sin  t   I 3m sin 3  t  . 236 (18.16) При более высоких степенях аппроксимирующего полинома (18.15) в выражении (18.16) появятся и другие нечетные гармоники тока. Аналогичный результат можно получить и в случае если по обмотке протекает синусоидальный ток i 2  I m sin  t  . Графические построения на рис. 18.7 показывают, что из-за нелинейности  i  потокосцепление имеет уплощенные вершины, но, по-прежнему, проходит через ноль одновременно с током. В спектре потокосцепления будут только нечетные гармоники  2  1m sin  t   3m sin 3  t   ... (18.17) В общем случае при произвольной форме кривых тока и потокосцепления происходит нелинейное преобразование их спектров. Для упрощения расчетов несинусоидальные напряжения, токи и потокосцепления заменяют эквивалентными синусоидами с тем же действующим значением. Так для тока из выражения (18.16) получим: I1  I12m 2  I 32m 2  Iэ  Im э 2 ; (18.18) iэ  I э 2 sin  t  . Из-за пикообразной формы кривой тока амплитуда эквивалентной синусоиды I m э  I э 2 меньше максимального тока I m , соответствующего графику i1 t  на рис. 18.7. Введение эквивалентных синусоид соответствует замене нелинейной зависимости  i  на линейную   Lэ i рис. 18.8.  m   LЭ i  i   max Э I mЭ  min Im i Рис. 18.8 Из графиков рис. 18.8 следует, что эквивалентная индуктивность соответствует некоторой усредненной индуктивности нелинейной катушки за период изменения ее напряжения и тока, т. е. 237 Lmin  Lэ  Lmax , (18.19)   где Lmin  m  k tg  min ; Lэ  m  k tg  э ; Lmax  k tg  max . Im Im э б) а) U I U L Э   IЭ E E Рис. 18.9 Введение эквивалентных синусоид позволяет построить векторную диаграмму катушки (рис. 18.9,а) и использовать для ее расчета комплексные величины. Эквивалентная схема замещения индуктивности представлена на рис. 18.9,б. Необходимо отметить, что при изменении напряжения и тока изменится и эквивалентная индуктивность катушки со сталью, т. е. данная модель соответствует инерционному нелинейному элементу. 18.2.3. Катушка со сталью с учетом гистерезиса кривой намагничивания Рассмотрим ток, напряжение и потокосцепление катушки с ферромагнитным сердечником с учетом гистерезиса кривой намагничивания. Попрежнему будем пренебрегать потерями на вихревые токи, потоками рассеяния обмотки и ее сопротивлением. , i  i m  Im  iЭ Im i t Г  m Рис. 18.10 238 Рассмотрим ток катушки индуктивности, работающей при синусоидальном напряжении и потокосцеплении t   m sin  t  . Необходимые графические построения с учетом гистерезиса зависимости  i  выполнены на рис. 18.10. Из диаграмм на рис. 18.10 следует, что ток обмотки при нарастании и спаде потокосцепления определяется разными ветвями петли гистерезиса. В результате ток обмотки опережает ее потокосцепление. Ток, попрежнему, несинусоидальный и сохраняет симметрию относительно оси абсцисс, т. е. содержит только нечетные гармоники. Для рассматриваемого режима индуктивности с ферромагнитным сердечником уровень высших гармоник относительно невелик и они быстро затухают с увеличением их частоты. Достаточную для практики точность расчета данного режима обеспечивают эквивалентные синусоиды потокосцепления, напряжения и тока обмотки. Действующие значения U , I и  эквивалентных синусоид примем равными действующим значениям реальных несинусоидальных напряжения, тока и потокосцепления катушки со сталью. Разность фаз эквивалентных синусоид напряжения и тока найдем по известной мощности потерь P в реальной катушке со сталью cos   P P  . S UI Таким образом, эквивалентные синусоиды обеспечивают сохранение основных величин, характеризующих энергетические процессы в элементе: действующих значений напряжения U и тока I , активной P и полной S мощностей. Для удобства расчетов представим эквивалентные синусоиды в комплексной форме (начальная фаза  принята равной нулю):   ;   m sin  t  :  u d  U m cos t  : U  U e j 90 ; dt i э  I m э sin  t   г  : Iэ  I э e j (18.20) г, где iэ – эквивалентная синусоида тока (пунктир на рис. 18.10); I m э   I 2 – амплитуда эквивалентной синусоиды;  г  90   – разность фаз между током и потокосцеплением, обусловленная потерями на гистерезис. Комплекс полной мощности индуктивности с ферромагнитным сердечником * j 90  г  S  U I э  U I э e  U I э e j   U I э cos  U I э sin   PГ  j QН , 239 (18.21) где PГ – активная мощность, обусловленная потерями на гистерезис; QН – реактивная мощность намагничивания. Из (18.21) следует, что катушка с ферромагнитным сердечником может быть представлена последовательной (рис. 18.11,а) или параллельной (рис. 18.12,а) эквивалентными схемами замещения. а) I Э б) U RГ U Г U U Н jX  Н U Н IЭ U Г Рис. 18.11 Параметры последовательной схемы замещения можно определить по составляющим полной мощности: RГ  PГ I э2 ; XН  QН I э2 ; Z э  RГ  j X Н . (18.22) На рис. 18.11,б построена векторная диаграмма последовательной схемы замещения, соответствующей уравнению U  RГ Iэ  j X Н Iэ  U Г  j U Н . (18.23) где U Г – активная и U Н – реактивная (намагничивающая) составляющие напряжения. Параметры параллельной схемы замещения: gГ  PГ U э2 ; bН  QН U э2 ; Y э  g Г  j bН . б) а) U I Э U I Г gГ (18.24) I Н I Г  j bН  IЭ Г   I Н E  U Рис. 18.12 240 По уравнению параллельной схемы Iэ  g ГU  j bНU  IГ  j IН (18.25) построена ее векторная диаграмма рис. 18.12,б. Необходимо отметить, что выбор той или иной схемы замещения определяется особенностями расчета конкретной цепи. Так в случае работы катушки при неизменном номинальном напряжении используют параллельную схему замещения. На практике эквивалентные параметры катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником определяют из соотношений (18.22) или (18.24) по результатам измерения действующих значений напряжения U , тока I и активной мощности P . Реактивная мощность намагничивания QН  U I 2  P 2 . 18.2.4. Катушка со сталью с учетом всех потерь и потоков рассеяния Дополним рассмотренную выше модель катушки с потерями на гистерезис параметрами, учитывающими вихревые токи, а также поток рассеяния и потери в обмотке. Напряжение на катушке с учетом сопротивления обмотки RК u  RК i  d d  С   Р  ,  RК i  dt dt (18.26) где    С   Р  w  С  w  Р – полное потокосцепление обмотки с числом витков w , определяемое потоком рассеяния  Р и потоком в стали  С . Поток рассеяния замыкается преимущественно по воздуху и его можно характеризовать соответствующей линейной индуктивностью LР  Р  LР i . (18.27) С учетом (18.27) уравнение (18.26) примет вид u  R К i  LР d С di w  uК  uР  uС , dt dt (18.28) где u К – напряжение на сопротивлении обмотки, u Р – напряжение на индуктивности рассеяния, u С – напряжение, компенсирующее намагничивающую составляющую и потери в стали. Для упрощения дальнейших расчетов заменим реальные токи, напряжения и магнитные потоки эквивалентными синусоидами. Для комплексов эквивалентных синусоид соотношение (18.28) примет вид 241 U  RК I  jX Р I  U С , (18.29) где X Р – индуктивное сопротивление рассеяния. Для намагничивающей составляющей напряжения используем соотношение (18.25), соответствующее параллельной схеме замещения (рис. 18.12,а) I  IГ  j IН   g Г  j bН U С . (18.30) Уравнениям (18.29) и (18.30) соответствует полная схема замещения катушки на рис. 18.13,а и векторная диаграмма на рис. 18.13,б. а) б) R К I I R К U U К jX Р U Р gС I С I Н U С U jX Р I  jbН U С  I  I Г С   I Н E С   U С Рис. 18.13 Из векторной диаграммы следует, что дополнительные потери в обмотке уменьшают угол сдвига фаз (угол  на рис. 18.13,б) между напряжением и током катушки. Как уже указывалось выше, параметры схемы замещения g Г и bН соответствуют эквивалентным инерционным нелинейным элементам и изменяются вместе с напряжением и током катушки. В свою очередь сопротивления RК и X Р – линейные элементы схемы замещения. Соотношения между различными составляющими сопротивления катушки могут меняться в широких пределах в зависимости от ее назначения, материала магнитопровода и конструкции. Например, для трансформаторов малой мощности (единицы или десятки ВА) характерно относительно большое значение сопротивления RК , так как обмотка содержит большое число витков тонкого провода. С другой стороны для мощных трансформаторов (сотни кВА – десятки МВА) составляющие RК , X Р невелики и U К  U Р  U С . 242 Необходимо отметить, что рассмотренная модель не дает исчерпывающего описания катушки с ферромагнитным сердечником. Например, она не учитывает неравномерность распределения магнитного потока по сечению пластин магнитопровода. Магнитное поле вихревых токов, наведенных в магнитопроводе, противодействует изменению основного потока магнитопровода. Противодействующее поле вихревых токов наиболее сильное в центре пластины убывает к ее краям. Соответственно в центре пластины магнитная индукция наименьшая и нарастает при приближении к краям пластины. Степень проявления поверхностного эффекта существенно зависит от частоты магнитного потока. Для расчета этого эффекта необходимо использовать уравнения теории электромагнитного поля. На практике рассмотренную выше модель используют для расчета катушек, работающих при неизменной частоте и небольших отклонениях напряжения от номинального уровня. Этот режим характерен, например, для силовых трансформаторов электрооборудования. Пример 18.1 По результатам эксперимента определить параметры эквивалентной схемы замещения дросселя рис. 18.13,а. Ток и магнитный поток дросселя приближенно считать синусоидальными. При включении дросселя на синусоидальное напряжение U  200 В и f  50 Гц по его обмотке с числом витков w  600 и сопротивлением RК  6 Ом протекает ток I  5 А. Потребляемая мощность P  300 Вт. Измеренная амплитуда магнитного потока дросселя  m  12  10 4 Вб. 1. Напряжение U С  4,44 f w SBm  4,44 f w  m   4,44  50  600  12  10 4  160 В. 2. Потери в обмотке дросселя PК и стали PС : PК  RК I 2  6  5 2  150 Вт; PС  P  PК  300  150  150 Вт. 3. Активная проводимость схемы замещения gС  PС U С2  150 160 2  5,85  10 3 См. 4. Ток через проводимость g С 243 IС  PС 150   0,937 А. U С 160 5. Ток намагничивания I Н  I 2  I С2  5 2  0,937 2  4,92 А. 6. Реактивная проводимость bН  IН 4,92   30,7  10 3 См. U С 160 7. Реактивная мощность дросселя Q  S 2  P2  U I 2  P 2  200  52  300 2  955 ВАр. 8. Реактивная мощность намагничивания стали QС  I С U С  4,92  160  785 ВАр. 9. Реактивная мощность, обусловленная потоком рассеяния QР  Q  QC  955  785  170 ВАр. 10. Индуктивное сопротивление рассеяния XР  QР I2  170 52  6,8 Ом. 11. Напряжения на RК и X Р : U К  RК I  6  5  30 В; U Р  X Р I  6,8  5  34 В. В результате расчета определены все векторы, необходимые для построения диаграммы аналогичной рис. 18.13,б. 18.3. Резонансные цепи с нелинейными элементами 18.3.1. Феррорезонанс напряжений Феррорезонанс напряжений возникает в цепи с последовательным соединением катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора. В отличие от линейной цепи условие феррорезонанса зависит не только от частоты и параметров элементов, но и от величины напряжения и тока нелинейной индуктивности. При этом вольтамперная характеристика цепи становиться неоднозначной, а переход из одного устойчивого состояния к дру244 гому может сопровождаться скачкообразными изменениями токов и напряжений. Характер процессов при феррорезонансе рассмотрим на примере цепи рис. 18.14, состоящей из линейной емкости C и сопротивления R , а также нелинейной индуктивности L I  . R L I U UR UL C UC Рис. 18.14 В силу симметрии нелинейной вебер-амперной характеристики катушки со сталью кривые тока и напряжения всех элементов цепи несинусоидальны и будут содержать только нечетные гармоники. Для качественного анализа процессов используем метод эквивалентных синусоид. Будем полагать, что действующие значения эквивалентных синусоид тока и напряжений на элементах соответственно равны: I  I 12  I 32  I 52  .. ; U L  U L21  U L23  U L25  .. ; (18.31) U C  U C21  U C2 3  U C2 5  .. ; U R  U R21  U R2 3  U R2 5  .. . Нелинейную индуктивность представим инерционным нелинейным элементом с характеристикой для действующих значений U L I  (рис. 18.15,а.) Для упрощения расчета сопротивление катушки, обусловленное потерями в стали и обмотке, примем постоянным и включим в общее сопротивление цепи R . Вольтамперные характеристики линейных элементов цепи соответствуют уравнениям: U C I   1 I  X C I ; U R I   R I , C (18.32) и показаны на рис. 18.15,а соответствующими прямыми линиями. Расчет для эквивалентных синусоид выполним по векторной диаграмме цепи (рис. 18.15,б), графически отображающей второй закон Кирхгофа для данной цепи: 245 U  U R  U L  U C . (18.33) а) U U R I  U  I  U C I  U L I  U I  U R I  U1 A1 U X I  A I1 I2 U L I б) I U R I3 U  U X U R U L U C Рис. 18.15 Из диаграммы следует, что напряжение на реактивных элементах цепи U X I   U L I   U C I  , так как эквивалентные синусоиды U L и U C находятся в противофазе. Соответствующая характеристика построена на рис. 18.15,а как модуль разности ординат графиков U L I  и U C I  при 246 одинаковых токах I . Резонансу соответствует точка A характеристики U X I  . Полное напряжение цепи вычислено по соотношению U I   U R2  U X2 для нескольких значений тока и построено на рис. 18.15,а. Необходимо отметить, что результирующая характеристика неоднозначна: напряжению U 1 соответствуют три значения тока: I 1 , I 2 и I 3 . При увеличении потерь в цепи напряжение в точке минимума характеристики возрастает, а точка минимума смещается влево (точки A , A1 на рис. 18.15,а). С увеличением R неоднозначность характеристики исчезает. Например, характеристика U I  , соответствующая U R I  на рис. 18.15,а, не имеет минимума, и становиться однозначной. Проявление феррорезонанса при экспериментальном исследовании характеристики цепи на рис. 18.14 иллюстрируется на рис. 18.16. U 2 1 U1 U 2 U I  3 U 3 U 4 4 I4 I3 I1 I2 I Рис. 18.16 Если резонансная цепь питается от источника э.д.с., то при плавном увеличении напряжения 0  U  U 1  ток также плавно нарастает 0  I  I 1  . Дальнейшее увеличение напряжения приводит к скачку тока до I 2 . Такое скачкообразное изменение тока обусловлено наличием падающего участка характеристики U  I  между точками 1 и 3, соответствующего неустойчивому состоянию цепи. При дальнейшем увеличении напряжения ток нарастает монотонно I  I 2  . При снижении напряжения монотонный характер изменения тока сохраняется при I  I 3 . По достижении точки 3 вновь происходит скачок тока и цепь возвращается на начальный участок характеристики в точку 4. Как видим, при питании цепи от источника э.д.с. экспериментально получить характеристику падающего участка 2 – 3 нельзя. Экспериментально 247 определить точки падающего участка характеристики можно при питании цепи от источника с большим внутренним сопротивлением, т. е. от источника тока. Отметим также, что на участке 0-1-3 характеристики цепи она имеет активно-индуктивный характер (U L  U C и   0 ). При I  I 3 цепь имеет активно-емкостный характер (U L  U C и   0 ). Следовательно, при скачкообразном изменении тока, также скачком изменяется разность фаз напряжения и эквивалентной синусоиды тока  , а знак  меняется на противоположный. 18.3.2. Феррорезонанс токов Как и в линейной цепи, феррорезонанс токов возникает в цепи с параллельным включением емкости и нелинейной индуктивности (рис. 18.17). IL I U IC C Рис. 18.17 Заменим несинусоидальные токи цепи эквивалентными синусоидами и используем для анализа процессов векторные диаграммы и комплексный метод расчета. В соответствии с первым законом Кирхгофа для данной цепи: I  IL  IC , (18.34) на рис. 18.18,а построена векторная диаграмма, а на рис.18.18,б показаны характеристики элементов цепи I L U  и I C U  для действующих значений. Из диаграммы следует, что при отсутствии потерь в цепи идеализированная характеристика цепи строится по соотношению I U   I L U   I C U  рис. 18.18,б. Резонансу соответствует точка A характеристики. В действительности из-за потерь и высших гармоник ток в момент резонанса не равен нулю, а характеристика соответствует пунктирной линии на рис. 18.18,б. По напряжению характеристика данной цепи однозначна и при плавном изменении входного напряжения ток цепи также будет меняться плавно, без скачков. Для тока характеристика цепи неоднозначна: току I 1 соответствуют три значения напряжения U 1 , U 2 и U 3 , причем точка 2 соответствует неустойчивому режиму цепи при питании от источника тока. 248 а) U I IC IL б) U U3 U2 U1 I C U  I U  3 A 2 I L U  I1 I 1 Рис. 18.18 В заключение отметим, что явления аналогичные феррорезонансу могут наблюдаться в цепях с нелинейной емкостью и линейной индуктивностью или с нелинейными L и C . На практике явление феррорезонанса нашло широкое применение, например, в устройствах стабилизации напряжения. 18.4. Трансформатор с ферромагнитным сердечником Одним из широко распространенных электротехнических устройств является трансформатор – устройство для преобразования параметров 249 электрической энергии. В простейшем случае трансформатор выполняется в виде двух индуктивно связанных обмоток, размещенных на общем магнитопроводе. В отличие от рассмотренного выше воздушного трансформатора, магнитопровод позволяет значительно увеличить магнитный поток и мощность, передаваемую из одной обмотки в другую. Условное обозначение двухобмоточного трансформатора приведено на рис. 18.19,а. Трансформатор с совмещенными обмотками называют автотрансформатором (рис. 18.19,б). Очевидно, что автотрансформатор имеет существенно меньшую массу обмоток, но не обеспечивает электрическую изоляцию (гальваническую развязку) между обмотками. а) б) I1 U1 I2 I1 U 2 I1 I2 U1 U 2 U1 I2 U 2 Рис. 18.19 Трансформатор может иметь и более двух обмоток. Обмотку, подключенную к источнику энергии, принято называть первичной, а остальные обмотки – вторичными. Более сложную конструкцию имеют многофазные трансформаторы – обмотки каждой из фаз располагаются на отдельном стержне общего магнитопровода. В свою очередь обмотки фаз могут иметь различные электрические схемы соединения: звезда, треугольник, зигзаг и др. На практике используются трансформаторы самого разнообразного назначения: силовые, изолирующие, измерительные, импульсные и др. Диапазон мощностей трансформаторов простирается от долей ватта до сотен мегаватт. Независимо от конструкции процессы в трансформаторе зависят от нелинейных свойств ферромагнитного материала магнитопровода: нелинейности и гистерезиса кривой намагничивания B  f  H  , а также от потерь в магнитопроводе и обмотках. Рассмотрим подробнее процессы в трансформаторах, используемых для преобразования параметров электроэнергии в цепях синусоидального тока. Для сохранения высокой эффективности магнитопровод таких трансформаторов работает на практически линейном участке кривой намагничивания, соответствующем максимальной магнитной проницаемости. В целом, режим этих трансформаторов близок к линейному. Рассмотрим основные соотношения трансформатора на простейшей модели, предполагающей, что весь магнитный поток трансформатора  (рис. 18.20) замыкается по магнитопроводу, имеющему бесконечно боль- 250 шую магнитную проницаемость. Пренебрежем потоками рассеяния и потерями в обмотках и магнитопроводе. Общий магнитный поток наводит в каждой из обмоток напряжение, пропорциональное числу ее витков u1  w1 d d , u 2  w2 . dt dt (18.35) Следовательно u1 u 2  , w1 w2 (18.36) и коэффициент трансформации трансформатора k u1 w1  . u 2 w2 (18.37) При k  1 напряжение U 2  U 1 и трансформатор называют повышающим. Соответственно при k  1 трансформатор – понижающий. Из-за высокой магнитной проницаемости напряженность магнитного поля в магнитопроводе невелика, и, в соответствии с законом полного тока, разность намагничивающих сил обмоток близка к нулю: l H dl  i w 1 1  i 2 w2  0 , (18.38) ср следовательно i1 w1  i2 w2 . (18.39) Коэффициент трансформации для токов обмоток k w1 i2  . w2 i1 (18.40) Из произведения (18.36) и (18.39) следует, что полные мощности обмоток примерно равны, т. е. S1  U 1 I 1  S 2  U 2 I 2 . (18.41) Поскольку потери в трансформаторе не превышают обычно нескольких процентов от мощности обмоток, его к.п.д. можно считать близким к единице. Соотношения (18.35)...(18.41) удобно использовать для приближенных оценочных расчетов. Более точную модель трансформатора дает рассмотренная выше теория катушки со стальным сердечником. 251 18.4.1. Уравнения, параметры, векторная диаграмма и схема замещения трансформатора с ферромагнитным сердечником Рассмотрим простейший трансформатор с двумя изолированными обмотками с числом витков w1 , w2 и сопротивлениями R1 и R2 (рис. 18.20).  i1 i2 u 1 w1 w2 u 2  Р1 ZН  Р2 Рис. 18.20 Для упрощения достаточно сложной реальной картины распределения магнитного поля в таком трансформаторе предположим, что магнитное поле содержит три составляющие: основной магнитный поток  , замыкающийся по магнитопроводу; поток рассеяния первичной обмотки  1Р , пропорциональный току обмотки i1 ; поток рассеяния вторичной обмотки –  2 Р , пропорциональный i 2 . Для потокосцепления обмоток можно записать: 1  1Р  w1  L1Р i1  w1 ; 2  2 Р  w2   L2 Р i 2  w2  , (18.42) где L1Р , L2 Р – индуктивности первичной и вторичной обмоток, определяемые потоками рассеяния. В соответствии с законами Кирхгофа запишем напряжения на обмотках трансформатора: u1  R1 i1  L1Р d i1 d  w1 ; dt dt  u 2  R 2 i 2  L2 Р где e1  u С   w1 d i2 d  w2 , dt dt (18.43) d d , w2  e2 – э.д.с., индуктируемые основным dt dt потоком  в первичной и вторичной обмотках. По аналогии с катушкой со сталью эта составляющая напряжения на первичной обмотке обозначена u С  e1 , т. е. соответствует напряжению, компенсирующему намагничивающую составляющую потерь в стали. 252 Из уравнения (18.43) следует, что при учете потоков рассеяния и потерь в обмотках отношение напряжений на обмотках трансформатора не равно отношению числа витков, как в уравнении (18.37). В дальнейших расчетах коэффициент k будет обозначать только отношение числа витков обмоток k  w1 w2 . Для упрощения расчетов часто используют приведенный трансформатор, у которого напряжения и токи вторичной обмотки изменяют так, чтобы они соответствовали трансформатору с одинаковым числом витков w2  w1 . При этом остается неизменной м.д.с. и мощность вторичной обмотки. Для приведенного трансформатора токи и напряжения обеих обмоток соизмеримы и их удается построить на одной общей диаграмме. Кроме того, для приведенного трансформатора можно составить схему замещения без магнитных связей. Для примера рассмотрим преобразование параметров вторичной обмотки к первичной. Все приведенные величины обозначим со штрихом. При преобразовании не изменяется м.д.с. вторичной обмотки i 2 w2  i 2 w2 , (18.44) где w2  w1 – приведенное число витков вторичной обмотки. Из уравнений (18.43) и (18.44) следует i2  i2 w2 1  i2 ; w2 k e2  e1   w1 d  w1  dt w2 p 2  e2 i2  k e2  d    w2   k e2 ; d t   (18.45) 1 i2  e2 i2  p 2 . k С учетом (18.45) уравнение (18.43) для контура вторичной обмотки примет вид 0  R2 k i2  L2 Р k d i2 e  u2  2 , dt k или R2 k 2 i2  L2 Р k 2 d i2  k u 2  e2 . dt (18.46) Из (18.46) следует, что параметры вторичного контура, приведенные к первичной обмотке: 253 R2  k 2 R2 ; L2 Р  k 2 L2 Р ; u 2  k u 2 . (18.47) Намагничивающая сила обмоток приведенного трансформатора i1 w1  i 2 w1  i1  i 2  w1  i0 w1 , (18.48) где i0 – намагничивающий ток трансформатора. Поскольку токи i1 и i 2 находятся практически в противофазе, ток i0 мал по величине. Экспериментально величина i0 может быть измерена при холостом ходе трансформатора, когда i 2  0 и i0  i1 . U 1 R 1I1 jX 1Р I1 I1  E 1  U С 1 I 0 М  С 2 I2 R2 I2 jX 2 Р I2 U 2 E 1  E 2 Рис. 18.21 В общем случае приведенные выше уравнения трансформатора нелинейны из-за нелинейной связи между магнитным потоком  и токами обмоток i1 и i 2 , а входящие в них токи, напряжения и магнитный поток несинусоидальные. Для упрощения дальнейших расчетов перейдем к эквивалентным синусоидам и воспользуемся комплексным методом расчета. Уравнения (18.43) с учетом (18.46) примут вид: 254 U 1  R1 I1  jX 1Р I1  U С ;   E 2  R2 I2  jX 2 Р I2  U 2 , (18.49) где X 1Р   L1Р , X 2 Р   L2 Р , U 2  k U 2  k 2 Z Н I2  Z  Н I2 . В соответствии с уравнениями (18.49) на рис. 18.21 построена векторная диаграмма трансформатора. Диаграмма для контура первичной обмотки (первое уравнение (18.49)) аналогична диаграмме катушки с ферромагнитным сердечником. При построении диаграммы для контура вторичной обмотки (второе уравнение (18.49)) принято, что нагрузка трансформатора имеет активно-индуктивный характер, т. е. ток I2 отстает от напряжения U 2 на угол  2 . При построении диаграммы вектор выходного напряжения определяется из второго уравнения (18.49) в виде U 2  E 2  R2 I2  jX 2 Р I2 с учетом равенства E 2  E1 . Из (18.48) следует, что намагничивающий ток определяется соотношением I0  I1  I2 и опережает магнитный поток на угол потерь  С . По уравнениям системы (18.49) составлена эквивалентная схема замещения трансформатора (рис. 18.22). R1 U 1 jX 1Р I1 I С GС R2 I2 I 0 U С I Н BН jX 2 Р U 2 Z 2 Рис. 18.22 Параметры схемы замещения для конкретного трансформатора обычно определяются экспериментально по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания. Опыт холостого хода выполняется при токе нагрузки I2  0 и номинальном напряжении на первичной обмотке трансформатора. В этом случае трансформатор, по сути, эквивалентен катушке с ферромагнитным сердечником. По первичной обмотке протекает намагничивающий ток I0 существенно меньший номинального тока первичной обмотки. Поэтому можно пренебречь напряжениями на R1 , X 1Р , и по опытным данным определить проводимости g С и bН . 255 В режиме короткого замыкания Z Н  0 , а на вход трансформатора по- дают небольшое напряжение U 1К , обеспечивающее номинальный ток первичной обмотки. Напряжение на проводимостях g С и bН оказывается существенно меньше номинального, и токами этих элементов пренебрегают, т. е. полагают I1  I2 . Суммарное сопротивление обмоток трансформатора Z  R1  j X 1Р  R2  j X 2 Р  U 1К I1 . R1  R2 и X 1Р  X 2 Р . Приближенно полагают, что Пример 18.2 Определить параметры схемы замещения двухобмоточного трансформатора (рис. 18.23) с номинальными параметрами: U 1Н  36 кВ; U 2 Н  5 кВ; S Н  60 МВА. Параметры трансформатора в режимах холостого хода: P1Х  50 кВт; I 1Х  0,05 I 1Н , и короткого замыкания P1К  150 кВт; U 1К  0,09 U 1Н . Z 2 Z1 Z Рис. 18.23 Решение Коэффициент трансформации k U 1Н 36   7, 2 . 5 U 2Н Потери в режиме холостого хода определяют потери в стали магнитопровода и в меди первичной обмотки P1Х  PС  PМ . При номинальном напряжении на первичной обмотке магнитный поток и потери в стали соответствуют номинальному режиму. Потерями в меди первичной обмотки в режиме холостого хода можно пренебречь ( PМ  PС ), так как ток первичной обмотки значительно меньше номинального. Следовательно PС  P1Х  50 кВт. 256 Из-за малого тока первичной обмотки можно пренебречь и падением напряжения на индуктивности рассеяния первичной обмотки и принять входное сопротивление трансформатора в режиме холостого хода Z Вх Х  Z 1  Z   Z  . Следовательно:   2 U 1Н U 1Н U 12Н 36  10 3    Z   432 Ом; I 1Х 0,05 I 1Н 0,05 S Н 0,05  60  10 6 cos 1Х P1Х P1Х 50  10 3     0,0167 ; U 1Н I 1Х 0,05 S Н 0,05  60  10 6 Z   R  j X   Z  cos 1Х  j Z  sin 1Х  7,2  432 j Ом. В режиме короткого замыкания можно пренебречь током через Z  . Рассчитаем входное сопротивление трансформатора: Z Вх К  U 1К 0,09 U 12Н 0,09  36  10 3  Z 1  Z 2    I 1Н SН 60  10 6 cos 1К  2  1,95 Ом; P1К P1К 150  10 3  0,0278 ;    U 1К I 1Н 0,09 S Н 0,05  60  10 6 Z Вх К  Z 1  Z  2  Z Вх К cos 1К  j Z Вх К sin 1К  0,054  1,95 j Ом. Обычно в силовых трансформаторах принимают Z 1  Z 2  1 0,054  1,95 j  Ом. 2 18.4.2. Измерительные трансформаторы Измерительные трансформаторы широко применяются в электроустановках для расширения пределов измерения приборов переменного тока и для изоляции измерительных цепей от высоковольтных и сильноточных силовых цепей. В соответствии с режимом работы различают измерительные трансформаторы напряжения и тока. Трансформаторы напряжения используют для измерения напряжения и гальванической развязки (изоляции) силовых и измерительных цепей 257 рис. 18.24. Стандартная величина номинального напряжения вторичной обмотки – 100 или 100 3 В. U1 A a w 2 U 2 V w1 W x X Рис. 18.24 Из (18.43) следует, что отличие реального коэффициента трансформации k  u1 u 2 от номинального k Н  w1 w2 , а, следовательно, и погрешность трансформатора обусловлены падениями напряжения на индуктивностях рассеяния и сопротивлениях обмоток. Для снижения погрешностей трансформатор напряжения используют в режимах близких к холостому ходу, а магнитопровод выполняют из материалов с высокой магнитной проницаемостью для снижения намагничивающего тока. Для детального анализа погрешностей трансформатора напряжения используем уравнения (18.49), которые запишем как U 1   R1  jX 1Р  I1  U С , E 2  R2  jX 2 Р  I2  U 2 , (18.50) U 2  Z  Н I2 где R1  jX 1Р , R2  jX 2 Р , Z  Н – сопротивление первичной и приведенные сопротивления вторичной обмотки и нагрузки. Соотношение между величинами в (18.50) иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 18.25. Из векторной диаграммы следует, что напряжения U 1 и U 2 отличаются не только по величине, но и по фазе (угол  на рис. 18.25). Из уравнения (18.50) с учетом равенства I1  I0  I2 получим U 1  U 2  R1  jX 1Р  I0  R1  jX 1Р  R2  jX 2 Р  I2 . (18.51) В соответствии с выражением (18.51) при конструировании трансформатора для снижения погрешностей стремятся снизить сопротивления об258 моток, индуктивности рассеяния и намагничивающий ток. Существенный вклад в погрешность трансформатора вносит ток нагрузки. U 1 R 1I1 jX 1Р I1  E 1  U С I1  U 2  I 0 I2 М  U 2 R2 I2 jX 2 Р I2 E 1  E 2 Рис. 18.25 В зависимости от величины погрешности измерительные трансформаторы разделяются на классы точности. Класс точности 0,2 0,5 1 3 Погрешность напряжения, % Угловая погрешность, мин. 0,2 0,5 1 3 10 20 40 не нормируется При измерении несинусоидального напряжения погрешность трансформатора нарастает за счет высших гармоник. Трансформаторы тока используют в цепях измерения переменного тока (рис. 18. 26). Первичная обмотка включается последовательно в измеряемую цепь (зажимы Л 1  Л 2 ). При токах более 500 А первичная обмотка имеет один виток в виде шины, проходящей через окно магнитопровода. 259 В цепь вторичной обмотки ( И 1  И 2 ) последовательно включаются токовые цепи конторольно-измерительных приборов. Л1 Л 2 I1 I 2 и1 A W w2 w1 и2 Рис. 18.26 Коэффициент трансформации трансформатора тока kI  I 1Н , I 2Н (18.52) где I 1Н – номинальный ток первичной обмотки; I 2 Н – номинальный ток вторичной обмотки (стандартные значения – 5 или 1 А). Из (18.38) следует, что если м.д.с. обмоток равны, то коэффициент трансформации тока определяется отношением числа витков обмоток: kI  i1 w2  . i2 w1 (18.53) Соотношение (18.53) соответствует идеальному трансформатору тока, в котором намагничивающая сила, магнитный поток в магнитопроводе и напряжения на обмотках стремятся к нулю. Следовательно, трансформатор тока должен работать в режиме короткого замыкания. Режим работы трансформатора тока описывается уравнениями, аналогичными (18.50). Соответствующая этим уравнениям векторная диаграмма трансформатора построена на рис. 18.27. Построение векторной диаграммы начнем с намагничивающей силы вторичной обмотки I2 w2 . Для заданного тока I2 строим напряжение на нагрузке Z Н  Z Н e j Н  RН  jX Н : j U 2  Z Н I2   Z Н e Н  I2  RН  jX Н  I2 .   260 (18.54) I 0 w1  I2 w2 I1w1 I I 0 w1 М  С Н I2 w2 R 2 I2 jX 2 Р I 2 U 2  RН  jX Н  I2 E 2 Рис. 18.27 Напряжение U 2 вместе с напряжением на сопротивлении вторичной обмотки R2  jX 2 Р равны э.д.с., наведенной магнитным потоком  , в контуре вторичной обмотки: E 2  R2  jX 2 Р  I2  U 2 . (18.55) Магнитный поток  , опережающий E 2 на 90  , создается полной намагничивающей силой I0 w1  I1 w1  I2 w2 . (18.56) Из диаграммы следует, что погрешность трансформатора, как по модулю тока I , так и по фазе  I определяется величиной намагничивающей си- лы I0 w1 . При неизменном токе первичной обмотки вместе с увеличением сопротивления нагрузки нарастает напряжение на вторичной обмотке, поток в магнитопроводе и намагничивающая сила I0 w1 . Соответственно возрастает и погрешность трансформатора. Разрыв цепи вторичной обмотки недопустим, так как ток первичной обмотки становиться намагничивающим и резко возрастает магнитный поток и напряжение на вторичной обмотке. В зависимости от класса точности устанавливаются следующие значения погрешностей измерительных трансформаторов тока: 261 Класс точности 0,2 0,5 1 Погрешность тока, % Угловая погрешность, мин. 0,2 0,5 1 10 30 60 Выпускаются трансформаторы тока и иных классов точности. Пример 18.3 Определить ток и напряжение вторичной обмотки трансформатора тока типа ТФН110-0,5/1-300-600/5 (рис. 18.26), если в цепи первичной обмотки произошло короткое замыкание, и ток возрос до I 1К  15 кА. Номинальные токи: первичной обмотки – I 1Н  600 А, вторичной – I 2 Н  5 А. При частоте f  50 Гц сопротивление вторичной обмотки трансформатора Z 2  0,59  j 0,38 Ом, а сопротивление нагрузки – Z Н  1,2 Ом при cos  Н  0,8 . Параметры обмоток и магнитопровода: w1  3 ; w2  360 ; l ср  0,8 м; S  18,7 см 2 . Кривая намагничивания магнитопровода BH  и зависимость угла потерь в стали от напряженности магнитного поля  С H  приведены, соответственно, на рис. 18.28,а и б. б) а) С, B , Тл 2 град 1,5 30 1 20 0 ,5 10 2 4 6 8 H  10 2 , А м 2 4 6 8 H  10 2 , Рис. 18.28 Эквивалентная схема замещения трансформатора приведена на рис. 18.29. Решение 1. Номинальный коэффициент трансформации 262 А м w2 360   120 . 3 w1 kI Н  R1 jX 1Р I КЗ IС GС  IКЗ I 2 R 2 I0 IН BН jX 2 Р ZН U 12 Рис. 18.29 2. Ток первичной обмотки, приведенный ко вторичной I 1К  I 1 К k I Н  15000 120  125 А. 3. Положим, что приведенный намагничивающий ток I 0  0 , тогда ток I 2  I 1К  125 А. 4. Напряжение на вторичной обмотке  j 35 E 2  U 12  R2  jX 2 Р  I2  RН  jX Н  I2  237,5 e . 5. Связь между э.д.с. самоиндукции и потоком определяется соотношением 1 , U 12  j  w2  2 следовательно Bm  m U 12 2   1,59 Тл. S 2  f w2 S 6. По кривой намагничивания (рис. 18.28,а) находим напряженность поля в магнитопроводе H m  5,4 А . Соответственно угол потерь в стали см по графику на рис. 18.28,б  С  8  . 7. Амплитуда намагничивающего тока, приведенная ко вторичной обмотке, I0 m  H m l ср w2  1,2 А. 263 При этом приведенный ток намагничивания остается существенно меньше токов обмоток и, принятое в пункте 3 допущение о его близости к нулю, вполне обоснованно. Приведенный расчет показывает, что трансформатор тока может сохранить работоспособность даже при 25 кратной перегрузке, если его обмотки выдержат соответствующий ток. Контрольные вопросы 1. Какие процессы протекают в ферромагнитном сердечнике при его перемагничивании переменным магнитным полем? 2. Какую форму имеет ток и потокосцепление катушки со сталью при синусоидальном напряжении на обмотке без учета гистерезиса и с учетом гистерезиса? 3. Какие гармоники содержит ток катушки со сталью? Как изменится спектральный состав при подмагничивании сердечника? 4. Какую форму имеет потокосцепление и напряжение на катушке со сталью при синусоидальном токе в обмотке без учета гистерезиса и с учетом гистерезиса? 5. Как изменится амплитуда магнитного потока, если число витков катушки с ферромагнитным сердечником увеличить (уменьшить) в 2 раза при неизменной амплитуде тока? 6. Во сколько раз изменится амплитуда магнитного потока, если число витков катушки с ферромагнитным сердечником увеличить (уменьшить) в 2 раза при неизменной амплитуде напряжения? 7. Как изменится напряжение на обмотке, если ее ток увеличится в 2 раза? 8. Как изменится ток обмотки, если ее напряжение увеличится в 2 раза? 9. Как изменится ток обмотки, если при прочих равных условиях в магнитопроводе появится воздушный зазор. 10. Какие процессы определяют потери на перемагничивание магнитопровода из электротехнической стали и из феррита? 11. Как изменяется динамическая петля гистерезиса электротехнической стали при увеличении частоты? 12. Нарисовать схему замещения и векторную диаграмму катушки с ферромагнитным сердечником. Какие параметры схемы замещения изменяются при изменении напряжения на обмотке, и какие при изменении частоты напряжения на обмотке? 13. Нарисовать схему и вольтамперную характеристику цепи с феррорезонансом напряжений. Объяснить характер изменения тока при питании цепи от источника э.д.с. и характер изменения напряжения при питании от источника тока. 264 14. Нарисовать схему и вольтамперную характеристику цепи с феррорезонансом токов. Объяснить характер изменения тока при питании цепи от источника э.д.с. и характер изменения напряжения при питании от источника тока. 15. Построить векторную диаграмму и определить напряжение на входе цепи при феррорезонансе, если C  50 мкФ, R  2 Ом,   2000 с -1 , U C  100 В. 16. В какой фазе по отношению к входному напряжению находится входной ток при феррорезонансе? 17. Нарисовать схему замещения и векторную диаграмму трансформатора с ферромагнитным сердечником. 18. Как вычисляются приведенные параметры вторичной обмотки трансформатора? 19. Каковы оптимальные режимы измерительных трансформаторов напряжения и тока? Тема 2.2Цепи с вентилями Вентилями в электротехнике принято называть нелинейные элементы с резко выраженной асимметрией характеристики, вследствие которой вентили проводят ток только в одном направлении, и их можно рассматривать как электрический аналог механического клапана. В основу конструкции электрических вентилей могут быть положены самые различные физические принципы. Это могут быть электровакуумные, газоразрядные, полупроводниковые или иные приборы. В настоящее время наиболее распространены полупроводниковые вентили на основе кремния, арсенида галлия или германия. б) а) i i i u u u г) в) i i u 265 u Рис. 19.10 Обозначение неуправляемого полупроводникового вентиля (диода) и его типичная характеристика приведены на рис. 19.10, а. На схеме рис. 19.10,а показаны направления прямого тока и напряжения вентиля, соответствующие u Д  0 и i Д  0 . Отрицательным значениям этих величин соответствуют обратный ток и обратное напряжение вентиля. Точная аппроксимация характеристики полупроводникового вентиля является достаточно трудной задачей, так как даже однотипные вентили имеют большой разброс характеристик, заметно изменяющихся при изменении температуры. Вместе с тем, у современных вентилей прямой рабочий ток на несколько порядков превышает обратный ток, а максимальное обратное напряжение значительно превышает прямое. Поэтому точный учет обратного тока и прямого напряжения обычно влияет лишь на погрешность определения остальных токов и напряжений цепи. На практике приемлемую точность расчетов дает приближенная кусочно-линейная аппроксимация характеристик вентилей, некоторые варианты которой показаны на рис. 19.10,б, в, г. Характеристика на рис. 19.10,б приближенно учитывает как прямое напряжение, так и обратный ток. Если пренебречь обратным током, то получим характеристику рис. 19.10,в. Эту характеристику используют при расчете цепей, работающих при напряжениях менее 10...20 В, т. е. сопоставимых с прямым напряжением вентилей (  1...2 В для кремниевых диодов). Если пренебречь и прямым напряжением, то получим характеристику рис. 19.10,г. Эта аппроксимация существенно упрощает расчетные соотношения и широко используется на практике. Из всего многообразия примеров практического применения вентилей рассмотрим выпрямители – устройства для преобразования переменного напряжения в постоянное. Выпрямители широко используются в устройствах электропитания разнообразных бытовых и промышленных приборов и установок. 19.8.1. Выпрямление переменного тока Рассмотрим простейший однополупериодный выпрямитель (рис. 19.11), состоящий из последовательно соединенных диода и сопротивления нагрузки, включенных на синусоидальное напряжение. Для расчета выпрямителя на рис. 19.11 графически просуммированы характеристики диода 2 и линейной нагрузки 1 и построена результирующая характеристика цепи 3. По характеристике 3 построены токи i1 и i 2 , соответствующие двум значениям питающего напряжения u1 и u 2 . Ток i1 соответствует работе выпрямителя при напряжениях U m1 менее 1 В и при большом сопротивлении нагрузки, когда прямой ток диода сопоставим с обратным. 266 В этом случае на форму тока существенно влияют обратный ток вентиля и его прямое напряжение. В таком режиме работают выпрямители, например, электроизмерительных приборов. При увеличении напряжения u 2 и прямого тока i 2 влияние обратного тока и прямого напряжения уменьшается, т. е. эффективность выпрямителя возрастает. 1 2 3 i i i2 i1 u t u1 i u2 u t  uД uR R t Рис. 19.11 При расчетах реальных выпрямителей, в большинстве случаев, можно использовать характеристику диода (рис. 19.10,г). В этом случае диод заменяется идеальным ключом, замкнутым ( u Д  0 ) при i Д  0 и разомкнутым ( i Д  0 ) при u Д  0 . Такая замена существенно упрощает анализ однополупериодного выпрямителя (рис. 19.12,а). а) б) u, i i u t  uД R uR u i t Рис. 19.12 Для всех положительных полуволн питающего напряжения (интервал 0   t   на рис. 19.12,б) диод открыт u Д  0 , напряжение на нагрузке Um sin  t   0 . Для отриR цательных полуволн питающего напряжения (интервал    t  2  на u R  U m sin  t  и ток цепи i  I m sin  t   267 рис. 19.12,б) u Д  U m sin  t   0 , диод заперт и ток цепи i  i Д  0 . Напряжение на нагрузке u R  R i  0 . Соответствующие графики тока и напряжения цепи построены на рис. 19.12,б. На графике видно, что однополупериодный выпрямитель отличается значительной пульсацией выпрямленного тока и напряжения. По результатам расчета определим основные интегральные характеристики однополупериодного выпрямителя. 1. Среднее значение выпрямленного тока и напряжения на нагрузке:   I 1 1 I ср  I m sin  t  d  t    I m cos  t   m ; 2 2  0 U R ср  R I ср  (19.47) R Im Um  .   2. Действующее значение выпрямленного тока и напряжения на нагрузке:  I I U 1 I m2 sin 2  t  d  t   m ; U R  m . 2 2 2 0 (19.48) 3. Мощность нагрузки U m I m R I m2  . P UR I  4 4 (19.49) 4. Полная мощность на входе схемы U m I m R I m2 S U I    2 P. 2 2 2 2 (19.50) Поскольку выпрямитель обычно подключают к питающей сети через трансформатор, полная мощность как раз и характеризует установленную мощность этого трансформатора. Однополупериодный выпрямитель не отличается эффективным использованием трансформаторной мощности: она превышает мощность нагрузки в 2 раз. Реальное соотношение еще хуже, так как постоянная составляющая тока однополупериодного выпрямителя подмагничивает магнитопровод трансформатора и режим его работы существенно изменяется. 5. Коэффициент мощности 268 P 1   0,707 . S 2 (19.51) На практике однополупериодную схему используют в относительно маломощных выпрямителях, когда мощность нагрузки значительно меньше мощности питающего источника или трансформатора. Более эффективными оказываются схемы двухполупериодных выпрямителей (рис. 19.13,а и в). Для пояснения принципа действия выпрямителя (рис. 19.13,а) удобно использовать его расчетную схему (рис.19.13,б). Цепь на рис.19.13,б состоит из 2 параллельно соединенных однофазных выпрямителей, питающихся от двух одинаковых источников u t   U m sin  t  . Диод VD1 проводит ток при положительных полуволнах u t  ( 0   t   ) и его работа полностью аналогична рассмотренному выше однополупериодному выпрямителю. Диод VD 2 проводит ток при отрицательных полуволнах u t  (    t  2  ). На практике для получения равных э.д.с. используется трансформатор, вторичная обмотка которого имеет отвод от средины (рис.19.13,а). Ток первичной обмотки трансформатора поочередно формируется положительной и отрицательной полуволной токов вторичных вентильных обмоток и, в целом, оказывается синусоидальным. а) VD1 u 1 t  u 2 t  u 2 t  б) iН uН RН VD1 в) iН u Н u 2 t  R Н u t  VD1 iН RН u Н u 2 t  VD 2 VD 2 VD 3 VD 4 VD 2 Рис. 19.13 Другой вариант двухполупериодного выпрямителя (мостовая схема) показан на рис. 19.13,в. При положительной полуволне питающего напряжения ток протекает через VD1, сопротивление нагрузки RН и VD 4 . При отрицательной полуволне – через VD3 , RН , VD 2 . Оба варианта выпрямителя имеют одинаковую форму выпрямленного напряжения и тока, показанную на рис. 19.14. 269 u, i i u t Рис. 19.14 В сравнении с однополупериодной схемой средние значения выпрямленного тока и напряжения возрастают в 2 раза, а действующие значения – в 2 раз: I ср  2 Im 2 R I m 2U m U I ; U R ср  R I ср   ; I  m ; UR  m .    2 2 (19.52) Мощность нагрузки U m I m R I m2 P UR I   . 2 2 (19.53) Полная мощность на входе схемы S U I  R I m2   P. 2 2 Um Im 2 (19.54) Коэффициент мощности для идеального двухполупериодного выпрямителя P  1. S (19.55) В промышленных установках, питающихся от трехфазных сетей, используются более эффективные многофазные выпрямители, имеющие значительно меньшие пульсации выпрямленного напряжения и тока. Простейший вариант трехфазного выпрямителя показан на рис. 19.15,а. б) а) VD 1 iA VD 2 iB eA VD 3 iН iC u Н eB eA eB RН iA eC iB eC iC eA uН iA t Рис. 19.15 Работу трехфазного выпрямителя поясняют диаграммы на рис. 19.15,б. На каждом из интервалов времени наибольшая из э.д.с. ( e A , e B или eC ) 270 отпирает включенный последовательно с ней диод и запирает два других. Спустя треть периода наибольшей становится следующая по порядку следования э.д.с., и следующую треть периода ток протекает по ее ветви (токи i A , i B или iC на рис. 19.15,б). Напряжение на нагрузке показано на рис. 19.15,б жирной линией. Пример 19.1 Рассмотрим пример расчета однополупериодного выпрямителя, работающего на нагрузку со встречно включенной постоянной э.д.с. На рис. 19.16,а показана схема для зарядки аккумулятора. Используя особенности однополупериодного выпрямителя, данная схема обеспечивает заряд аккумулятора импульсами тока с небольшим разрядным током в паузах между импульсами. Требуется определить величину сопротивления RШ , шунтирующего диод, которое обеспечивает отношение амплитуд разрядного и зарядного токов, равное 0,05. В цепь рис. 19.16,а последовательно включены источник синусоидального напряжения u  16 sin 314 t  В, идеальный диод и аккумулятор с э.д.с. E  12 В и внутренним сопротивлением RВН  0,04 Ом. Расчетные схемы выпрямителя при открытом и запертом диоде показаны на рис. 19.16,б и в. а) б) RШ RШ в) RШ i i uД u t  uД  0 R ВН E u t  R ВН E R ВН u (t ) Рис. 19.16 При открытом диоде (рис. 19.16,б) u Д  0 и ток цепи равен i t   uE  400 sin 314 t   300 А. R ВН Амплитуда прямого тока I m    400  300  100 А. 271 E Прямой ток протекает в интервале 1   t   2 рис. 19.17. Углы 1 и  2 определяются из уравнения u  E  U m sin  t   E  0 : 1  arcsin E  0,848 рад;  2    1  2,29 рад. Um Обратный ток (схема рис. 19.16,в), протекающий в интервале времени  2   t  1  2  , i U sin  t   E uE  m . R ВН  RШ R ВН  RШ В средине этого интервала при  t  1,5  обратный ток достигает максимального по модулю значения I m    Um  E R ВН  RШ  0,05 I m   . Из решения этого уравнения получаем требуемое значение сопротивления шунта: RШ  u, i U m  E  0,05 R ВН I m    2,76 Ом. 0,05 I m   i u  1 2 1  2  2 E uД  u  E Рис. 19.17 Среднее значение тока за период 272 t I ср  2    2 1   1 uE uE d t d t       10,5 А.  2   R ВН R ВН  RШ      1 2   Из полученного выражения следует, что среднее значение тока зависит от э.д.с. аккумулятора и уменьшается по мере его заряда. В заключение отметим, что рассматриваемая цепь не содержит реактивных элементов, и решения алгебраических уравнений для каждого из интервалов определяются независимо друг от друга. 19.8.2. Регулирование выпрямленного тока Для регулирования выпрямленного напряжения и тока наиболее часто используют изменение синусоидального напряжения на входе преобразователя с помощью регулировочных трансформаторов или автотрансформаторов, а также задержку момента отпирания и досрочное запирание управляемых вентилей (фазовое регулирование). Изменение напряжения трансформаторов (автотрансформаторов) обычно осуществляют переключением отводов от их обмоток. При этом напряжение и ток меняются ступенчато, а процесс переключения происходит достаточно медленно. Режим работы выпрямителя при данном способе регулирования не изменяется. Преобразователи на управляемых вентилях используют для плавного и быстродействующего регулирования тока и напряжения нагрузки. В качестве управляемых вентилей используют самые разнообразные электровакуумные, газонаполненные, полупроводниковые и другие приборы. В настоящее время наиболее распространены полупроводниковые приборы, в частности, тиристоры и транзисторы различных типов. В качестве примера рассмотрим однополупериодный выпрямитель с управляемым тиристором рис. 19.18,а. а) б) u t  u i u, i i uТ RН uН З  2 З t Рис. 19.18 Диаграмма процессов в преобразователе показана на рис. 19.18,б. В отличие от неуправляемого диода, тиристор не отпирается сразу при появле273 нии положительного прямого напряжения u Т  0 и на интервале 0   t   З сохраняет i  0 . Интервал  З (угол задержки) формируется специальной системой управления. Спустя  З на управляющий электрод тиристора подается положительный импульс, тиристор открывается ( u Т  0 ) и начинает проводить ток. Запирается тиристор, как и обычный диод, после снижения его прямого тока до нуля и появления отрицательного напряжения. Процесс повторяется для каждой положительной полуволны питающего напряжения. Поскольку управлять можно только моментом отпирания тиристора его обычно рассматривают как полууправляемый вентиль. Это ограничивает быстродействие выпрямителя, так как после отпирания вентиля любое изменение угла управления повлияет на выпрямленный ток и напряжение только на следующем периоде процесса. Этот недостаток устранен в полностью управляемых тиристорах. Изменение угла задержки включения тиристора позволяет регулировать выпрямленный ток и напряжение. Среднее значение выпрямленного напряжения для рассматриваемой схемы  Uср U 1 U m sin  t  d  t   m 1  cos  З  .  2 2  (19.56) З По уравнению (19.56) на рис. 19.19 построена зависимость среднего значения выпрямленного напряжения от угла задержки. При регулировании меняется коэффициент пульсаций выпрямленного напряжения: kП  Um 2  . U с р 1  cos  З  (19.57) График зависимости (19.57) построен на рис. 19.19. U ср 3U m 4 Um 2 Um 4 kП kП 3 2  U ср  2 274  З Рис. 19.19 19.8.3. Сглаживание пульсаций выпрямленного тока Для сглаживания пульсаций на выходе выпрямителя включают фильтры, ослабляющие переменную составляющую выпрямленного напряжения и тока. В простейшем случае используют индуктивность или емкость. Запас энергии этих элементов поддерживает ток и напряжение нагрузки на интервалах, когда она не может получать энергию из питающей сети. Рассмотрим примеры использования этих простейших фильтров. 1. Индуктивный фильтр. В простейшем случае фильтр состоит из индуктивности, включенной последовательно с нагрузкой выпрямителя (рис. 19.20,а). а) б) u t  u, i L i uД uL R uR 2 1  i  2 2 u t Рис. 19.20 Полагая вентиль идеальным, запишем уравнение цепи: uД  uL  uR  uД  L di  R i  U m sin  t  . dt (19.58) Положим, что при отрицательной полуволне питающего напряжения  t  0 вентиль был заперт и ток цепи i  0 . Из уравнения (19.58) следует, что в этом случае входное напряжение, приложенное к вентилю, u Д  U m sin  t   0 . Вентиль открывается в момент времени  t  0 и далее ток в цепи, в соответствии с (19.58) изменяется по закону i  i   i   Um R 2   L 2 R   t sin  t    sin  e L  , (19.59)   где   arctg  L R  . Проводящее состояние вентиля сохраняется до тех пор, пока по нему протекает положительный прямой ток вплоть до момента запирания  t 2   2 . Из уравнения (19.59) момент запирания вентиля t 2 (или угол отсечки  2   t 2 ) определяется трансцендентным уравнением 275 i t 2   0 или sin  t 2    sin  e  R t L 2 (19.60)  0. При известных параметрах цепи данное уравнение может быть решено численными методами. С увеличением постоянной времени цепи нагрузки  L угол отсечки  2 возрастает и вентиль запирается уже при отрицаR тельной полуволне входного напряжения. Таким образом, в однополупериодном выпрямителе с индуктивным фильтром длительность прямого тока вентиля возрастает, хотя и сохраняется режим прерывистого тока (кривая 1). В предельном случае, когда    , т. е. при R  L ,   цепи i Um     Um 1  cos  t . sin   t   1   L   2    L  , ток 2 (19.61) Из уравнения (19.61) следует, что ток цепи i  0 в конце периода при  2  2  , т. е. за счет э.д.с. самоиндукции ток в цепи протекает непрерывно (кривая 2). В двухполупериодных и многофазных выпрямителях ток индуктивности фильтра не прерывается, а переключается с одного вентиля на другой, т. е. ток нагрузки остается непрерывным. На практике индуктивный фильтр используют в сильноточных выпрямителях, для которых характерно соотношение R   L . 2. Емкостный фильтр. Для сглаживания пульсаций выпрямленного тока и напряжения в слаботочных цепях применяется преимущественно емкостный фильтр (рис. 19.21,а). б) а) u i u t  uД iC uC C iR R Uс р 0 1  2  uC 2 t Рис. 19.21 Процессы в преобразователе показаны на диаграмме рис. 19.21,б. На интервале 1   t   2 входное напряжение совпадает с напряжением на емкости. Диод открыт и емкость фильтра заряжается от источника. Когда напряжение источника становиться ниже напряжения емкости (интервал  2   t  1  2  ) вентиль закрывается и ток в нагрузке поддерживается 276 за счет разряда емкости. В целом, можно считать, что переменные составляющие вентильного тока протекают в основном через емкость, в то время как постоянная составляющая – через сопротивление нагрузки. На интервале 1   t   2 напряжение u Д  0 и уравнения цепи имеют вид: (19.62) u  U sin  t  ; C m i  iC  i R  C d uC uC   dt R   C U m cos t    Um 1 R 2 Um sin  t   R   C 2 sin  t   , (19.63) где   arctg  R C  . Интервал заканчивается, когда ток диода i  0 . Согласно уравнению (19.63) это происходит в момент времени  t 2   2 , определяемый из равенства: Um (19.64) sin  2   0 . R R Умножением уравнения (19.64) на получаем соотношение для U m cos 2  определения  2 : i   C U m cos 2   tg  2     R C ,  2   arctg R C    . (19.65) С учетом (19.65) выражение (19.63) для тока первого интервала можно записать в виде: Um 2 (19.66) 1   R C  sin  t   2  . R На следующем интервале  2   t   1  2  диод заперт, и i  0 . i Емкость разражается на сопротивление нагрузки в соответствии с уравнением i  iC  i R  C d uC uC   0. dt R (19.67) Решение уравнения (19.67) содержит только свободную составляющую 277 uC  A e  1 RC t  t2   U m sin  2  e  1  RC  t  2  , (19.68) где A  u C  2   U m sin  2  – напряжение на емкости в начале интервала. Обратное напряжение диода u Д  U m sin  t   u C  0 . (19.69) Второй интервал закончится в момент  t1  T    1  2  , когда напряжение диода (19.69) вновь достигнет нуля. После деления равенства (19.69) на U m получим трансцендентное уравнение для 1 : sin 1   sin  2  e  1   2   RC 1  2   0. (19.70) Рассмотрим зависимость моментов 1 и  2 от соотношения емкости фильтра и сопротивления нагрузки. В предельном случае при R  1  C  1   2  , т. е. емкость, однажды зарядившись до U m больше не раз2 ряжается и сохраняет это напряжение. Этот режим используется, например, для измерения амплитуды сигнала в импульсных вольтметрах. При уменьшении R становиться заметным разряд емкости. Соответственно, угол 1 уменьшается, а  2 – нарастает. Если емкость успевает разрядиться до появления положительной полуволны входного напряжения диод откроется, как обычно, при 1  0 . В случае R  1  C  2   , т. е. емкость практически не влияет на работу преобразователя. Среднее значение выпрямленного напряжения определим интегрированием за период выходного напряжения из уравнений (19.62) и (19.68): Uср  2 1   U m sin  t  d  t   2   1  1  2 π  U m sin 2   e  1 RC (19.71)  t α 2   d  t  .  α2 В двухполупериодных и многофазных выпрямителях эффективность емкостного фильтра возрастает из-за сокращения интервала разряда емкости. 278 Для дальнейшего снижения пульсаций выпрямленного напряжения используют более сложные фильтры, в том числе и с активными элементами (транзисторами, операционными усилителями и т. п.). В заключение отметим, что метод сопряжения интервалов при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов позволяет рассчитать установившиеся процессы практически в любых нелинейных цепях. Основная трудность – необходимость численного решения трансцендентных уравнений для определения постоянных интегрирования и моментов перехода с одного линейного участка на другой. В целом метод следует считать численно-аналитическим, так как аналитическое решение возможно лишь в некоторых частных случаях. Контрольные вопросы 1. В чем различие динамических характеристик инерционных и безинерционных нелинейных элементов при переменном токе? 2. Могут ли статические и динамические параметры нелинейного элемента в некоторой точке характеристики оказаться равными нулю или стать меньше нуля? В каких точках характеристики статические и динамические параметры нелинейного элемента совпадают? Рассмотреть отдельно инерционные и безынерционные элементы. 3. В каких случаях для нелинейной цепи переменного тока можно построить векторную диаграмму и применить символический метод расчета? 4. Характеристика нелинейной индуктивности аппроксимирована зависимостью i    100  3 . Определить связь между амплитудами первых гармоник тока и напряжения индуктивности: I m 1  f U m 1 . Какова   связь между действующими значениями первых гармоник? 5. Определить ток в цепи из последовательно соединенных сопротивления R  1 Ом и нелинейной индуктивности (см. рисунок). Цепь подключена к источнику синусоидального напряжения u t   10 sin 314 t  . Расчет выполнить графически, используя характеристику индуктивности, приведенную на рисунке. u R i U 1 10 5 4 8 12 I 1 6. В каких случаях при расчете цепей переменного тока целесообразно использовать кусочно-линейную аппроксимацию характеристик нелинейных элементов? 279 7. Построить график напряжения на вторичной обмотке трансформатора при синусоидальном напряжении на первичной обмотке с использованием кусочно-линейной аппроксимации характеристики магнитопровода, если сердечник намагничивается до насыщения.  u R i u2 I 8. Пояснить принцип действия одно- и двухполупериодного выпрямителя, а также многофазного выпрямителя. 9. Объяснить принцип действия выпрямителей с удвоением напряжения, схемы которых приведены на рисунке. Для обеих схем e t   E m sin  t  . e t  e t  Ud Ud 10. Как осуществляется сглаживание пульсаций выпрямленного напряжения и тока? 11. Как влияет величина сглаживающей емкости на форму тока синусоидального источника, питающего одно- или двухполупериодный выпрямитель? 280