Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения

8 Устойчивость линейных систем автоматического управления 8.1 Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения Свойства устойчивости проявляются в способности линейной системы возвращаться в первоначальное состоянии или близкое к нему при приложении к системе импульсного входного воздействия. Иными словами, при оценке устойчивости САУ рассматривается ее «свободное» движение, независимое от внешних воздействий. Понятие устойчивости системы не распространяется на нелинейные системы. В связи с этим различают три ситуации: 1) система устойчива; 2) система неустойчива; 3) система "безразличная", нейтральная. Оценить устойчивость системы можно в результате исследования ее математической модели, то есть решить соответствующую систему дифференциальных уравнений. Для разомкнутой системы математическая модель в операторной форме: , или , где - оператор дифференцирования. Для замкнутой системы: , или . Если (единичная обратная связь), то . С учетом введенного понятия устойчивости для ее анализа необходимо рассматривать только собственное движение системы, определяемое однородным дифференциальным уравнением или . Рассмотрим замкнутую систему. Если подать на ее вход импульсное воздействие , то реакция системы на данный сигнал (весовая функция системы): . n - порядок системы (старшая степень полинома D(p)). Рассмотрим составляющую весовой функции, обусловленную i-м корнем: . Пусть (вещественный корень). Если , тогда возрастает, смотри рисунок: То есть, если хотя бы одно звено "расходящееся", то вся система - неустойчива. Если , тогда , как следует из рисунка, асимптотически убывает: Если все корни характеристического уравнения вещественные отрицательные: , то система устойчива. Если хотя бы один при всех остальных отрицательных , то система - "безразличная": В случае пары комплексных корней, , , соответствующие составляющие весовой функции имеют вид: Если вещественная часть комплексных корней отрицательна (),то система устойчива. Если - система неустойчива. Если (чисто мнимые корни) при всех остальных "устойчивых" корнях система "безразличная". Если все вещественные корни и вещественные части всех комплексных корней характеристического уравнения системы отрицательны, тогда система - устойчива. Весовая функция такой системы есть убывающая к нулю зависимость. Физически это означает, что по окончании импульсного внешнего воздействия устойчивая система возвращается в первоначальное состояние. Распространение устойчивости на линеаризованные системы. 1892г. Ляпунов А.М. 1. Для устойчивости линеаризованных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения математической модели системы (полюса) были либо отрицательными вещественными, либо имели отрицательные вещественные части. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены высших порядков не сделают систему неустойчивой. 2. Если в линеаризованный системе хотя бы один корень характеристического уравнения будет положительным вещественным, либо иметь положительную вещественную часть, то система будет неустойчива, и никакие отброшенные члены высших порядков не сделают ее устойчивой. 3. Если один или пара корней характеристического уравнения системы находятся на мнимой оси, а остальные корни все левые, то система находится на границе устойчивости. Ее реальная устойчивость целиком определяется отброшенными при линеаризации малыми высших порядков. Поскольку для установления факта устойчивости системы необходимо знать только знак вещественной части корня, то желательно иметь какие-то критерии, которые бы позволяли определять этот знак без нахождения корней характеристического уравнения, тем более без процедуры решения дифференциального уравнения, соответствующего математической модели исследуемой системе. Критерии устойчивости Различают алгебраические и частотные критерии. Алгебраические: критерий Гурвица. Частотные: критерий Михайлова; критерий Найквиста. 8.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 1895 г. На основании характеристического уравнения системы . строится определитель Гурвица (при ). Свободные места заполняются нулями. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны. Диагональные миноры: ; ; ; . . . Пример 1. Пусть имеется система первого порядка, . ; (или ; ); . - не абсолютная величина, а определитель!!! Вывод. Для устойчивости системы первого порядка необходима положительность коэффициентов характеристического уравнения. Здесь и ниже использовано свойство идентичности операторных форм уравнений системы (в операторах Лапласа s и дифференцирования p). Пример 2. Система второго порядка, n = 2. ; ; должно быть. Откуда . Вывод. Для устойчивости системы второго порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения. Пример 3. Система третьего порядка; n = 3. Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства: . О критическом коэффициенте усиления ; ; ; ; . (так как К > 0). Неравенство . Откуда ; При KКРИТ = 8 . Следовательно, в системе для обеспечения ее устойчивости должно выполняться неравенство К < KКРИТ . (Более правильнее было бы вести все выкладки в операторах р). 8.3 Частотные критерии устойчивости Основаны на использовании записи уравнений в форме Лапласа, когда в характеристическом полиноме системы (полиноме знаменателя передаточной функции) оператор Лапласа s заменяется на j. Первоначально рассмотрим принцип аргумента. Принцип аргумента Полином можно разложить на множители, тогда . Корни находятся из уравнения . Для лучшего понимания рассматриваемого вопроса удобно представить в виде: . Среди n корней уравнения n-m - левых, m- правых. Граничные корни можно отнести к правым корням. 1) Пусть все корни уравнения - вещественные. Значит, находятся на вещественной оси. При изменении  от 0 до аргумент (угол вектора ) изменится на - для левого корня, на - для правого корня. 2) В случае пары комплексных корней при изменении  от 0 до суммарное изменение аргумента составит: для правых корней и : ; для левых корней и . В целом приращение аргумента (по правилу перемножения комплексных чисел) составит: . Для устойчивости системы необходимо потребовать, чтобы корни были только левые (m = 0). Тогда система будет устойчива, если при изменении  от 0 до приращение аргумента будет равно: . Критерий устойчивости Михайлова (1936) Характерной особенностью данного критерия является то, что об устойчивости системы судят по поведению годографа Михайлова исследуемой системы: • - для разомкнутой системы; • - для замкнутой системы. Под годографом понимается кривая, которую описывает конец вектора или на комплексной плоскости при изменении  от 0 до . Здесь и - полиномы знаменателей соответствующих передаточных функций. На основании принципа аргумента формулируется критерий Михайлова: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Михайлова для замкнутой и для разомкнутой системы) при изменении  от 0 до + повернулся в положительном направлении на угол (/2)n или, иначе, пересек по очереди n квадратов без пропусков. Все эти годографы (и системы соответственно) устойчивы. Эти системы неустойчивы, так как вектор годографа Михайлова вращается в отрицательном направлении. Система неустойчива, так как квадранты проходятся непоследовательно. Система находиться на границе устойчивости. При подсчете порядка системы каждое прохождение годографа через 0 повышает порядок на 1. Следствие из критерия Михайлова: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной частей годографа Михайлова перемежались. Если корни не перемежаются, то система неустойчива. Если характеристическое уравнение не имеет какого-либо члена, то система также неустойчива. 8.4 Частотный критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий Гарри Найквиста (1936) дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) . Ниже показано, как определяется передаточная функция разомкнутой системы для случая единичной и неединичной обратной связи. Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией будем судить по передаточной функции разомкнутой системы , а именно по поведению годографа . Рассмотрим вспомогательную операторную функцию , где обозначено . Пусть порядок полинома равен n и порядок полинома , причем (в основном так и бывает). Тогда порядок полинома также будет равен n. Различают три возможных ситуации: 1. не содержит правых или нулевых корней, то есть разомкнутая система устойчива. 2. имеет хотя бы один правый корень, следовательно, система в разомкнутом состоянии неустойчива. 3. Все корни левые, но есть и корни на мнимой оси (нейтральная система). Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев. Случай 1. Число правых корней равно 0. Все корни - левые. Разомкнутая система устойчива. . Для устойчивости замкнутой системы (это наше требование) необходимо, что все корни полинома - левые, то есть . Применим к принцип аргумента. При изменении от 0 до изменение величины фазового сдвига составляет (в соответствии с правилами деления комплексных чисел): . При устойчивой замкнутой системе приращение . Получили кривую , не охватывающую начало координат: Если учесть, что , следовательно , или . Таким образом в плоскости получаем: Точка () на плоскости преобразовалась в точку ( ) на плоскости . Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывал критическую точку с координатой (). На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии. Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы. На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии. При выходной сигнал отстает от сигнала на входе системы на 1800, то есть находится с ним в противофазе. Если =1 (как на рисунке), то при замыкании системы с ООС сигнал x0, равный алгебраической сумме q и y, не будет ни усиливаться, ни ослабляться. Система будет находиться на границе устойчивости. Если , то сигнал будет циклически усиливаться. Система становится неустойчивой, даже если снять входной сигнал. Случай 2. Система в разомкнутом состоянии неустойчива. Полином имеет m1 правых корней, n-m1 - левых. На основании принципа аргумента: . Следовательно, для устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до , двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), раз охватил критическую точку . Случай 3. В разомкнутом состоянии имеются корни на мнимой оси (нулевые корни). Передаточная функция разомкнутой системы причем , или . Пусть r =1. Если нулевой корень сдвинуть влево на малую величину , тогда передаточная функция примет вид , а частотная характеристика будет определяться выражением . Дальнейшие рассуждения при получении критерия устойчивости базируются на рассмотренном выше случае 1: Начальный радиус точки при есть . Если устремить , то начальное значение АФЧХ также изменится: . Следовательно, предельное стягивание корня на свое исходное положение обеспечивает увеличение начального радиуса до , но интегрирующее звено обеспечивает сдвиг по фазе на угол -900. Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые корни, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении  от 0 до критическая точка не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением. Дополнением является дуга с , повернутая от оси вещественных корней на угол . Обобщенная формулировка критерия Найквиста Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до сделал число положительных переходов действительной оси левее точки () больше числа отрицательных переходов на раз. Считаем слева направо -, +, -, +. Сумма переходов равна нулю. Переходы справа от точки (-1,j0) не считаем. Замкнутая система будет устойчива, если m1=0 (в разомкнутой системе все корни левые). 8.5 Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста) Это разновидность частотного критерия Найквиста, позволяющего выяснить устойчивость системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии (или нейтральной), необходимо и достаточно, чтобы критическая частота, соответствующая переходу ЛФХ через линию (-1800) была больше, чем частота среза. Общая формулировка логарифмического критерия: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов кривой линии в области равнялась , где - число правых корней разомкнутой системы. О применении критериев устойчивости Если имеется дифференциальное уравнение системы в канонической форме или операторное уравнение вида , (), то в этом случае предпочтительно использовать алгебраические критерии. Если порядок уравнения , то лучше критерий Гурвица. Кроме того критерий Гурвица можно рекомендовать, когда необходимо решить задачу нахождения границы устойчивости. Для этого приравнивают к нулю минор и находят из данного уравнения граничные условия. Частотные критерии предпочтительнее, когда имеются соответствующие частотные характеристики. Частотные характеристики применяются при исследовании систем, которые невозможно описать дифференциальными уравнениями (черный ящик). При необходимости экспериментальной оценки устойчивости реальной САУ (например, "черного ящика") следует использовать только частотные критерии. В этом случае эксперимент существенно более безопасен. Он проводится на разомкнутой системе, которая в большинстве случаев устойчива.