Алгебра и геометрия функции двух переменных

Шелехов А.М. Алгебра и геометрия функции двух переменных (введение в дифференциально-топологическую теорию криволинейных три-тканей) Конспект лекций Излагается введение в дифференциально-топологическую теорию криволинейных три-тканей, в рамках которой с единой точки зрения рассматриваются основные понятия математического анализа, алгебры и геометрии. Поэтому пособие весьма полезно будущему учителю математики. Предполагается, что читатель знаком с математикой в объеме 1 курса математического факультета и умеет пользоваться компьютерными средствами типа Geogebra. Лекция 1. Квазигруппы. стр. 4 Бинарная операция. Группоид. Группы. Разрешимость уравнений x·b = c, a · y = c в группе. Таблицы Кэли. Квазигруппы. Латинские квадраты. Ассоциативная квазигруппа является группой. Лупы. Гладкие действительные функции двух действительных аргументов. Гладкие локальные квазигруппы и лупы. Лекция 2. Изотопия. стр. 9 Отношение эквивалентности в математике. Изоморфизм групп. Изотопия группоидов. Главная изотопия. Обратная изотопия. Композиция изотопий. Любой гpуппоид, изотопный квазигpуппе, сам является квазигpуппой. Локальная изотопия гладких локальных квазигрупп. Сдвиги на квазигруппе. LP –изотопы. Любой главный изотоп трехбазисной квазигpуппы q(·), являющийся лупой, будет ее LP -изотопом. Лекция 3. Семейства линий на плоскости. стр. 15 Алгебра и геометрия функции двух переменных. График гладкой функции (простая кривая). Общая кривая. Градиент и нормаль общей кривой. Особые точки общей кривой. Параметризованные кривые. Линии уровня функции двух переменных. Слоения кривых. Семейства кривых. Огибающая семейства кривых. Пучки кривых. Пучки окружностей. Сопряженные пучки окружностей. Лекция 4. Криволинейные три-ткани. стр. 22 Определение криволинейной три-ткани. Область определения три-ткани. Границы три-ткани, их уравнения. Границы второго рода. Параболические точки границы. Уравнение три-ткани. Уравнение параллельной триткани. Примеры три-тканей. 1 Лекция 5. Эквивалентные три-ткани. Регулярные три-ткани. стр. 26 Локальные диффеоморфизмы на плоскости. Эквивалентные три-ткани. Два подхода к определению эквивалентности тканей. Всякая три-ткань эквивалентна ткани, образованной координатной сетью и некоторым семейством кривых. Лекция 6. Условия регулярности три-ткани. стр. 29 Условие регулярности Сен-Робера. Теоремы о границах регулярной триткани. Лекция 7. Координатные квазигруппы и координатные лупы три-ткани. стр. 32 Координатные квазигруппы и координатные лупы три-ткани, изотопия между ними. Тождества в квазигруппах и лупах. Лекция 8. Конфигурации на три-тканях. стр. 36 Шестиугольная конфигурация на три-ткани. Ткани H. Параллельная три-ткань является тканью H. Условное тождество для фигуры H. Конфигурации Томсена и Рейдемейстера, соответствующие условные тождества. Три-ткани T и R. Три-ткани Бола. Параллельная три-ткань является тканью T (R, Бола). Всякая тpи-ткань T является тканью R. Связь между различными условиями замыкания. Замыкание конфигураций на регулярной три-ткани. Лекция 9. Конфигурации на три-тканях и тождества в координатных лупах. стр. 41 Соответствие между конфигурациями на три-ткани и тождествами в ее координатных лупах. Координатные фигуры, связанные с координатной лупой три-ткани. Фигура E. Тождества, соответствующие средней фигуре Бола. Лекция 10. Основная теорема о шестиугольных три-тканях. стр. 44 Лемма о вписанных треугольниках на три-ткани. Всякая шестиугольная криволинейная три-ткань является регулярной. Два основных класса криволинейных три-тканей. Лекции 11 –12. Прямолинейные три-ткани. стр. 48 Уравнение прямолинейной три-ткани. Алгебраические кривые. Алгебраическая кривая класса m. Кривые класса 1, 2. Трехарочная гипоциклоида, ее порядок и класс. Тангенциальные координаты касательной к кривой класса m связаны однородным алгебраическим уравнением степени m. Лекция 13. Кривые класса 3. стр. 55 Общее уравнение кривой третьего класса. Существует пучок кривых третьего класса, содержащих все прямые конфигурации T . Теорема Шаля: если кривая третьего класса содержит 8 прямых конфигурации T , то она содержит и девятую. Теорема Графа–Зауэра: прямолинейная три-ткань W является регулярной тогда и только тогда, когда она образована прямыми некоторой кривой третьего класса. Лекции 14 – 15. Грассмановы три-ткани. стр. 59 2 Грассмановы три-ткани на плоскости. Конфигурация Паскаля на грассмановой три-ткани. Проективная плоскость. Уравнение грассмановой три-ткани на проективной плоскости. Корреляции. Полярное соответствие. Коррелятивное соответствие между кривыми третьего порядка и кривыми третьего класса; между грассмановыми и прямолинейными три-тканями. Двойственный аналог теоремы Графа–Зауэра. Обобщенная теорема Паскаля для кривых третьего порядка. Теорема Паскаля. Теорема Паппа. Три-ткани и номография. Номограмма из выравненных точек. Проблема анаморфозы. Литература основная 1. А.М. Шелехов, В.Б. Лазарева, А.А. Уткин. Криволинейные три-ткани. Тверь, ТвГУ, 2013, 231 с.09306nauch.pdf 2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М., Наука, 1967, 223 с. Belousov1967ru.pdf Дополнительная литература 3. М.А. Акивис, А.М. Шелехов. Многомерные три-ткани и их приложения. Тверь, ТвГУ, 2010, 307 с. 4. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М., Наука, 1973, 399 с. Kurosh1970ru.pdf 5. Лазарева В.Б., А.А. Уткин, Шелехов А.М. К теории криволинейных три-тканей. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Том 124, Москва, 2010, стр. 63-114. 6. В. Бляшке. Введение в геометрию тканей. М., Физматгиз, 1959. К конспекту прилагаются задачи и вопросы для самопроверки. стр. 68 3 Лекция 1. Квазигруппы. Бинарная операция. Группоид. Группы. Разрешимость уравнений x·b = c, a · y = c в группе. Таблицы Кэли. Квазигруппы. Латинские квадраты. Ассоциативная квазигруппа является группой. Лупы. Гладкие действительные функции двух действительных аргументов. Гладкие локальные квазигруппы и лупы. 1. Пусть X — некоторое множество. В курсе алгебры функция двух переменных f : X × X → X называется бинарной операцией на множестве X. Множество X вместе с бинарной операцией f называется группоидом. Функция f записывается в виде z = f (x, y), или z = x · y, z = x ◦ y , z = x?y и т.п. Последние обозначения предпочтительней, если рассматриваются композиции, например, запись (x · y) · z проще, чем равносильная ей по смыслу запись f (f (x, y), z). Из множеств с бинарной операцией наибольшие приложения имеют группы. Напомним определение. Множество G с бинарной операцией · называется группой, если операция · удовлетворяет трем условиям: 1) для нее выполняется тождество ассоциативности, то есть для любых трех элементов из G выполняется равенство (x · y) · z = x · (y · z); 2) в G существует такой элемент e (называемый единицей), что для любого x из G выполняются равенства x · e = e · x = x; 3) для каждого x из G найдется такой элемент y, y ∈ G, что x·y = y·x = e. Элемент y называется обратным элементу x и обозначается x−1 . Перечислим некоторые известные группы. Группа Z(+) — множество целых чисел с операцией сложения; группа Q(+) — множество рациональных чисел с операцией сложения; группа Q(·) — множество рациональных чисел без нуля с операцией умножения; R(+) — множество действительных чисел с операцией сложения; группа R(·) — множество действительных чисел без нуля с операцией умножения; S(n) — множество подстановок из n элементов относительно операции композиции; GL(n) — множество невырожденных квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц; множество комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения; множество D всех движений плоскости относительно операции композиции и т.д. Все числовые группы с операциями обычного сложения и умножения — коммутативные, так как в них выполняются тождества коммутативности y + x = y + x и x · y=y · x. Группы S(n) при n > 2, GL(n) при n > 1 и D, как известно, некоммутативные (приведите пример). Предложение 1. В группе однозначно разрешимы уравнения x · b = c, a · y = c, (1) где a, b, c заданы, x и y — неизвестные.  Действительно, в силу ассоциативности из первого равенства (1) имеем: (x · b) · b−1 = c · b−1 ⇒ x · (b · b−1 ) = c · b−1 ⇒ x · e = c · b−1 ⇒ x = c · b−1 . Аналогично находим, что y = a−1 · c.  4 В произвольном группоиде уравнения (1) могут быть неразрешимы или неоднозначно разрешимы. Рассмотрим, например, группоид из четырех элементов a, b, c, d, бинарную операцию на котором зададим таблицей умножения 11 . Согласно этой таблице, a·c = d и b·c = d, поэтому уравнение x·c = d имеет 2 решения, x = a и x = b. Также имеем d · b = b и d · d = b, поэтому уравнение d · y = b имеет 2 решения, y = d и y = b. А уравнение d · x = c не имеет решения. В дальнейшем нас будут интересовать такие группоиды, в которых уравнения (1) однозначно разрешимы. Определение 1. Группоид, в котором уравнения (1) однозначно разрешимы, называется квазигруппой. Из предложения 1 следует, что группы являются квазигруппами, но обратное неверно. Рассмотрим, например, группоид q,2 заданный таблицей умножения 2. a b c d a b c c d b c a d b c d d b a Таблица 1 d a b a b a b c d a c a d b b d b c a c d a b d c b a c d Таблица 2 c a d b d b c a a d b c b c a d Таблица 3 На таблице 3 находится внутренняя часть таблицы 2, то есть всевозможные произведения элементов a, b, c, d. Как видно, в каждой строке и в каждом столбце этой таблицы все элементы различны. 3 Поэтому в группоиде q (таблица 2) уравнения (1) однозначно разрешимы. При этом группоид q не является группой хотя бы потому, что в нем нет единичного элемента. Теорема 1. Ассоциативная квазигруппа является группой.  Пусть a — произвольный элемент ассоциативной квазигруппы q(·). Рассмотрим уравнение a · e1 = a, (2) где e1 — неизвестное. Так как q квазигруппа, то это уравнение однозначно разрешимо, то есть существует единственное e1 , удовлетворяющее равенству (2). Пусть b — произвольный элемент из q. В силу ассоциативности квазигруппы q(·) верно равенство (b · a) · e1 = b(a · e1 ), или с учетом (2), (b · a) · e1 = b · a. Так как b — произвольный элемент из q, то произведение b · a также произвольный элемент из q. Поэтому последнее равенство означает, что элемент e1 является правой единицей для всех элементов из q. Точно так же доказываем, что существует элемент e2 , который является левой единицей для всех элементов из q. Рассмотрим произведение e2 · e1 . С одной стороны, оно равно e2 , поскольку e1 — правая единица. С другой 1 Такие таблицы называются таблицами Кэли. q от слова quasigroup — квазигруппа. 3 Такие таблицы называются латинскими квадратами. 2 Обозначение 5 стороны, оно равно e1 , поскольку e2 — левая единица. Следовательно, e2 ≡ e1 ≡ e — левая и правая единица в q. Пусть a — произвольный элемент из q(·), рассмотрим уравнение a·x = e, Так как q квазигруппа, то это уравнение имеет единственное решение x — элемент, правый обратный элементу a. Далее из уравнения y ·a = e находим левый обратный элемент y для a. Далее, в силу ассоциативности квазигруппы q выполняется равенство (y · a) · x = y · (a · x). С учетом предыдущих равенств получим e · x = y · e или x = y. Таким образом, каждый элемент квазигруппы q имеет единственный обратный элемент.  2. В квазигруппе, вообще говоря, нет единичного элемента. Но бывают и квазигруппы с единицей. Определение 2. Квазигруппа с единицей называется лупой. Ниже приведен пример лупы четвертого порядка4 с единичным элементом a. a b c d a a b c d b b a d c c c d b a d d c a b Таблица 4 Задачи. 1. Докажите, что в квазигруппе q (таблица 2) не выполняется тождество ассоциативности.(1 балл) 2. Задайте квазигруппу на множестве {a, b, c, d} и выясните, является ли она группой. (1 балл) 3. Задайте лупу четвертого порядка и проверьте, является ли она группой. (2 балла) 4. Задайте квазигруппу пятого порядка и проверьте, не является ли она ассоциативной. (3 балла) 5. Задайте лупу пятого порядка и проверьте, не является ли она ассоциативной. (2 – 3 балла) 3. В дальнейшем мы будем рассматривать гладкие вещественные функции двух вещественных аргументов. Напомним, что функция z = f (x, y) называется гладкой, если в каждой точке области определения существуют частные производные fx и fy и эти производные непрерывны. В наших примерах будут фигурировать только элементарные функции, которые являются гладкими (как известно, они обладают непрерывными частными производными всех порядков). Для гладкой функции z = f (x, y), заданной в некоторой области U , справедлива теорема об обратной функции: если в некоторой точке M0 (x0 , y0 ), M0 ∈ U, выполняются условия fx (M0 ) 6= 0 и fy (M0 ) 6= 0, то у точки M0 4 То есть из четырех элементов. 6 существует окрестность V, V ∈ U , такая что для функции f |V 5 существуют обратные функции x =−1 f (z, y) и y = f −1 (x, z) такие что f (−1 f (z, y), y) ≡ z и f (x, f −1 (x, z)) ≡ z. Короче говорят, что уравнение z = f (x, y) можно локально однозначно разрешить относительно переменных x и y в окрестности точки M0 (x0 , y0 ). 6 Определение 3. Будем говорить, что функция z = q(x, y) задает гладкую локальную квазигруппу с бинарной операцией z = q(x, y) ≡ x · y, если в каждой точке области определения qx 6= 0 и qy 6= 0 , то есть уравнение z = q(x, y) локально однозначно разрешимо в достаточно малой окрестности любой точки области определения. Определение 4. Пусть в области U задана гладкая локальная квазигруппа z = q(x, y), и в области U существуют точка e и такая ее окрестность V , V ⊂ U , что для любого x из V выполняются равенства q(x, e) = q(e, x) = x. Тогда функция q вместе с элементом e и окрестностью V называется гладкой локальной лупой. Элемент e называется единицей лупы. Важное замечание. Понятие квазигруппы можно расширить, рассматривая такие функции z = q(x, y), x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z, у которых области определения переменных x, y, z, вообще говоря, различные. Такие квазигруппы называют трехбазисными. Гладкие локальные квазигруппы, как √ правило, являются трехбазисными. Например, в квазигруппе z = y + x переменная y может принимать любые действительные значения, а переменная x обязана быть неотрицательной. Задачи 6. Проверьте, является ли заданная функция двух вещественных аргументов (бинарная операция) а) квазигруппой; б) лупой (если "да" , то найдите координаты единицы); в) группой; г) локальной квазигруппой; д) локальной лупой (1 – 3 балла): (1) z = x + y, x, y ∈ R; (2) z = 1 1 (x + y), x, y ∈ R; (3) z = (x + y), x, y ∈ R; 2 m 1 2 (x + y 2 ), x, y ∈ R, x > 0, y > 0; 2 (5) z = x2 + y 2 + 2xy, x, y ∈ R, x > 0, y > 0; √ (6) z = xy, x, y ∈ R, x > 0, y > 0. (4) z = 7. Покажите, что понятие трехбазисной квазигруппы не применимо к лупам (1 балл). 8∗. Постройте и опишите графики функций 7 z = x + 2y, z = x2 + y 2 , z = x + y 3 , z = x3 + y 3 , z = x2 + xy + y 2 , z = 1/xy. 5f | V — сужение функции f на область V . 6 Окрестностью точки M (x , y ) называется 0 0 0 внутренность круга с центром в точке M0 (x0 , y0 ) или, более широко, открытая область плоскости, содержащая точку M0 (x0 , y0 ) и гомеоморфная внутренности некоторого круга. 7 Звездочка означает, что при решении задачи целесообразно использовать компьютер. 7 Какие из этих группоидов являются квазигруппами? Локальными квазигруппами? (3 балла) 9. Опишите график вещественной функции двух аргументов z = f (x, y) в случае, если f – квазигруппа. (4 балла) 10. Подготовьте презентацию на тему "Элементарные функции" . (3 – 5 баллов) 8 Лекция 2. Изотопия. Отношение эквивалентности в математике. Изоморфизм групп. Изотопия группоидов. Главная изотопия. Обратная изотопия. Композиция изотопий. Любой гpуппоид, изотопный квазигpуппе, сам является квазигpуппой. Локальная изотопия гладких локальных квазигрупп. Сдвиги на квазигруппе. LP –изотопы. Любой главный изотоп трехбазисной квазигpуппы q(·), являющийся лупой, будет ее LP -изотопом. 1. Отношение эквивалентности играет большую роль в математике. Понятие эквивалентности используется для классификации математических объектов — эквивалентные объекты объединяются в один класс, так как обладают одинаковыми свойствами. Например, в теории групп основным отношением эквивалентности является изоморфизм. Две группы называются изоморфными, если существует биективное отображение одной группы на другую, причем такое, которое сохраняет операцию. Точнее, две группы G(·) и H(◦) называются изоморфными, если существует биекция ϕ : G(·) → H(◦) такая что ϕ(x · y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y) (образ произведения равен произведению образов). Например, биекция x → exp(x) изоморфно отображает группу R(+) в группу R(·), так как exp(x + y) = exp x exp y. В евклидовой геометрии эквивалентные объекты называются равными, например, равные треугольники. Равные объекты можно совместить некоторым движением (сдвигом, поворотом, осевой симметрией или их композицией). В аффинной геометрии два объекта эквивалентны (равны), если их можно совместить некоторым аффинным преобразованием. В проективной геометрии эквивалентные фигуры совмещаются проективным преобразованием и т.д. Рассмотрим более широкое отношение эквивалентности — изотопию. Определение 1. Два группоида q(·) и q̃(◦) называются изотопными, если существует тpойка J = (J1 , J2 , J3 ) биекций Ji : q → q̃, i = 1, 2, 3, таких, что для любых x и y из q выполняется соотношение: J3 (x · y) = J1 (x) ◦ J2 (y) (1) (образ произведения равен произведению образов). Тpойка J = (J1 , J2 , J3 ) называется изотопическим отобpажением или изотопией группоида q на группоид q̃. Изотопия вида (J1 , J2 , id) называется главной изотопией. Если J1 = J2 = J3 , то изотопия является изомоpфизмом. Естественным обpазом опpеделяются обратная изотопия J −1 = (J1−1 , J2−1 , J3−1 ) и композиция • изотопий J = (J1 , J2 , J3 ) и J˜ = (J˜1 , J˜2 , J˜3 ): J • J˜ = (J1 ◦ J˜1 , J2 ◦ J˜2 , J3 ◦ J˜3 ), где значок ◦ обозначает обычную композицию (последовательное действие). Задачи 1. Если J = (J1 , J2 , J3 ) — изотопия q → q̃, то J = (J1−1 , J2−1 , J3−1 ) — изотопия q̃ → q. (2 балла) 9 2. Покажите, что опpеделение изотопии сохpаняет свой смысл и в случае, когда один из группоидов или оба будут трехбазисными. (1 балл) 2. Изотопии обpазуют наиболее шиpокий класс отобpажений, пеpеводящих квазигpуппу снова в квазигpуппу. Это вытекает из следующего утверждения. Теорема 1. Любой гpуппоид, изотопный квазигpуппе, сам является квазигpуппой.  Действительно, пусть q(·) — квазигpуппа, q̃(◦) — группоид, изотопный этой квазигруппе. Следовательно, существуют биекции Ji : q → q̃, i = 1, 2, 3, такие что выполняется тождество (1). Докажем, что q̃(◦) — квазигруппа. Рассмотрим в q̃(◦) уравнение x̃◦b̃ = c̃ и покажем, что оно имеет единственное решение x̃. Так как Ji — биекции, что в q(·) найдутся, причем единственные, такие элементы x, b, c, что J1 (x) = x̃, J2 (b) = b̃, J3 (c) = c̃. В силу тождества (1)имеем J3 (x · b) = J1 (x) ◦ J2 (b). Этому равенству соответствует следующая диаграмма x ↓ J1 x̃ · ◦ b ↓ J2 b̃ = y ↓ J3 = c̃ Рассмотрим в квазигруппе q уравнение x·b = c. Так как q — квазигруппа, то это уравнение имеет единственное решение x. Тогда из равенства J1 (x) = x̃ находим единственное x̃ (так как J1 — биекция). Точно так же доказывается, что уравнение ã ◦ ỹ = c̃ имеет единственное решение ỹ. Следовательно, группоид q̃(◦) — квазигруппа. Следствие из теоремы 1. Соотношение (1) можно рассматривать как определение новой квазигруппы q̃(◦) по заданной квазигруппе q(·). В самом деле, пусть задана квазигруппа q(·) и 3 биекции J1 (x) = x̃, J2 (y) = ỹ, J3 (z) = z̃ из q на некоторое множество q̃. Возьмем в q̃ два любых элемента x̃ и b̃ и определим их произведение x̃ ◦ b̃ следующим образом (см. диаграмму!): по заданому x̃ найдем единственное x = J1−1 (x̃), по заданному b̃ находим единственное b = J2−1 (b̃). Затем находим c = x · b, и, наконец, по c находим единственное c̃ = J3 (c) и полагаем c̃ = x̃ ◦ b̃. Иными словами, x̃ ◦ b̃ = J3 (J1−1 (x̃) · J2−1 (b̃)). (2) В силу теоремы 1 определенный таким образом группоид q̃(◦) будет квазигруппой, причем эта квазигруппа будет изотопна заданной квазигруппе q(·), так как будет выполняться условие (1): J3 (x·b) = J1 (x)◦J2 (b). Квазигруппу q̃(◦) называют изотопным образом квазигруппы q(·). Говорят также, что q̃(◦) получается из q(·) изотопическим преобразованием. В связи с этим замечанием Теорему 1 формулируют иначе: при изотопии квазигруппа переходит в квазигруппу. 10 Пример 1. Рассмотрим квазигруппу q(·), заданную таблицей 4. Зададим биекции из q на q подстановками       a b c d a b c d a b c d J1 = , J2 = , J3 = . c d a b b c d a d a b c В результате получим квазигруппу q̃(◦) с таблицей 5. Ее можно переписать в стандартной форме, расположив сомножители по алфавиту. Для этого сначала поменяем в таблице 5 строки так, чтобы первые множители расположились по алфавиту, получим таблицу 6. Затем в таблице 6 поменяем местами столбцы в таблице так, чтобы вторые сомножителя расположились по алфавиту, получим таблицу 7. Отметим, что в результате произведенной перестановки строк и столбцов закон умножения не изменился, а изменилась только форма его записи. c d a b b d b a c c a c d b d a b c a d c b d a Таблица 5 a b c d b c a d c b d a b c d c d b a a b a c d Таблица 6 a b b a a c c d d b a b c d c d b a c d c d b a Таблица 7 Задача 3. На множестве (a, b, c, d, e) задайте квазигруппу пятого порядка q, 3 биекции J1 , J2 , J3 , найдите изотопный образ q̃ квазигруппы q и приведите полученную таблицу умножения к стандарной форме. (3 балла) 3. Понятие изотопии применимо и к гладким локальным квазигруппам. Пусть даны две гладкие локальные квазигруппы: q с операцией z = q(x, y) ≡ x · y и q̃ с операцией z̃ = q̃(x̃, ỹ) ≡ x̃ ◦ ỹ. Тройку гладких отображений J1 (x) = x̃, J2 (y) = ỹ, J3 (z) = z̃ из q в q̃ будем называть локальной изотопией (или просто изотопией) гладкой квазигруппы q на гладкую квазигруппу q̃, если выполнено условие (1) и, кроме того, J1 , J2 , J3 являются локальными биекциями из q в q̃, то есть в каждой точке области определения производные J10 , J20 , J30 отличны от нуля. Квазигруппы q и q̃ в этом случае будем называть изотопными. Как и в следствии из теоремы 1, по заданной гладкой локальной квазигруппе q(·) и тройке локальных биекций (J1 , J2 , J3 ) из q на некоторое множество q̃ можно ввести на q̃ новую операцию ◦: z̃ = x̃ ◦ ỹ = J3 (J1−1 (x̃) · J2−1 (ỹ)). (3) Покажем, что q̃(◦) будет гладкой локальной квазигруппой. Для этого следует показать, что частные производные функции z̃ = x̃ ◦ ỹ отличны от нуля. Обозначим x · y ≡ q(x, y), x̃ ◦ ỹ ≡ q̃(x̃, ỹ), тогда равенство (3) примет вид q̃(x̃, ỹ) = J3 (q(J1−1 (x̃), J2−1 (ỹ))). (4) 11 Справа в этом равенстве — сложная функция от переменных x̃ и ỹ. Продифференцируем это равенство, например, по x̃, получим ∂ q̃ = J3 q 0 (J1−1 )0 . ∂ x̃ Здесь J3 есть частная производная функции J3 по аргументу q; q 0 есть производная от q по первому аргументу; (J1−1 )0 есть производная от функции (J1−1 ) по аргументу x̃. Все эти производные по определению отличны от ∂ q̃ отлична от нуля. Аналогично докануля, следовательно, и производная ∂ x̃ ∂ q̃ 6= 0. Поэтому, согласно определению, q̃(◦) будет гладкой зывается, что и ∂ ỹ локальной квазигруппой. Изотопические преобразования используют для нахождения квазигруппы, изотопной заданной квазигруппе, но с более простой операцией. Пример 2. Рассмотрим гладкую локальную квазигруппу q с операцией p z = 3 x3 + y 3 , x, y ∈ R, x + y 6= 0. В эквивалентном равенстве z 3 = x3 + y 3 положим z 3 = z̃ = J3 (z), x3 = x̃ = J1 (x), y 3 = ỹ = J2 (y), тогда операция запишется проще: z̃ = x̃ + ỹ. Квазигруппа с такой операцией также определена на R. Функции J1 , J2 , J3 определены в области R/0, так как в точке 0 производные J10 , J20 , J30 обращаются в нуль. Пример 3. Рассмотрим гладкую локальную квазигруппу q с операцией z = x2 + y 2 , x, y, ∈ R, x > 0, y > 0. При условии x > 0, y > 0 тройка отображений z = z̃, x̃ = x2 , ỹ = y 2 будет изотопией квазигруппы q на квазигруппу q̃ с операцией z̃ = x̃ + ỹ. Задача 4. Для заданных гладких локальных квазигрупп найти изотопные им квазигруппы с более простой pоперацией (1 –2 балла): (1) z = x + 2y, x, y ∈ R; (2) z = 3 x + 2y 5 , x, y ∈ R; (3) z = ex−3y , x, y ∈ R; (4) z = xy + x + y, x 6= −1, y 6= −1. 4. Пусть a — элемент квазигруппы q(·) и z = a · y. Говорят, что элемент z получается из элемента y левым сдвигом с помощью элемента a и записывают это так: z = La (y). Будем считать элемент a фиксированным, а y и z — переменными, тогда левый сдвиг — это функция переменной y. Например, в группе z = x + y левый сдвиг z = La (y) будет z = a + y. Аналогично, правый сдвиг с помощью элемента b есть отображение z = x · b = Rb (x). Из определения квазигруппы следует, что сдвиги являются биекциями (докажите), так что существуют обратные функции y = L−1 a (z) и x = Ra−1 (z). Для гладких локальных квазигрупп сдвиги определяются аналогично, −1 но они локально биективны, то есть обратные функции L−1 a (z) и Ra (z) получаются при некоторых ограничениях на область определения. Понятие сдвига применимо и к трехбазисным квазигруппам. Теорема 2. Пусть q : X × Y → Z – трехбазисная квазигруппа. Тогда всякая пара элементов a и b, a ∈ X, b ∈ Y , определяет на множестве Z лупу, главноизотопную квазигруппе q. 12  Пусть q(·) — квазигруппа и v = a · y = La (y), u = x · b = Rb (x). Тогда −1 y = L−1 a (v), x = Rb (u). Введем на множестве Z новую операцию u ◦ v = x · y = Rb−1 (u) · L−1 a (v). (5) Сравнивая это равенство с определением изотопии (1), видим, квазигруппа q(·) и группоид Z(◦) изотопны, причем изотопия Z(◦) → q(·) имеет вид (Rb−1 , L−1 a , id). Это главная изотопия. В силу теоремы 1 группоид Z(◦) будет квазигруппой. Покажем, что Z(◦) — лупа с единицей e = a · b. Из последнего равенства −1 получаем L−1 a (e) = b, Rb (e) = a. Поэтому u ◦ e =Rb−1 (u) · L−1 a (e) = x · b = u, e ◦ v =Rb−1 (e) · L−1 a (v) = a · y = v.  Лупа Z(◦) называется LP -изотопом квазигpуппы q и обозначается `(a, b). Значение LP -изотопов выясняется в следующем утвеpждении. Теорема 3. Любой главный изотоп трехбазисной квазигpуппы q(·), являющийся лупой, будет ее LP -изотопом.  Пусть главная изотопия q → Q(◦), где Q(◦) — лупа, имеет вид (J1 , J2 , id), тогда J1 (x) ◦ J2 (y) = x · y ∈ Z. Таким образом, Q ≡ Z. Пусть e — единица лупы Q(◦). Обозначим J1−1 (e) = a, J2−1 (e) = b. Из pавенств J1 (a) ◦ J2 (y) = a · y и J1 (a) = e вытекает, что J2 (y) = a·y, т. е. J2 = La . Аналогично находим, что J1 = Rb . Следовательно, изотопия q → Z(◦) имеет вид (Rb , La , id), а обратная изотопия Z(◦) → q — вид (Rb−1 , L−1 a , id).  Пример 4. Построим LP -изотоп `(c, d) квазигруппы Q, заданной таблицей 2. Как видно из таблицы 2, сдвиг Rd есть результат умножения крайнего левого столбца (первые сомножители) на элемент d. В результате получается третий внутренний столбец, см. рис. 21. Вторые множители (первая строка в таблице 2) преобразуются левым сдвигом Lc . Для этого умножаем элементы первой строки слева на c, см. рис. 22. Согласно определению LP -изотопа (см. формулы (5)), полученные в результате сдвигов элементы становятся сомножителями в этом LP -изотопе. Поэтому умножение в нем дается таблицей 8. Элементы во внутренней части таблицы те же, что и в таблице 2, так как при главной изотопии произведения не меняются: u ◦ v = x · y, см. (5). Как видно из таблицы 8, единицей в построенном LP -изотопе является элемент c · d = a. a b b Rd c =⇒ c a d d a b Рис. 21 c L c d =⇒ d Рис. 22 13 c b a b c a d d c a d b c b d a b d c b a c a b c a d a b c d Таблица 8 a a b c d b c b c a d d b c a d d c a b Таблица 9 Задачи. 5. Покажите, что в результате приведения таблицы 8 к стандартной форме получится таблица 9. (1 балл) 6. Задайте квазигруппу порядка 4 на множестве a, b, c, d и, пользуясь теоремой 2, постройте изотопную ей лупу с единицей b. (2 балла) 7. Задайте квазигруппу порядка 5 на множестве {a, b, c, d, f } и, пользуясь теоремой 2, постройте изотопную ей лупу с единицей b. (3 балла) 8. Докажите теорему Алберта: группа, изотопная лупе, ей изоморфна. См. [2], стр. 17; [4], стр. 69-70. (5 баллов) 14 Лекция 3. Семейства линий на плоскости. Алгебра и геометрия функции двух переменных. График гладкой функции (простая кривая). Общая кривая. Градиент и нормаль общей кривой. Особые точки общей кривой. Параметризованные кривые. Линии уровня функции двух переменных. Слоения кривых. Семейства кривых. Огибающая семейства кривых. Пучки кривых. Пучки окружностей. Сопряженные пучки окружностей. 1. Рассмотрим гладкую функцию двух переменных z = f (x, y), (1) определенную в некоторой области D плоскости. Более того, будем считать, что у функции f (x, y) в каждой точке области D существуют частные производные всех порядков по x и по y и эти производные непрерывны в каждой точке области определения. Как уже было сказано, функцию f можно рассматривать как бинарную операцию — гладкую локальную квазигруппу. С другой стороны, уравнение (1) задает в трехмерном евклидовом пространстве график функции f , который называется также простой поверхностью, обозначим его V . Он состоит из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Свойства поверхности V (ее вид, кривизна, вычисление кратчайших расстояний между ее точками и множество других вопросов) изучаются в курсе евклидовой дифференциальной геометрии и математического анализа. Возможна еще одна интерпретация уравнения (1). На плоскости XOY оно задает семейство линий уровня функции f : f (x, y) = const. Но кроме этого семейства на плоскости есть еще два семейства линий: x = const (вертикальные прямые) и y = const (горизонтальные прямые), которые вместе образуют декартову сеть. Таким образом, мы имеем 3 семества линий, так называемую три-ткань. Более общее определение три-ткани будет дано позже. Три-ткани будут основным объектом нашего рассмотрения. 2. Напомним некоторые необходимые для дальнейшего сведения из курса дифференциальной геометрии. Пусть R2 — евклидова плоскость, x, y — декартовы координаты на ней, y = f (x), x ∈ I ⊂ R, 8 — гладкая функция. График гладкой функции называется простой кривой. Напомним, что производная f 0 (x) есть угловой коэффициент касательной к графику в точке (x, f (x)). Пусть F (x, y), (x, y) ∈ D, — гладкая функция, заданная в области D плоскости. Общей кривой называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0. Общая кривая представляет собой объединение нескольких или даже бесконечного числа простых кривых (графиков). √ Например, окружность x2 + y 2 = a2 есть объединение √ двух графиков: y = a2 − x2 (верхняя полуокружность) и y = − a2 − x2 (нижняя полуокружность). 8 Здесь и далее I — объединение числовых интервалов или отрезков прямой. 15 Обозначим Fx и Fy частные производные функции F (x, y). Вектор N с координатами (Fx (M ), Fy (M )) называется градиентом функции F в точке M . Если точка M лежит на кривой F (x, y) = 0, то вектор N направлен перпендикулярно касательной к этой кривой в точке M , то есть направлен по нормали к кривой. Точки общей кривой, в которых N = 0, то есть Fx = 0 и Fy = 0, называются особыми точками этой кривой. Напомним определение параметризованной кривой. Пусть точка движется по некоторой траектории. Координаты точки в момент времени t обозначим x(t), y(t). Тогда уравнения x = x(t), y = y(t), t ∈ I ⊂ R, где I — отрезок прямой или интервал, называются уравнениями движения точки, а траектория движения вместе с уравнениями движения называется параметризованной кривой. Например, уравнения x = t, y = t2 задают движение точки по параболе y = x2 , причем вектор скорости этого движения в момент времени t (он же касательный вектор к траектории в точке (x(t), y(t))) имеет координаты x0 = 1, y 0 = 2t. Мы будем рассматривать только такие параметризованные кривые, для которых функции x(t) и y(t) являются гладкими. Задачи. 1. Постройте графики функций (1)y = x3 ; (2)y = x2/3 ; (3)y = x4 ; x+1 ; (4)y = 2x ; (5)y = ln(x + 1); (6)y = sin 2x; (7)y = cos(x2 ); (8)y = x−1 1 (9)y = 2 . (1–2 балла) x +1 2. Постройте кривые а) sin x − sin y = 0; б) x2 − y 3 = 0 (полукубическая парабола); в) x2 − y 4 = 0; г) x3 + y 3 = 1; д) x4 + y 4 = 1. (1–2 балла) 3. Найдите особые точки кривых из задачи 2. (2 балла) 4. Найдите общее уравнение траектории заданной параметризованной кривой: (1)x = at + b, y = ct + d; (2)x = t3 , y = t2 ; (3)x = 3 cos t, y = 3 sin t; (4)x = 2 sin t, y = cos t; (5)x = a sin t + b, y = c sin t + d; t 1 (6)x = cosh t, y = sinh t; (7)x = ,y= . (1–2 балла) 3 1+t 1 + t3 3. Пусть F (x, y) — гладкая функция, определенная в некоторой области D плоскости. Общая кривая F (x, y) = u, u ∈ R, (2) называется линией уровня функции F . Через каждую точку области D проходит единственная линия уровня функции F (докажите). Если u ∈ I ⊂ R, где I — некоторый интервал, то линии уровня заполняют всю область D. Полученное семейство кривых называется слоением. Слоение замечательно тем, что через каждую точку области D проходит одна и только одна кривая из этого семейства. Переменная u называется параметром слоения. Важное замечание. Параметр слоения определен неоднозначно, с точностью до функциональной замены. Например, уравнения F (x, y) = u и F (x, y) = sin u, задают одно и то же слоение, если u принимает значения в некоторой достаточно малой окрестности нуля. Поэтому будем считать 16 допустимыми замены вида u = θ(ũ), где θ(ũ) — гладкая функция и выполнено условие θ0 (ũ) 6= 0. 9 По теореме об обратной функции это условие гарантирует существование окрестности, в которой θ(ũ) есть биекция. Рассмотрим более общую ситуацию. Уравнение F (x, y, u) = 0, (3) где F (x, y, u) — гладкая функция от трех аргументов, x, y — декартовы координаты, u ∈ I ⊂ R, определяет при каждом значении переменной u общую кривую. В результате получаем семейство общих кривых, обозначим его λ(u). Переменная u называется параметром семейства. Если уравнение F (x, y, u) = 0 нелинейно относительно параметра u, то через каждую точку области D могут проходить несколько, и даже счетное множество линий семейства λ(u) (например, y − x sin u = 0, u ∈ R.) Чтобы найти параметры линий семейства λ(u) , проходящих через точку M (x0 , y0 ), надо разрешить уравнение F (x0 , y0 , u) = 0 относительно u. Решения имеют вид uξ = uξ (x0 , y0 ), где ξ = 1, 2, ... пробегает значения из некоторого подмножества натуральных чисел. В достаточно малой окрестности точки M (x0 , y0 ) 10 функции uξ = uξ (x0 , y0 ) имеют вид (2), следовательно, каждая из них определяет в этой окрестности слоение. Таким образом, уравнение F (x, y, u) = 0 определяет в некоторой окрестности каждой точки M (x0 , y0 ) области D k слоений, где k — некоторое натуральное число, нуль или бесконечность, в зависимости от функции F . В этом случае говорят, что семейство λ(u) задает локально k слоений. Локальная точка зрения позволяет описывать с общих позиций самые разные семейства кривых. Пример 1. Семейство y − ux = 0, u ∈ R, включает в себя все прямые пучка с вершиной O(0, 0) кроме оси Y . Пусть точка M (x0 , y0 ) не лежит на оси Y , и U — такая окрестность этой точки, которую не пересекает ось Y . Тогда в окрестности U линии семейства образуют слоение. Пример 2. Пусть семейство λ — совокупность касательных к окружности S, заданной уравнением x2 + y 2 = 1, и D — область плоскости вне окружности S. Через каждую точку области D проходит 2 касательные, поэтому в целом совокупность касательных не образует слоения в D. Но можно каждую из касательных разделить точкой касания на две полупрямые. Полупрямые одного направления образуют слоение в области D. В итоге в области D получаем 2 слоения, образованные половинками касательных. Локально слоения из касательных можно получить, например, следующим образом. Пусть M (x0 , y0 ) — произвольная точка области D, тогда через нее проходит две касательные к окружности S, обозначим их t1 и t2 , а точки касания на окружности — T1 и T2 соответственно. Рассмотрим окрестность точки M (x0 , y0 ) — окружность V с центром в M (x0 , y0 ), лежащую целиком в области D. Окружности S и V имеют 4 общих касательных, две внешних и две внутренних, причем две из них — одна внешняя и одна 9 Такие функции называются локальными диффеоморфизмами. также "при достаточно малом шевелении точки M0 " . 10 Говорят 17 внутренняя — касаются окружности S в точках K1 и K10 вблизи точки T1 , а две других касаются окружности S в точках K2 и K20 вблизи точки T2 (рис. 1). Выберем в качестве параметра касательной, например, ее угол с положительным направлением оси X, и обозначим параметры касательных в точках K1 и K10 , K2 и K20 через u1 и u01 , u2 и u02 соответственно, а параметры касательных t1 и t2 соответственно через ũ1 и ũ2 . Если u01 < ũ1 < u1 и u2 < ũ1 < u02 , то касательные t1 и t2 образуют слоения в окрестности V . Другой способ параметризации локальных слоений из касательных к окружности см. в примере 4 из лекции 5. Чтобы представить себе, как выглядит семейство кривых, полезно найти огибающую этого семейства. Напомним, что огибающей семейства кривых называется общая или параметризованная кривая, которая в каждой своей точке касается какой-либо кривой этого семейства. Огибающая семейства (3) входит в состав дискриминантной кривой семейства, которая находится из системы уравнений F (x, y, u) = 0, Fu (x, y, u) = 0. Кроме огибающей, в состав дискриминантной кривой входят особые точки кривых семейства и особенности самого семейства.11 Отметим, что огибающая существует не всегда. Например, семейство параллельных прямых не имеет огибающей. Пример 3. Рассмотрим квадратичное семейство прямых u2 x + uy − 1 = 0. Его огибающую находим из системы u2 x + uy − 1 = 0, 2ux + y = 0. При x = 0 эта система несовместна, поэтому x 6= 0 и из второго уравнения можно выразить u и подставить найденное выражение в первое уравнение: u=− y , 2x y2 y x− y − 1 = 0. 4x2 2x Отсюда после преобразований получаем y 2 +4x = 0. Это каноническое уравнение параболы, проходящей через точки (0, 0), (−1, 2) и (−1, −2) (сделайте рисунок). Таким образом, рассматриваемое семейство прямых состоит из касательных к параболе y 2 + 4x = 0. Через точку плоскости проходят две касательные, следовательно, в окрестности этой точки будут два расслоения, принадлежащие заданному семейству. Задачи. 5. Опишите следующие слоения (по 1-2 балла): (1)y/x = u = const; 2 2 +y 2 (2)y + x = u; (3)x2 + y 2 = u; (4)x2 − y 2 = u; (5) xy2 + 1 = u; (6) x 2x = u; x 4 4 (7)y − e = u; (8)x + y = u. 6. Опишите семейства линий (по 1–2 балла): (1)y − xu = 1 (1 балл); (2) u2 y + x = u (2 балла); (3) u2 x2 + y 2 = u (2 балла); (4) x2 − uy 2 = 1 (3 балла); x2 (5) 2 − y 2 = u (3 балла); (6) u3 x + u2 y = 1 (3 балла); (7)y − uex = 1(2 u π π балла); (8) ux4 + y 4 = 1 (3 балла); (9)y − sin ux = 0, − < u < . 2 2 11 Более подробно об огибающих можно прочитать в учебниках по дифференциальной геометрии, более детально — в книге Залгаллера В.А. Теория огибающих, 1975, 104 с. 18 4. Наиболее простые семейства кривых — это пучки кривых. Пусть уравнение f1 (x, y) = 0 задает общую кривую S1 , уравнение f2 (x, y) = 0 задает общую кривую S2 . Тогда уравнение λf1 (x, y) + µf2 (x, y) = 0, (4) где λ и µ принимают всевозможные действительные значения, одновременно не равные нулю, задает линейное семейство кривых, которое называется пучком кривых с базисными кривыми S1 и S2 . Переменные λ и µ называются однородными параметрами пучка. Если пучок не содержит кривую S2 (λ 6= 0), то можно ввести неоднородный параметр u = µ/λ, u ∈ R, тогда уравнение (4) примет вид f1 (x, y) + uf2 (x, y) = 0. (40 ) Если u → ∞, то левая часть равенства (4’) стремится к f2 (x, y), и мы получаем кривую S2 . В дальнейшем будем считать, что параметр u в уравнении (4’) принимает все действительные значения плюс значение ∞, тогда уравнение (4’) будет описывать весь пучок. 12 Если S1 и S2 — прямые, то уравнение (4) задает пучок прямых, это известно из курса аналитической геометрии. Все прямые пучка проходят через точку пересечения базисных прямых S1 и S2 , эта точка называется вершиной пучка. В качестве базисных можно взять две любые прямые пучка. Докажите, что верно следующее Предложение 1. Если базисные кривые S1 и S2 окружности, то все кривые пучка (4) также окружности, проходящие через точки пересечения окружностей S1 и S2 . (2 балла) Если окружности S1 и S2 пересекаются в вещественных точках (вершинах пучка), то определяемый ими пучок окружностей называется эллиптическим. Таким образом, эллиптический пучок есть множество окружностей, проходящих через две точки. Если окружности S1 и S2 не пересекаются (то есть пересекаются в точках с комплексно-сопряженными координатами), то получаем гиперболический пучок окружностей. Если окружности S1 и S2 касаются, то соответствующий пучок окружностей называется параболическим. Докажите, что верны следующие утверждения. Предложение 2. Любые две окружности гиперболического пучка не имеют общих точек. Гиперболический пучок содержит две окружности нулевого радиуса (точки). (4 балла). Предложение 3. Любые две окружности параболического пучка касаются друг друга в общей точке. (4 балла) Предложение 4. Любой пучок окружностей содержит прямую (которая называется радикальной осью пучка.) (2 балла). 12 Прямая, дополненная бесконечно удаленной точкой, топологически эквивалентна окружности, и называется проективной прямой, см. лекции 14-15. 19 Две точки плоскости A и B определяют два пучка окружностей: эллиптический пучок окружностей, состоящий из окружностей, проходящих через A и B, и гиперболический пучок окружностей, для которого точки A и B являются окружностями нулевого радиуса 13 . Такие два пучка, эллиптический и гиперболический, называются сопряженными. Предложение 5. Сопряженные пучки ортогональны, то есть любая окружность эллиптического пучка ортогональна любой окружности сопряженного гиперболического пучка. (7 баллов). Задачи. 7. Опишите следующие пучки окружностей и изобразите их на рисунке (по 1-2 балла): x2 + y 2 + ux = 0; (x − 1)2 + (y + 2)2 + ux = 0; x2 + y 2 − 1 + u(x − 2) = 0; (x − 1)2 + y 2 + u((x + 1)2 + y 2 ) = 0; x2 + y 2 − 1 + u(x − 1) = 0; (x − 1)2 + y 2 + u((x + 1)2 + y 2 − 1) = 0. S Как было сказано выше, здесь u = R ∞. 8. Изобразите на рисунке следующие семейства линий (u — параметр, u ∈ I ⊂ R) и запишите уравнения соответствующих слоений: а) x = u; y = u; x + y − u = 0; x + uy = 0; x + 1 + u(y + 2) = 0; x2 + y 2 = u2 ; xy = u; y = ux2 ; (x − u)2 + y 2 = 4; (x − u)2 + y = 0; (1-2 балла) б) sin x + sin uy = 0, x2 + y 2 + ux = 0, (x − 1)2 + (y + 2)2 + ux = 0, (x − 1)2 + y 2 + u((x + 1)2 + y 2 ) = 0, x2 + y 2 − 1 + u(x − 1) = 0, x2 + y 2 − 1 + u(x − 2) = 0; y = ux2 − u2 ; 3(y − u)2 = 2(x − u)3 . (3-4 балла) 9. Найдите дискриминантную кривую и огибающую семейств кривых из п. 8 (по 1-3 балла) 13 Их можно взять в качестве базисных окружностей этого гиперболического пучка. 20 Лекция 4. Криволинейные три-ткани. Определение криволинейной три-ткани. Область определения три-ткани. Границы три-ткани, их уравнения. Границы второго рода. Параболические точки границы. Уравнение три-ткани. Уравнение параллельной триткани. Примеры три-тканей. 1. Определение 1. Будем говорить, что семейства гладких кривых образуют в некоторой области D плоскости R2 три-ткань W , если: а) у каждой точки области D существует окрестность, в которой эти семейства образуют 3 слоения, обозначим их λi , i = 1, 2, 3; б) в каждой точке p области D линии этих слоений транcверсальны, то есть никакие две из них не касаются в точке p. Уравнения слоений, образующих ткань W , будем записывать в виде: u1 (x, y) = u1 = const, u2 (x, y) = u2 = const, u3 (x, y) = u3 = const. (1) Обычно областью определения три-ткани W называют наибольшую область D плоскости, в которой выполняются свойства а) и б). В этом случае на границу области D попадают точки, в которых нарушается пункт б) определения 1, то есть такие точки, в которых линии разных семейств касаются. Такие точки будем называть граничными, а совокупность таких точек — граничными кривыми или границами три-ткани. Обозначим через Γjk граничную кривую, в точках которой касаются линии семейств λj и λk . Рассмотрим определители Mjk ≡ ∂uj ∂x ∂uk ∂x ∂uj ∂y ∂uk ∂y . Используя понятие градиента (см. п. 2 лекции 3), докажите следующее утверждение (5 баллов). Теорема 1. В области D определители Mjk отличны от нуля. Граница Γjk определяется уравнением Mjk = 0. (2) В частности, может оказаться, что граница представляет собой общую кривую двух семейств. Такие границы будем называть границами второго рода. Например, если первое семейство — вертикальные прямые y = const, второе семейство — пучок прямых, то общая линия этих семейств — вертикальная прямая пучка — будет границей второго рода. Границы Γjk могут содержать параболические точки, в которых касаются линии всех трех семейств три-ткани. Совокупность параболических точек будем называть параболической границей. Параболическая граница также может быть первого или второго рода. Например, если первое семейство — вертикальные прямые, второе семейство — пучок прямых с вершиной в начале координат, третье семейство состоит из линий x = uy 2 , то 21 общая линия этих семейств — вертикальная прямая пучка — будет параболической границей второго рода этой три-ткани. Например, три-ткань, образованная семействами u1 (x, y) + c1 u0 (x, y) = 0, u2 (x, y) + c2 u0 (x, y) = 0, u3 (x, y) + c3 u0 (x, y) = 0 имеет параболическую границу второго рода u0 (x, y) = 0. Границы второго рода можно найти с помощью следующего утверждения. Теорема 2. Пусть существуют такие значения параметров u1 = a1 и u2 = a2 , при которых уравнение (3) три-ткани W тождественно удовлетворяется относительно параметра u3 . Тогда либо а) значениям u1 = a1 и u2 = a2 соответствуют совпавшие линии семейств (граница второго рода, входящая в состав Γ12 , либо б ) точка пересечения линий u1 = a1 и u2 = a2 является вершиной третьего семейства. Другие границы второго рода и вершины находятся аналогично.  В самом деле, если линии u1 = a1 и u2 = a2 совпадают, то линия третьего семейства, проходящая через точку их пересечения, становится неопределенной. Если же линии u1 = a1 и u2 = a2 различны, то они пересекаются в некоторой точке p, и тогда тождество F (a1 , a2 , u3 ) ≡ 0 означает, что через точку p проходят все линии третьего семейства.  Следствие. Если линии u1 = a1 , u2 = a2 , u3 = a3 имеют общую часть — параболическую границу второго рода, то параметры a1 , a2 , a3 удовлетворяют трем тождествам: F (a1 , a2 , u3 ) ≡ 0, F (a1 , u2 , a3 ) ≡ 0, F (u1 , a2 , a3 ) ≡ 0. 2. Исключив из уравнений (1) переменные x и y, получим уравнение вида F (u1 , u2 , u3 ) = 0, (3) которое связывает параметры линий ткани14 , проходящих через точку (x, y). Уравнение (3) называется уравнением три-ткани W , а функция F (u1 , u2 , u3 ) называется функцией три-ткани. Отметим, что все три переменные входят в F существенно. Важное замечание. Уравнение три-ткани (3) определено неоднозначно, поскольку неоднозначно определены параметры слоений u1 , u2 , u3 (см. важное замечание в лекции 3). Напомним, что параметры ui допускают замены вида (см. лекцию 3): u1 = α(ũ1 ), u2 = β(ũ2 ), u3 = γ(ũ3 ), (4) причем выполнены условия α0 6= 0, β 0 6= 0, γ 0 6= 0. Используя допустимые замены параметров вида (4), можно упрощать уравнение (3) три-ткани. Пример 0. Простейшая три-ткань образована тремя семействами параллельных прямых. Обозначим ее Π. Область определения ткани Π — вся 14 Иногда для краткости вместо «три-ткань» будем говорить «ткань». 22 плоскость R2 . У параллельной ткани Π нет граничных кривых. 15 Найдем уравнение три-ткани Π. Семейства параллельных прямых, образующих параллельную три-ткань Π, запишем в виде λi : ai x + bi y + ci = 0, i = 1, 2, 3, где ai и bi — постоянные, а ci — параметры. Исключая из этих уравнений переменные x и y, получим уравнение три-ткани три-ткани Π: Ac1 + Bc2 + Cc3 = 0. После допустимых преобразований вида (3): Ac1 = u1 , Bc2 = u2 , Cc3 = u3 получим уравнение параллельной три-ткани в наиболее простом виде: u1 + u2 + u3 = 0. (5) Пример 1. Три-ткань W0 , образованная тремя пучками S Sпрямых с вершинами A, B и C, имеет границу второго рода AB BC AC — общие линии двух семейств, но не имеет границ первого рода. Область S определеS ния ткани W0 состоит из семи связных областей, D = R2 /AB BC AC. Найдем уравнения три-ткани W0 . Запишем уравнения прямых AB, BC и AC соответственно в виде `3 = 0, `1 = 0 и `2 = 0, тогда уравнения пучков, образующих три-ткань W0 , можно записать так: `2 + u1 `3 = 0, `3 + u2 `1 = 0 и `1 +u3 `2 = 0. Исключая координаты (они входят в `i ), получим уравнение три-ткани W0 : u1 u2 u3 = −1. Поскольку прямые `i не входят в область определения ткани, то u1 u2 u3 6= 0. Рассмотрим, например, область, в которой u1 > 0, u2 > 0, u3 < 0 и перепишем уравнение ткани в виде u1 u2 (−u3 ) = 1. Логарифмируя, получим ln u1 + ln u2 + ln(−u3 ) = 0. Полагая ū1 = ln u1 , ū2 = ln u2 , ū3 = ln(−u3 ), получим уравнение вида (5): ū1 + ū2 + ū3 = 0. Пример 2. Регулярная ткань, образованная декартовой сетью x = a, y = b и линиями уровня функции x2 + y 2 , имеет границу первого рода — объединение координатных осей x и y.16 Уравнение ткани получается исключением переменных x и y из уравнений x = a, y = b и x2 + y 2 = c и имеет вид c = a2 + b2 . После допустимой замены c = a2 = u1 , b2 = u2 , −c = u3 получим также уравнение (5). Еще раз отметим принципиальное различие между границами первого и второго рода: в точках границы первого рода нарушено условие трансверсальности линий ткани (они касаются), но выполнено условие инцидентности — через каждую точку проходят три линии ткани, по одной из каждого семейства. В точках границы второго рода нарушено условие инцидентности — линии разных семейств совпадают. Пример 3. Ткань W образована двумя параболическими пучками окружностей с вершиной в начале координат и линиями центров OX и OY соответственно, и семейством концентрических окружностей с центром в начале 15 Но на проективной плоскости, которая получается дополнением аффинной плоскости R2 бесконечно удаленной прямой, эта прямая будет общей для всех трех семейств триткани Π, то есть будет параболической границей второго рода. 16 А бесконечно удаленная прямая, находящаяся вне области действия декартовых координат x и y, есть параболическая граница второго рода. 23 координат (гиперболический пучок с нулевыми окружностями в начале координат и в бесконечно удаленной точке). В первом пучке в качестве базисных окружностей возьмем начало координат и радикальную ось пучка — ось OY . Их уравнения x2 + y 2 = 0 и x = 0, поэтому уравнение пучка будет x2 + y 2 + u1 x = 0. Аналогично находим уравнение второго параболического пучка: x2 +y 2 +u2 y = 0. Уравнение третьего семейства — x2 +y 2 = (u3 )2 . Исключая из этих уравнений перемен1 1 1 ные x и y, найдем уравнение ткани: 2 + 2 = 2 . Как видно, это уравнение u1 u2 u3 приводится к виду (5) допустимой заменой u12 → u1 , u12 → u2 , u12 → u3 . 1 2 3 Задача 1∗. (3-6 баллов) Найдите границы области определения и уpавнение тpи-ткани, обpазованной на плоскости: 1) горизонтальными прямыми, семейством окружностей (x − 1)2 + y 2 = const, пучком прямых с вершиной в начале координат; 2) вертикальными прямыми, прямыми x + k(y − 1) = 0, окружностями (x − c)2 + y 2 = c2 ; 3) тремя семействами концентpических окpужностей с центрами (0, 0), (1, 0) и (0, 1); 4) пpямыми y = const, пучком пpямых с вершиной в начале кооpдинат, паpаболическим пучком окpужностей с веpшиной в O, линией центpа котоpого служит ось y; 5) пучком пpямых с веpшиной в точке O, семейством концентpических окpужностей с центpом в точке O, гипеpболическим пучком окpужностей с веpшинами в точках (1, 0) и (−1, 0); 6) декаpтовой сетью и эллиптическим пучком окpужностей с веpшинами в точках (1, 1) и (−1, −1). 7) горизонтальными прямыми, касательными к параболе y = x2 , окружностями x2 + y 2 = const; 8) двумя ортогональными параболическими пучками окружностей с общей вершиной и гиперболическим пучком окружностей, одна из вершин (окружность нулевого радиуса) которого совпадает с общей вершиной параболических пучков; 9) двумя эллиптическими пучками окружностей с вершинами A, B и B, C соответственно, и гиперболическим пучком окружностей с вершинами A и C; 10) двумя параболическими пучками окружностей и эллиптическим пучком окружностей, вершины которого совпадают с вершинами параболических пучков; 11) декартовой сетью и семейством окружностей x2 +y 2 −2ax−2ay+a2 = 0. Задача 2∗. Найдите границы три-ткани, образованной семействами 1) y = sin x + a, x = sin y + b, y = kx; (5 баллов) 2) y = kx, x2 + y 2 = b, y = ex + c. (4 балла) 24 Задача 3. Докажите: если три-ткань образована декартовой сетью x = const, y = const и линиями уровня функции f (x, y), то ее границы задаются ∂f ∂f уравнениями Γ13 : = 0, Γ23 : = 0. (2 балла) ∂y ∂x 25 Лекция 5. Эквивалентные три-ткани. Регулярные три-ткани. Локальные диффеоморфизмы на плоскости. Эквивалентные три-ткани. Два подхода к определению эквивалентности тканей. Всякая три-ткань эквивалентна ткани, образованной координатной сетью и некоторым семейством кривых. 1. Для дальнейшего уточним понятие локального диффеоморфизма. Пусть D и D̃ — две области плоскости, и пусть гладкое отображение ϕ : D → D̃, заданное формулами ϕ : x̃ = g(x, y), ỹ = h(x, y) (1) является биекцией. Если обратное отображение ϕ−1 также является гладким отображением, то ϕ называется диффеоморфизмом. Если же гладкое отображение ϕ не является, вообще говоря, диффеоморфизмом, но является таковым в некоторой окрестности каждой точки области D, то оно называется локальным диффеоморфизмом. В силу теоремы об обратной функции отображение (1) является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда в каждой точке области D выполнено условие ∂g ∂g ∂x ∂y (2) ∂h ∂h 6= 0. ∂x ∂y Определение 1. Пусть три-ткань W задана в области D и три-ткань f — в области D̃. Три-ткани W и W f называются эквивалентными, если W существует локальный диффеоморфизм ϕ : D → D̃, который линии триf. ткани W переводит в линии соответствующего семейства три-ткани W Пусть слоения три-ткани W заданы в виде (1, лекция 4), а слоения триf записаны аналогичным образом: ткани W ũ1 (x, y) = ũ1 = const, ũ2 (x, y) = ũ2 = const, ũ3 (x, y) = ũ3 = const. (10 ) Если диффеоморфизм ϕ переводит линии три-ткани W в линии соответf , то существуют 3 локальных диффеоствующего семейства три-ткани W морфизма на семействах линий ткани: ũ1 = α(u1 ), ũ2 = β(u2 ), ũ3 = γ(u3 ). (3) При этом функции α(u1 ), β(u2 ), γ(u3 ) связаны следующим условием: если линии три-ткани W с параметрами u1 , u2 , u3 проходят через одну точку, f то и соответствующие им линии с параметрами ũ1 , ũ2 , ũ3 три-ткани W также проходят через одну точку. Это условие можно записать в виде F̃ (α(u1 ), β(u2 ), γ(u3 )) = 0 ⇔ F (u1 , u2 , u3 ) = 0, (4) если уравнение три-ткани W записано в виде F (u1 , u2 , u3 ) = 0 (см.(3) лек.4), f — в аналогичном виде а уравнение три-ткани W F̃ (ũ1 , ũ2 , ũ3 ) = 0. 26 (5) Обратно: пусть существует тройка локальных диффеоморфизмов (α, β, γ) f удовлетворяют условию (4). Тогда такая, что уравнения три-тканей W и W определен локальный диффеоморфизм ϕ : D → D̃, который точку пересечения слоев ткани W с параметрами ui переводит в точку пересечения f с параметрами ũi . Из определения отобсоответствующих слоев ткани W ражения ϕ следует, что оно индуцирует отображения α, β, γ. Таким образом, понятие эквивалентности тканей можно ввести двумя способами: с помощью локального диффеоморфизма ϕ или тройкой локальных диффеоморфизмов (α, β, γ). Заметим, что уравнения (3) совпадают с уравнениями (4) из лекции 4. Это значает, что замену параметров в уравнениях семейств линий триткани можно рассматривать как переход к эквивалентной три-ткани. Из проведенных рассуждений вытекают два простых следствия: 1) уpавнение F (u1 , u2 , u3 ) = 0 тpи-ткани W опpеделено не однозначно, а с точностью до преобразований вида (3); 2) две три-ткани эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнение одной из них получается из уравнения другой при помощи преобразований вида (3). Условие (4) примет более простой вид, если уравнение F (u1 , u2 , u3 ) = 0 три-ткани W разрешить относительно одной из переменных, например, записать его в виде u3 = f (u1 , u2 ). (6) Уравнение (6) также называется уравнением ткани. Аналогично запишем f ): ũ3 = f˜(ũ1 , ũ2 ). Тогда условие (5) примет вид и уравнение три-ткани W f˜(α(u1 ), β(u2 )) = γ(f (u1 , u2 )). (7) 2. Определение 2. Три-ткани, эквивалентные параллельным тканям, называются параллелизуемыми или регулярными. Найдем вид уравнения регулярной три-ткани. На лекции 4 мы нашли уравнение параллельной три-ткани: u1 + u2 + u3 = 0. (8) Поскольку допустимы преобразования вида (3), то получаем, что уравнение любой регулярной (параллелизуемой) три-ткани имеет вид α(u1 ) + β(u2 ) + γ(u3 ) = 0, (9) u3 = f (α(u1 ) + β(u2 )). (10) откуда находим Так как уравнение ткани W0 (лек. 4, пример 0) мы привели к виду (8), то делаем вывод, что ткань W0 эквивалентна параллельной три-ткани Π, то есть является регулярной. Три-ткани, рассмотренные в примерах 2 и 3 (лекция 4) также являются регулярными. 27 Пример три-ткани 4. Пусть S — окружность радиуса r с центром в начале координат. Через произвольную точку p вне окружности проходят 3 прямые: две касательные к окружности и одна через начало координат. Таким образом, определена три-ткань, обозначим ее W . Уравнение касательных запишем в нормальной форме: x cos α + y sin α − r = 0, x cos β + y sin β − r = 0, а уравнение третьей прямой — в виде y = kx, где k = tg γ. Углы α, β, γ являются параметрами семейств и связаны соотношением α + β = 2γ. Это и есть уравнение три-ткани W . Полученное уравнение имеет вид (9), следовательно, три-ткань W является регулярной. Пример три-ткани 5 (В. Бляшке). Даны 3 эллиптических пучка окружностей с вершинами A и B, B и C, C и A. Они образуют три-ткань (обозначим ее W ), область определения которой есть вся плоскость без окружности, проходящей через точки A, B и C (обозначим ее S). Пусть p — некоторая точка внутри окружности S. Обозначим через u1 , u2 и u3 углы, под которыми из точки p видны дуги BC, CA и AB соответственно. Эти углы можно взять в качестве параметров заданных пучков окружностей (докажите!). Поскольку u1 + u2 + u3 = 2π, то рассматриваемая три-ткань также является регулярной. Теорема 1. Всякая три-ткань эквивалентна ткани, образованной координатной сетью и некоторым семейством кривых.  Пусть три-ткань W задана семействами (лек. 4, 4): u1 (x, y) = u1 , u2 (x, y) = u2 , u3 (x, y) = u3 . В окрестности регулярной точки p якобианы ∂u1 ∂y ∂u2 ∂y ∂u1 ∂x ∂u2 ∂x отличны от нуля (см. теорему 1, лек. 4), поэтому отображение ϕ, заданное уравнениями u1 (x, y) = u1 , u2 (x, y) = u2 , (11) является локальным диффеоморфизмом (см. (2)), определенным в некоторой окрестности точки p, со значениями в плоскости переменных u1 , u2 . Как видно из (11), отображение ϕ переводит линии первого семейства u1 (x, y) = const ткани W в координатные линии u1 = const, линии второго семейства u2 (x, y) = const — в линии u2 = const. Образ линий третьего семейства на плоскости получается так: надо выразить из уравнений (11) переменные x и y и подставить их в третье уравнение (лек. 4, 4). Но тогда, согласно определению, мы получим уравнение ткани (6). Итак, мы получили в плоскости f , эквивалентную исходной три-ткани W , и образопараметров три-ткань W ванную координатными линиями u1 = const, u2 = const и линиями уровня f (u1 , u2 ) = u3 = const. Уравнение такой три-ткани имеет вид u3 = f (u1 , u2 ). f задана в пространстве параметров.  Говорят, что три-ткань W 28 Лекция 6. Условия регулярности три-ткани. Условие регулярности Сен-Робера. Теоремы о границах регулярной триткани. 1. При изучении три-тканей часто требуется выяснить, является ли заданная три-ткань регулярной. Эту задачу можно решать непосредственно, приводя уравнение три-ткани к виду (лек. 5, 8) с помощью допустимых преобразований вида (лек. 5, 3). Но этот способ не является вполне эффективным. Укажем дифференциальное необходимое и достаточное условие регулярности ткани. Теорема 1 (условие Сен-Робера).Три-ткань W , заданная уравнением u3 = f (u1 , u2 ), является регулярной тогда и только тогда, когда f удовлетворяет уравнению fu ∂2 ln 1 = 0. ∂u1 ∂u2 fu2 (CR)  Пусть три-ткань W , заданная уравнением (лек. 5, 6), является регулярной. Тогда f имеет вид (лек. 5, 10): u3 = f (α(u1 ) + β(u2 )). (1) Дифференцируя, находим: fu1 = f 0 α0 (u1 ), fu2 = f 0 β 0 (u2 ), поэтому fu1 /fu2 = α0 (u1 )/β 0 (u2 ), ln(fu1 /fu2 ) = ln(α0 (u1 )) − ln(β 0 (u2 )) и уравнение (CR) удовлетворяется. Обратно, пусть для некоторой ткани W выполняется условие (CR). Решение дифференциального уравнения (CR) можно записать в виде ln fu1 = ln p(u1 ) − ln q(u2 ), fu2 откуда fu1 /fu2 = p(u1 )/q(u2 ) или fu1 = µp(u1 ), fu2 = µq(u2 ). Далее имеем: df = fu1 du1 + fu2 du2 = µ(p(u1 )du1 + q(u2 )du2 ) = = µ(dα(u1 ) + dβ(u2 )) = µd(α(u1 ) + β(u2 )). Такой вид дифференциала означает, что функция f зависит от переменной α(u1 ) + β(u2 ), и мы получаем уравнение (1).  Задачи. 1. Проверьте, является ли регулярной три-ткань, заданная в пространстве параметров x, y, z уравнением (по 1-2 балла): (1)z = axy + bx + cy + d; (2)z = x2 + 2xy; (3)z = x+y ; (4)x cos z + y sin z = 1. x−y 2. Докажите, что три-ткань, образованная декартовой сетью x = u1 , y = u2 и гиперболическим пучком окружностей с нулевыми окружностями (a, 0) и (−a, 0), не является регулярной. (3 балла) 29 В случае, если тpи-ткань задана уpавнением F (u1 , u2 , u3 ) = 0 (лек. 4, 3), то условие регулярности может быть записано в виде: Fijj Fij  Fjj Fii  Fiij + − 2 , (CR-1) A23 + A31 + A12 = 0, Aij = 2 − 2 2 Fi Fj Fi Fj Fi Fj Fj Fi где чеpез Fi , Fij , Fijk обозначены соответствующие частные пpоизводные функции ткани F (u1 , u2 , u3 ). Задача 3. С помощью формулы (CR-1) докажите, что три-ткань, заданная в пространстве параметров полилинейным уравнением Au1 u2 u3 + B1 u2 u3 + B2 u1 u3 + B3 u1 u2 + C1 u1 + C2 u2 + C3 u3 + D = 0, где A, B1 , . . . D — постоянные, является регулярной. (3 балла) 2. Следующие утверждения дают еще один эффективный признак регулярности три-ткани. Теорема 2. (О границах регулярной три-ткани.) Любой гладкий кусок граничной кривой Γjk непараболического типа регулярной три-ткани W есть либо общая часть двух линий этой ткани из семейств λi и λj (граница второго рода), либо часть линии семейства λi , в точках которой касаются линии из семейств λj и λk (граница первого рода).  Пусть ткань W является регулярной, тогда в некоторых локальных координатах она задается уравнением (лек. 5, 9) или (лек. 5, 10). Линии первых двух семейств образуют декартову сеть u1 = const, u2 = const, а линии третьего семейства определяются уравнением α(u1 ) + β(u2 ) = c = const. Граничные кривые Γ23 и Γ13 будут задаваться уравнениями α0 (u1 ) = 0 и β 0 (u2 ) = 0 соответственно. Допустим, уравнение α0 (u1 ) = 0 имеет вещественное решение u1 = x0 . Поставив это решение в уравнение ткани, получим соотношение f (α(x0 ) + β(u2 )) = c = const (обозначим его (R)), связывающее координату u2 точки граничной кривой и параметр c линии третьего семейства. Если в соотношении (R) переменная u2 отсутствует, то оно удовлетворяется при некоторых значениях c и при любом u2 . Это означает, что линия u1 = x0 первого семейства ткани является компонентой тех линий третьего семейства ткани, которые соответствуют найденным значениям параметра c. Если в соотношении (R) присутствуют обе переменные, то в окрестности каждого решения (u2 , c), где β 0 (u2 ) 6= 0, существует гладкий кусок граничной кривой, текущая точка которого имеет координаты x0 , u2 (c). Но это часть координатной линии u1 = x0 , то есть линии первого семейства ткани. С другой стороны, поскольку в рассматриваемых точках α0 (u1 ) = 0, в них касаются линии второго и третьего семейств ткани. Аналогичным образом доказывается, что всякий гладкий кусок граничной кривой, определяемой уравнением β 0 (u2 ) = 0, есть либо линия второго семейства, являющаяся одновременно и линией третьего семейства, либо часть линии второго семейства u2 = y0 , в точках которой касаются линии первого и третьего семейства. 30 Если уравнение (лек. 5, 9) разрешить относительно переменной u1 или u2 , то получится уравнение такого же вида. Следовательно, сделанный вывод будет верен и для граничной кривой первых двух семейств регулярной ткани.  Верно и обратное утверждение: Теорема 3. Пусть в некоторой области U линии первых двух семейств ткани W трансверсальны, граница Γ23 распадается на компоненты, принадлежащие линиям первого и третьего семейств, граница Γ13 распадается на компоненты, принадлежащие линиям второго и третьего семейств. Тогда ткань W является регулярной.  Пусть ткань W задана уравнением (лек. 5, 6). Из условия теоремы в силу теоремы 3 лекции 5 получаем fu1 = a(u1 )p(u3 ), fu2 = b(u2 )q(u3 ). Дифференцируя первое равенство по u2 , второе по u1 , получим a(u1 )p0 (u3 )fu2 = b(u2 )q 0 (u3 )fu1 или, с учетом предыдущих уравнений, p(u3 )q 0 (u3 ) = q(u3 )p0 (u3 ). Отсюда находим, что p = kq, k = const, поэтому df = q(u3 )(ka(u1 )du1 + b(u2 )du2 ) = q(u3 )d(α(u1 ) + β(u2 )). Следовательно, f = f (α(u1 ) + β(u2 )), то есть мы получили уравнение рассматриваемой ткани в виде ((лек. 5, 10)).  Справедлив также более общий результат, который приводим без доказательства. Теорема 4. Пусть три-ткань W задана в пространстве параметров уравнением (лек. 4, 3), которое короче запишем в виде F (x, y, z) = 0. Триткань W является регулярной тогда и только тогда, когда частные производные функции F имеют вид: Fx =Θ(x, y, z)γ1 (x)π2 (y)ρ1 (z), Fy =Θ(x, y, z)γ2 (x)π1 (y)ρ1 (z), Fz =Θ(x, y, z)γ2 (x)π2 (y)ρ2 (z). Пример 1. Покажем, что три-ткань образованная горизонтальными прямыми, семейством окружностей (x − 1)2 + y 2 = const и пучком прямых с вершиной в начале координат (пример 1 (1) из лекции 4) не является регулярной. Найдем границу Γ23 . Уравнение второго семейства запишем в y виде (x−1)2 +y 2 = u2 , третьего семейства — в виде = u3 , тогда уравнение x границы Γ23 имеет вид ∂u2 ∂x ∂u3 ∂x ∂u2 ∂y ∂u3 ∂y = −y x2 2(x − 1) 1 x 2y = 0, откуда получаем x2 + y 2 − x = 0. Это окружность, не являющаяся линией рассматриваемой три-ткани. В силу теоремы о границах ткань не является регулярной. Замечание. Последние теоремы о границах регулярной три-ткани, при всей их простоте, имеют принципиальное значение: оказывается, что хотя теория три-тканей существенно локальна, условие регулярности связано со 31 строением границ области определения, что уже является предметом глобальной теории. Задача 4. Докажите, что три-ткань, образованная декартовой сетью и семейством окружностей с одинаковым радиусом, центры которых лежат на прямой, является регулярной. (3 балла) Задача 5. Какие из три-тканей в задачах 1 и 2 лекции 4 являются регулярными? (По 1–3 балла). 32 Лекция 7. Координатные квазигруппы и координатные лупы три-ткани. Координатные квазигруппы и координатные лупы три-ткани, изотопия между ними. Тождества в квазигруппах и лупах. 1. Рассмотpим криволинейную тpи-ткань W , заданную в области D плоскости XOY слоениями u1 (x, y) = u1 , u2 (x, y) = u2 , u3 (x, y) = u3 (см. лек. 4). Если исключить из этих уравнений переменные x, y, то получим уравнение три-ткани W F (u1 , u2 , u3 ) = 0, (1) (лек. 4), которое связывает параметры линий, проходящих через точку (x, y). Выразив из последнего уравнения переменную u3 , получим уравнение три-ткани W в виде u3 = f (u1 , u2 ). (2) С другой стороны, уравнение (2) задает бинарную операцию — локальную трехбазисную квазигруппу q, которая называется координатной квазигруппой три-ткани W . Геометрический смысл бинарной операции в квазигруппе q заключается в следующем: паре линий — одна с параметром u1 из первого семейства, другая — с параметром u2 из второго семейства — ставится в соответствие линия из третьего семейства, проходящая через точку пересечения этой пары линий. На самом деле с три-тканью W связано 6 гладких локальных квазигpупп: q12 , q21 , q13 , q31 , q23 , q32 , причем операция умножения в qij получается так: надо из уравнения ткани (1) выразить переменную uk через переменные ui и uj (именно в таком порядке!). Например, уравнение квазигруппы q ≡ q12 имеет вид (2). Локальные квазигруппы qij также называются кооpдинатными квазигpуппами тpи-ткани W . Так как все функции qij получаются из одного уравнения (1), то они связаны между собой. Их все можно получить из одной (например, из q12 ) путем перенумерации слоений.17 В дальнейшем под координатной квазигруппой три-ткани будет подразумеваться квазигруппа q ≡ q12 . Операцию в квазигруппе q будем обозначать также точкой: q(x, y) ≡ x · y, или еще проще: q(x, y) ≡ xy. Построим LP -изотоп координатной квазигруппы z = f (x, y) три-ткани W (см. п. 4 лекции 2). Фиксируем линию x = a первого семейства и линию y = b второго, и точку их пересечения обозначим p (рис. 1).18 Возьмем (вблизи точки p) две линии третьего семейства с параметрами u и v. Обозначим через x параметр той линии первого семейства, которая проходит через 17 Такие преобразования в теории квазигрупп называются парастрофиями. рис. 1 и на следующих рисунках линии одного семейства три-ткани для удобства изображаются параллельными прямыми, хотя линии ткани, вообще говоря, не прямые. При этом линии первого, второго и третьего семейств мы изображаем соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными прямыми. 18 На 33 y u°v v x=a x p=(a,b) e u y=b Рис. 1: точку пересечения линий с параметрами b и u; через y обозначим параметр линии второго семейства, которая проходит через точку пересечения линий с параметрами a и v. Линию третьего семейства, которая проходит через точку пересечения линий с параметрами x и y, обозначим u ◦ v (см. рис. 1). Согласно определению координатной квазигруппы q, имеем следующие равенства: a · y = v, x · b = u, x · y = u ◦ v. Первые два перепишем в виде La (y) = v, Rb (x) = u (см. лекцию 2), откуда y = La −1 (v), x = Rb −1 (u), и u ◦ v = x · y = Rb −1 (u) · La −1 (v). (3) Из последнего равенства видно, что бинарная операция ◦, определенная на третьем слоении (обозначим его Z) три-ткани W , является квазигруппой, изотопной координатной квазигруппе q, причем изотопия q(·) → Z(◦) имеет вид (Ra , Lb , id), то есть Z(◦) — это LP -изотоп координатной квазигруппы q (см. п. 4 лекции 2). Он обозначается `(a, b) или `p и называется координатной лупой три-ткани W . Итак, с каждой точкой области определения три-ткани связана ее координатная лупа. Еще раз отметим, что операция u ◦ v определена существенно локально, то есть для элементов u и v, достаточно близких к точке p. Задачи. 1. Докажите, что элемент e = ab будет единицей в лупе `(a, b) (1 балл). 2. Найдите координатные лупы `(0, 0), `(0, 1), `(1, 0), `(1, 1) три-тканей, заданных уравнениями 1 1 1 (x + y); b)z = (x + y); c)z = (x2 + y 2 ); d)z = x2 + y 2 + xy; 2 m 2 x−y √ e)z = ; f )z = xy. x+y a)z = (По 1–2 балла) Поскольку каждая координатная лупа ткани главноизотопна координатной квазигруппе этой ткани, то все координатные лупы три-ткани главноизотопны между собой. Из проведенных рассуждений видно, что алгебраическим аналогом триткани является ее координатная квазигруппа или семейство координатных луп этой три-ткани. При этом допустимые преобразования α, β, γ 34 параметров в уравнении три-ткани (см. лек. 5, 3) образуют, с другой стороны, изотопическое преобразование координатной квазигруппы q этой ткани. 2. В дальнейшем большую роль будут играть квазигруппы и лупы с тождествами. Например, группы — это лупы, в которых выполняется тождество ассоциативности, коммутативные группы — лупы с двумя тождествами, коммутативности и ассоциативности. Некоторые лупы с тождествами, которые пригодятся нам в дальнейшем, приведены в таблице 1. Таблица 1 Тождество в лупе Название лупы Коммутативные лупы Ассоциативные лупы (группы) Моноассоциативные лупы Правоальтернативные лупы Левоальтернативные лупы Альтернативные лупы Эластичные лупы Левые лупы Бола Правые лупы Бола Лупы Муфанг x·y =y·x (x · y) · z = x · (y · z) x2 · x = x · x2 x · y 2 = (x · y) · y x2 · y = x · (x · y) x2 · y = x · (x · y), x · y 2 = (x · y) · y (x · y) · x = x · (y · x) (x · (y · x)) · z = x · (y · (x · z)) x · ((y · z) · y) = ((x · y) · z) · y (x · y) · (z · x) = x · ((y · z) · x) Задачи. 3. В группе выполняются все тождества, перечисленные в таблице 1. В альтернативных лупах выполняется тождество моноассоциативности. (1 балл) 4. Проверьте, будут ли следующие квазигруппы ассоциативны, моноассоциативны, левоальтернативны, правоальтернативны (2 – 4 балла): a)z = 1 1 x+y (x + y); b)z = (x + y); c)z = ; d)z = x2 + y 2 + xy. 2 m 1 + xy 5. Если изотопия J = (Jα ) лупы Q(·) с единицей e на лупу Q̃(◦) с единицей ẽ удовлетвоpяет условию J1 (e) = J2 (e) = ẽ, то J — изомоpфизм (2 балла). 6. В любой лупе −1 (x−1 ) = (−1 x)−1 = x (xx−1 =−1 xx = e). (1 балл) Лупа Q(·) называется обpатимой (IP -лупой), если в ней выполняются тождества обpатимости спpава и обpатимости слева: (xy)y −1 = x, −1 x(xy) = y. 7. Докажите следующие свойства IP -луп: 1) pешение уpавнения ax = b имеет вид x =−1 ab, а уpавнения yb = c — вид y = cb−1 ; (1 балл) 35 2) x−1 =−1 x, (x−1 )−1 =−1 (−1 x) = x;(1 балл) 3) (xy)−1 = y −1 x−1 ;(1 балл) Rb−1 = Rb−1 .(1 балл) 4) L−1 a = La−1 , Опpеделим в лупе Q отобpажение I : Q → Q pавенством I(x) = x−1 . Тогда для IP -луп выполняются еще следующие свойства: 5) IRa I = L−1 ILa I = Ra−1 .(2 балла) a , 8. Левая (пpавая) лупа Бола: а) альтеpнативна слева (спpава); б) обpатима слева (спpава).(2 балла) Указание. Положите в тождестве B` в случае а) y = e , в случае б) y =−1 x. 9. Лупа Муфанг: а) эластична; б) обpатима спpава и слева, т. е. является IP -лупой; в) альтеpнативна спpава и слева. (2 балла) Указание к б). Положите в тождестве Муфанг (см. Таблицу 1) y = z −1 , затем y =−1 x и воспользуйтесь эластичностью. Указание к в). Положите в тождестве Муфанг z = x или соответственно y = x и воспользуйтесь эластичностью. 36 Лекция 8. Конфигурации на три-тканях. Шестиугольная конфигурация на три-ткани. Ткани H. Параллельная три-ткань является тканью H. Условное тождество для фигуры H. Конфигурации Томсена и Рейдемейстера, соответствующие условные тождества. Три-ткани T и R. Три-ткани Бола. Параллельная три-ткань является тканью T (R, Бола). Всякая тpи-ткань T является тканью R. Связь между различными условиями замыкания. Замыкание конфигураций на регулярной три-ткани. Пусть W — некоторая криволинейная три-ткань, и p — произвольная точка в области определения этой ткани. Чеpез нее пpоходят три линии ткани W , по одной из каждого семейства. Напомним, что линии одного семейства три-ткани для удобства изображаются параллельными прямыми, причем линии первого, второго и третьего семейств мы изображаем соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными прямыми. Фигура H y3 y2 e d f p a y1 x1 c x2 b x3 Рис. 2: Возьмем на одной из линий ткани точку a достаточно близко к точке p и постpоим последовательно точки b, c, d, e, f , как и указано на pис. 2. Линия третьего семейства, пpоходящая чеpез точку f , не пpоходит, вообще говоpя, чеpез a. Этот факт на рис. 2 отражен пунктирной линией. Полученная конфигурация из семи точек и девяти линий называется шестиугольной конфигурацией или, короче, фигуpой H. Если же точки a и f лежат на одной линии третьего семейства, то говоpят, что фигуpа H = (abcdef ) замыкается. Если на три-ткани W замыкаются все (достаточно малые!) фигуры H, то три-ткань W называется три-тканью H. Докажите Предложение 1. Параллельная три-ткань является тканью H. (3 балла) Запишем условие замыкания фигуpы H в терминах кооpдинатной квазигpуппы q три-ткани W . Обозначим линии пеpвых двух семейств, обpазующих фигуpу H, через x1 , x2 , x3 и y1 , y2 , y3 , как указано на pис. 2. Напомним геометрический смысл операции в кооpдинатной квазигpуппе q: равенство z = q(x, y) ≡ xy в q означает, что линия z тpетьего семейства пpоходит чеpез точку пеpесечения линий x и y пеpвого и втоpого семейств. 37 Поэтому замкнутой фигуpе H, изобpаженной на pис. 2, отвечают pавенства x1 y2 = x2 y1 , x1 y3 = x2 y2 = x3 y1 , (1) x2 y3 = x3 y2 , выполняемые в кооpдинатной квазигpуппе q. Условия (1) записываются иногда в виде импликации ) x1 y2 = x2 y1 ⇒ x2 y3 = x3 y2 , (2) x1 y3 = x2 y2 = x3 y1 котоpая называется также условным тождеством. Отметим еще раз, что точки и линии три-ткани, образующие фигуру H, берутся достаточно близко друг к другу, иначе фигура может не поместиться в области определения. На следующих pисунках 3– 8 изобpажены дpугие фигуpы, pядом с котоpыми записаны соответствующие условия замыкания. Фигуpа Томсена T : Фигуpа Рейдемейстеpа R: Левая фигуpа Бола B` : y4 y4 y3 y3 y3 y2 y2 y1 x 1 x3 x2 y2 y1 x1 x3 x2 x2 y1 = x1 y2 , x2 y1 = x1 y2 , x3 y1 = x1 y3 , (3) x2 y3 = x3 y2 x4 y1 = x3 y2 , x1 y4 = x2 y3 , y1 x1 x4 x1 y4 = x2 y3 , (4) x2 y2 = x3 y1 , (5) x2 y4 = x3 y3 . Сpедняя фигуpа Бола Bm : Фигуpа E: y4 y4 y3 y3 y3 x3 x1 y2 = x2 y1 , x3 y4 = x4 y3 . Пpавая фигуpа Бола Br : x2 y2 y2 y2 y1 y1 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 38 y1 x1 x2 x3 x4 x1 y3 = x2 y2 , x3 y2 = x4 y1 , x1 y2 = x2 y1 , x1 y3 = x3 y1 , x1 y2 = x2 y1 , x1 y4 = x2 y3 = (6) = x3 y2 = x4 y1 , (7) x2 y4 = x4 y2 . x3 y3 = x4 y2 . x1 y3 = x3 y1 , x3 y2 = x4 y1 , (8) x2 y3 = x1 y4 , x4 y3 = x3 y4 . Три-ткани, на котоpых замыкаются все достаточно малые фигуpы одного из указанных выше типов, называют, соответственно, тканями T, R, B` , Br , Bm , E. Докажите Предложение 2. На параллельной три-ткани замыкаются конфигурации T . (3 балла) Предложение 3. На параллельной три-ткани замыкаются конфигурации R. (3 балла) Нетрудно заметить, что конфигурации различных типов связаны между собой. Во-первых, сравнивая рисунки 2 и 8, мы заметим, что конфигурации H являются частным случаем конфигураций T : первые получаются из последних, если три внутренние линии проходят через одну точку. Отсюда вытекает следующий факт: если на три-ткани замыкаются все фигуры T , то на ней, в частности, замыкаются и все фигуры H. Будем записывать это так: T → H. Далее, сравнивая рисунки 5, 6, 7 с рисунком 4, мы видим, что фигуры Бола являются частным случаем фигуры Рейдемейстера: они получаются из последней, если в ней две внутренние линии (вертикальные, горизонтальные или наклонные) совпадают. Фигура E (рис. 8) также является частным случаем фигуры R: она получается из последней при условии, что две точки, связанные с фигурой R, лежат на одной линии третьего семейства ткани. Более того, фигура H также является частным случаем фигуры R: она получается из последней при условии, что три внутренние линии проходят через одну точку. Отсюда следует, что если на три-ткани W замыкаются все фигуры R, то на ней замыкаются, в частности, и все фигуры B` , Br , Bm , E и H: R → B` , R → Br , R → Bm , R → E, R → H. Аналогично получаем импликации B` → H, Br → H, Bm → H, E → H. Отсюда вытекает Предложение 4. На параллельной три-ткани замыкаются конфигурации E, B` , Br , Bm . Из предложений 1 – 4 вытекает Теорема 1. Конфигурации H, T, R, B` , Br , Bm , E замыкаются на всякой регулярной три-ткани. 39  Действительно, регулярная три-ткань по определению эквивалентна параллельной, а локальный диффеоморфизм, переводящий одну из этих тканей в другую, сохраняет свойство достаточно малых фигур быть замкнутыми.  Таким образом, все перечисленные фигуры замыкаются на регулярных три-тканях, рассмотренных в примерах 1, 2, 4, 5, 6 (лекции 4, 5). На рис. 9 изображена шестиугольная фигура на ткани, образованной тремя пучками 3 k f e n E g h B a G F o a H 1 f k c b h c d 2 g p l m Рис. 9 n s e d D C b Рис. 10 m o l Рис. 11 прямых (лекция 4, пример 1). Следующие утверждения менее очевидны. Теоpема 2. Всякая тpи-ткань T является тканью R.  Действительно, пусть на тpи-ткани W замыкаются все достаточно малые фигуры T . Докажем, что на ней замыкаются и фигуpы R. Рассмотpим на ткани W пpоизвольную фигуpу R = (abcdef gh) (pис. 10) и докажем, что она замыкается, т. е. точки f и g лежат на одной линии тpетьего семейства (это условие мы договоримся записывать в виде f 3g). Постpоим точки n, k, `, m так, как показано на pис. 10, и pассмотpим две фигуpы T : T1 = (kehoan) и T2 = (mdobc`). Поскольку они должны замыкаться, то выполняются условия n1k и `2m. Рассмотpим тепеpь фигуpу T3 = (g`mnkf ). Так как она обязана замыкаться, то выполняется условие f 3g. Следовательно, замыкается и фигуpа R = (abcdef gh).  Еще один важный класс тpи-тканей обpазуют так называемые три-ткани M или три-ткани Муфанг, на котоpых замыкаются фигуpы Бола всех тpех типов: B` , Br и Bm . Следующая теоpема «минимизиpует» это опpеделение. Теоpема 3. Если на тpи-ткани W замыкаются фигуpы Бола какихлибо двух типов, то замыкаются фигуpы и тpетьего типа.  Покажем, напpимеp, что B` &Br ⇒ Bm . Пpедположим, что на тpиткани W замыкаются все фигуpы B` и Br . Рассмотpим пpоизвольную фигуpу Bm = (abcdef gh) (pис. 11) и докажем, что она тоже замыкается, т. е. выполняется условие b3f . Постpоим последовательно точки n, k, m, `, o, p. Точки d, k, `, m, a, n, o, g обpазуют фигуpу Br , поэтому n3o. Пусть s — точка пеpесечения линий ef и on. Точки h, e, g, m, p, s, o, ` обpазуют фигуpу Br , а так как она должна замыкаться, то p1s. Далее, точки b, n, s, f, c, k, p, g обpа- 40 зуют фигуpу B` , поэтому b3f . Следовательно, замыкается фигуpа Bm = (abcdef gh).  Из предыдущих рассуждений вытекает, что pассмотpенные условия замыкания связаны следующими импликациями: % B` & T −→ R −→ M → Bm → H, & Br R −→ E −→ H % В заключение заметим, что фигуpы Бола B` , Br и Bm пpедставляют собой одну и ту же конфигуpацию, но по pазному pасположенную относительно семейств, обpазующих тpи-ткань. Задачи. 1. B` &Bm ⇒ Br , Br &Bm ⇒ B` . (По 5 баллов) 2∗. Постройте конфигурации H, T, R, B` , Br , Bm , E для три-тканей из примеров 1 – 5 (лекции 4, 5) и для три-тканей из задачи 1 к лекции 4. (По 3–5 баллов) 3∗. Задайте сами три-ткань и постройте для нее фигуры H и T . (3 – 5 баллов) 41 Лекция 9. Конфигурации на три-тканях и тождества в координатных лупах. Соответствие между конфигурациями на три-ткани и тождествами в ее координатных лупах. Координатные фигуры, связанные с координатной лупой три-ткани. Фигура E. Тождества, соответствующие средней фигуре Бола. Оказывается, что замыкание конфигураций на три-ткани W очень просто описывается в терминах ее координатных луп. Напомним, что произведение u ◦ v в координатной лупе `(a, b) три-ткани дается формулой u ◦ v = x · y = Rb −1 (u) · La −1 (v) (1) (см. лекция 7, 3), и имеет геометрический смысл, указанный на рис. 1. Построим в координатной лупе `(a, b) произведения u ◦ v и v ◦ u, см. рис. 12. Как видно на рис. 12, линии x = a, y = b и наклонные линии u и v определяют некоторую фигуру Томсена (сравни с рис. 3). Она замыкается тогда и только тогда, когда u ◦ v = v ◦ u, то есть когда элементы u и v лупы `(a, b) коммутируют. Отсюда следует, что лупа `(a, b) коммутативна тогда и только тогда, когда на три-ткани замыкаются все (достаточно малые) фигуры Томсена, у которых две стороны лежат на линиях x = a и y = b. Множество таких фигур зависит от двух переменных u и v, мы будем называть их (фигуры) координатными фигурами T , связанными с координатной лупой `(a, b). Меняя, помимо u и v, еще a и b (то есть меняя координатную лупу `(a, b)), мы получим множество всех фигур T на три-ткани W . Отсюда следует Предложение 1. Три-ткань W является тканью T тогда и только тогда, когда все ее координатные лупы коммутативны. x=a u°v u°(v°w) w p u Рис. 12 y=b v v u u°(v°w) u°v w z v p u Рис. 13 p Рис. 14 Возьмем теперь в лупе `(a, b) тpи пpоизвольных элемента u, v, и w и постpоим пpоизведения (u ◦ v) ◦ w и u ◦ (v ◦ w) (pис. 13). Равенство (u ◦ v) ◦ w = u ◦ (v ◦ w), как видно из сpавнения pисунков 4 и 13, ведет к замыканию некотоpой координатной фигуры R, связанной с координатной лупой `(a, b). Отсюда следует, что координатная лупа `(a, b) ассоциа42 тивна тогда и только тогда, когда на ткани замыкаются всевозможные кооpдинатные фигуpы R, связанные с этой лупой. Меняя a и b, пpидем к следующему утверждению. Предложение 2. Тpи-ткань W является тканью R тогда и только тогда, когда все ее кооpдинатные лупы являются ассоциативными лупами, т. е. гpуппами. Предыдущий результат можно усилить. В силу теоремы 2 (лекция 8) три-ткань T является тканью R. Следовательно, в ее кооpдинатных лупах выполняется, кpоме тождества коммутативности, еще и тождество ассоциативности. Таким образом, верно Предложение 3. Три-ткань W является тканью T тогда и только тогда, когда все ее координатные лупы коммутативны и ассоциативны, то есть являются коммутативными группами. Сpавнивая pисунки 5, 6, 7, 2 с pисунком 13, находим, что фигуpы B` , Br , E и H получаются из фигуpы R соответственно пpи u = v, v = w, u = w и u = v = w. Поэтому фигурам B` , Br , E и H отвечают тождества, которые получаются из тождества ассоциативности при указанных ограничениях, а именно, тождества u2 ◦ w = u ◦ (u ◦ w), u ◦ v 2 = (u ◦ v) ◦ v, (u ◦ v) ◦ u = u ◦ (v ◦ u) и u2 ◦ u = u ◦ u2 соответственно. Доказано Предложение 4. Три-ткань W является тканью B` , Br , E, H тогда и только тогда, когда все ее кооpдинатные лупы соответственно левоальтернативны, правоальтернативны, эластичны, моноассоциативны. Чтобы найти тождество, соответствующее фигуpе Bm , введем пеpеменные u, v, w z так, как указано на pис. 14. С помощью pис. 1 получим следующие pавенства: u ◦ w = v, z ◦ u = v, v ◦ w = z ◦ v. Согласно определению квазигруппы первые два равенства можно разрешить относительно переменных w и z соответственно. Результат записывается в виде w = u\v, z = v/u, где символы \ и / называются левой и правой обратной операциями относительно операции ◦. Подставляя в последнее равенство, получим искомое тождество: v ◦ (u\v) = (v/u) ◦ v. (2) Сопоставляя полученные pезультаты с таблицей 1, пpиходим к следующему утвеpждению. Предложение 5. Тpи-ткань W является тканью Bm тогда и только тогда, когда в ее кооpдинатных лупах выполняется тождество (2). Задачи. 1. Изобpазите кооpдинатные фигуpы, соответствующие тождеству ассоциативности и левому тождеству Бола пpи pазличных положениях линий u, v, w относительно линии e. Какие тождества отвечают этим фигуpам? (По 3 балла) 43 2. а) Постpойте с помощью pис. 1 элементы u−1 , −1 u, (u−1 )−1 , −1 (−1 u), u/v, v\u. б) Какие фигуpы отвечают тождествам u−1 =−1 u, (u−1 )−1 = u, −1 −1 ( u) = u? (По 3 балла) 3. Постpойте фигуpу, соответствующую тождеству (1) (v ◦ w) ◦ u = (v ◦ u) ◦ w; (2) (u ◦ v) ◦ w = (w ◦ v) ◦ u; (3) (u ◦ v) ◦ w = w(◦u ◦ v). (По 3 балла) 4. Докажите, что тождества u−1 =−1 u, −1 (−1 u) = u выполняются в кооpдинатных лупах тканей H и только в них. (4 балла) 5. Постpойте фигуpы, соответствующие тождествам (uv)v −1 = u, −1 u(uv) = v. Докажите, что соответствующие условия замыкания хаpактеpизуют ткани Br и B` соответственно. (4 балла) 6. Задайте уравновешенное тождество с одной, двумя, тремя переменныи и постройте соответствующую конфигурацию. (2 – 5 баллов) 44 Лекция 10. Основная теорема о шестиугольных три-тканях. Лемма о вписанных треугольниках на три-ткани. Всякая шестиугольная криволинейная три-ткань является регулярной. Два основных класса криволинейных три-тканей. Нам понадобится Лемма 1 (о вписанных треугольниках). В достаточно малый треугольник, образованный линиями три-ткани, можно вписать единственным образом другой треугольник, образованный линиями этой ткани.  Пусть W — произвольная криволинейная три-ткань, D — ее область определения. Будем считать (см. теорему 3, лекция 5), что три-ткань W образована декартовой сетью и линиями уровня некоторой функции f (x, y). Рассмотрим в некоторой связной части области D треугольник P QR, образованный линиями ткани, причем выберем его настолько малым, чтобы P A A0 B B0 D0 D R C C0 Q Рис.15 линии третьего семейства три-ткани были выпуклыми (или вогнутыми) в одну сторону (рис. 15), и все линии ткани внутри этого треугольника обладали тем же свойством. (Задача 1. Докажите, что такой треугольник существует - 3 балла) Возьмем на одной из сторон треугольника P QR точку A и впишем в него ломаную ABCD из линий ткани, как показано на рис. 15. Точка D, полученная в результате описанной процедуры, не совпадет, вообще говоря, с исходной точкой A. Но если точку A двигать к точке D (на рис. 15 она передвинута в положение A0 ), то точка D будет двигаться ей навстречу. В силу непрерывности функции D(A) у точки A найдется такое положение, при котором D ≡ A.  Теоpема 1 (основная теорема о шестиугольных три-тканях). Всякая шестиугольная криволинейная три-ткань является регулярной.  Пусть в области D задана шестиугольная три-ткань W . Возьмем в D треугольник OA1 B1 из линий ткани W , удовлетворяющий условию леммы. Он изображен на рис. 16, причем, как и ранее, линии первого, второго и третьего семейств ткани изображаются соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями. 45 (0,4) (0,3) (0,2) B4 B3 (1,3) B2 (1,2) (2,2) (1/2,1) (1,1) (2,1) (1/2,1/2) (1,1/2) (3/2,1/2) (1/2,3/2) (0,3/2) (0,1) (0,1/2) B1 (3,1) (0,1/4) (0,1/8) A1 O (1/8,0)(1/4,0) (1/2,0) (1,0) A2 (3/2,0) (2,0) A3 (3,0) A4 (4,0) Рис.16 Далее будем координатизировать область D, то есть присваивать — по определению — каждой точке этой области две координаты, которые будем, как обычно, обозначать x и y и записывать в скобках. Пусть O(0, 0), A1 (1, 0), B1 (0, 1). Проведем через точку A1 (1, 0) вертикальную, а через точку B1 (0, 1) — горизонтальную линии ткани W . Будем считать, что исходный треугольник выбран настолько малым, что эти линии пересекутся в некоторой точке, находящейся в той же связной компоненте области D, что и исходный треугольник (в противном случае исходный треугольник уменьшим). Припишем точке пересечения координаты (1, 1). Проведем через точку (1, 1) наклонную линию ткани, она пересечет стороны OA1 и OB1 соответственно в точках A2 (2, 0) и B2 (0, 2). Далее строим точки (2, 1) (пересечение вертикали через A2 (2, 0) и горизонтали через B1 (0, 1)) и (1, 2) (пересечение вертикали через A1 (1, 0) и горизонтали через B2 (0, 2)). А теперь заметим, что получилась шестиугольная фигура {A1 , A2 , (2, 1), (1, 2), B2 , B1 }. Так как рассматриваемая ткань W является шестиугольной, то эта фигура замыкается, то есть точки (2, 1) и (1, 2) лежат на одной линии третьего семейства. Пусть эта линия пересекает OA1 и OB1 в точках A3 (3, 0) и B3 (0, 3) соответственно. Далее строим точки (1, 3) (пересечение вертикали через A1 и горизонтали через B3 ); (2, 2) (пересечение вертикали через A2 и горизонтали через B2 ); (3, 1) (пересечение вертикали через A3 и горизонтали через B1 ). Из замыкания шестиугольных фигур следует, что эти 3 точки лежат на одной и той же наклонной линии ткани. Обозначим точки ее пересечения с OA1 46 и OB1 через A4 (4, 0) и B4 (0, 4) соответственно, и т.д. В результате мы разобьем линиями ткани область D на треугольники; эта процедура называется триангуляцией . Построенные точки будут иметь целочисленные координаты (в том числе и отрицательные, если построение продолжить вниз и влево). Отметим, что координаты построенных точек обладают следующим свойством, которое далее будем называть свойством A: а) все точки, лежащие на одной вертикали, имеют одинаковую координату x; б) все точки, лежащие на одной горизонтали, имеют одинаковую координату y; в) все точки, лежащие на одной наклонной линии, имеют одинаковую сумму координат: x + y = const. Теперь будем дробить треугольники на более мелкие. Пользуясь леммой 1, впишем в треугольник OA1 B1 новый треугольник (1/2, 0), (0, 1/2), (1/2, 1/2) (см. рис. 16). Продолжая его стороны, получим две новые точки (1/2, 1) (пересечение вертикали через (1/2, 0) и горизонтали через B1 ) и (1, 1/2) (пересечение вертикали через A1 и горизонтали через (0, 1/2)). В силу шестиугольности эти точки лежат на одной наклонной линии, которая пересекает OA1 и OB1 в точках (3/2, 0) и (0, 3/2) соответственно. Затем строим точку (1/2, 3/2) как пересечение вертикали через (1/2, 0) и горизонтали через (0, 3/2), и замечаем, что в силу шестиугольности она лежит на наклонной линии A2 B2 . На этой же наклонной оказываются и точка (3/2, 1/2). Продолжая построение, мы впишем новые, более мелкие треугольники во все уже имеющиеся. При этом будут появляться новые точки, новые вертикальные, горизонтальные и наклонные линии, причем между каждыми двумя соседними линиями одного семейства появится одна новая линия этого семейства; между каждыми двумя соседними точками, лежащими на одной линии, появится одна новая точка на этой же линии. Если старые точки имели целочисленные координаты, то новые точки будут иметь дробные координаты. В общем виде координаты любой из построенных точек (как a b , , где a и b — целые числа. При этом новых, так и старых) имеют вид 2 2 для всех точек, новых и старых, будет выполняться свойство A. Следующий этап очевиден: пользуясь леммой, впишем в треугольник OA1 B1 новый треугольник, и, продолжая его стороны, впишем более мелкие треугольники во все уже имеющиеся. В результате точки полученного a b множества будут иметь координаты вида , и для них будет выпол, 22 22 няться свойство A. a b  На (n + 1)-ом этапе мы получим точки с координатами n , n , и свой2 2 ство A также будет выполняться. В пределе, при n → ∞, мы получим в каждом семействе λi линий ткани всюду плотное (относительно естественной топологии на R) подмножество линий, содержащих построенные точки. Обозначим это подмножество Λi . 47 Пусть, например, u1 — произвольная прямая из λ1 , не принадлежащая, вообще говоря, Λ1 . В Λ1 можно выбрать две последовательности линий, сходящиеся справа и слева к u1 . В каждой из этих последовательностей линия отмечена некоторым числом — первой координатой x лежащих на ней точек. Получаем две числовые последовательности, сходящиеся к общему пределу, обозначим его x(u1 ). Действительное число x(u1 ) возьмем в качестве первой координаты точек на прямой u1 . Таким образом, все семейство λ1 окажется параметризованным, причем линии из Λ1 сохранят свои a параметры вида n . 2 Точно так же параметризуем семейство λ2 . В результате каждая точка p области D получит координаты (x, y), где x и y — параметры вертикальной и горизонтальной линий ткани, проходящей через p. Наконец, рассмотрим в области D непрерывную функцию σ(x, y) = x+y. a b  Обозначим через Σ(u3 ) множество точек вида , , построенных вы2n 2n ше с помощью триангуляции и лежащих на наклонной линии u3 . Множество Σ(u3 ) будет всюду плотным на u3 . В силу п. в) свойства A функция σ(x, y) = x + y будет постоянна на Σ(u3 ), а значит, в силу непрерывности, будет постоянной и на всех точках из u3 . Итак, мы ввели в области D такие координаты x и y, в которых линии ткани W определяются уравнениями x = c1 = const, y = c2 = const и x+y = c3 = const. Следовательно, уравнение ткани W имеет вид c3 = c1 +c2 , а это уравнение регулярной три-ткани.  Следствие 1. Ранее было показано, что всякая регулярная три-ткань является шестиугольной. В силу доказанной теоремы получаем, что условия регулярности и шестиугольности эквивалентны. По другому можно сказать, что класс тканей H совпадает с классом регулярных тканей. Следствие 2. Итак, все криволинейные ткани делятся на 2 класса: регулярные и нерегулярные. На первых выполняются все условия замыкания, на вторых — ни одно из них не выполняется. 48 Лекции 11 –12. Прямолинейные три-ткани. Уравнение прямолинейной три-ткани. Алгебраические кривые. Алгебраическая кривая класса m. Кривые класса 1, 2. Трехарочная гипоциклоида, ее порядок и класс. Тангенциальные координаты касательной к кривой класса m связаны однородным алгебраическим уравнением степени m. 1. Прямолинейными называются три-ткани, образованные семействами прямых. К прямолинейным три-тканям относятся параллельные ткани и регулярные ткани, рассмотренные в примере 1 из лекции 4 и в примере 4 из лекции 5. В общем случае уравнения семейств прямых прямолинейной три-ткани запишем в виде λi : ai (ui )x + bi (ui )y + ci (ui ) = 0, i = 1, 2, 3. (1) Здесь, как и всюду выше, ui — параметр семейства λi . Исключив x и y, получим уравнение прямолинейной три-ткани в виде: a1 (u1 ) b1 (u1 ) c1 (u1 ) a2 (u2 ) b2 (u2 ) c2 (u2 ) a3 (u3 ) b3 (u3 ) c3 (u3 ) = 0. (2) Пример 1. Рассмотрим прямолинейную три-ткань, образованную семействами λ1 : x + u1 y + 3 = 0, λ2 : (u2 )2 x + u2 y − 1 = 0, λ3 : u3 x + 2y + (u3 )3 = 0. Уравнение этой ткани имеет вид 1 (u2 )2 u3 u1 u2 2 3 −1 (u3 )3 = 0. Вычислив определитель, получим уравнение u2 (u3 )2 − u1 u3 + 6(u2 )2 − 3u2 u3 + 2 − u1 (u2 )2 (u3 )3 = 0. Первое семейство рассматриваемой три-ткани есть пучок прямых с вершиной (-3, 0), второе — квадратичное семейство прямых, третье — кубическое семейство прямых. Чтобы представить себе, как выглядят второе и третье семейства, найдем их огибающую — линию, которой касаются все прямые семейства. Напомним, что огибающую семейства кривых F (x, y, t) = 0 находят из системы F (x, y, t) = 0, Ft (x, y, t) = 0. Для второго семейства получим систему (u2 )2 x + u2 y − 1 = 0, 2u2 x + y = 0. При x = 0 эта система несовместна, поэтому из второго уравнения можно выразить u2 и подставить найденное выражение в первое уравнение: u2 = − y , 2x y2 y x− y − 1 = 0. 4x2 2x 49 Отсюда после преобразований получим y 2 + 4x = 0. Это каноническое уравнение параболы, проходящей через точки (0, 0), (−1, 2) и (−1, −2) (сделайте рисунок). Таким образом, второе семейство состоит из касательных к параболе y 2 + 4x = 0. Задачи (к примеру 1). 1. Огибающая третьего семейства есть кубическая кривая с уравнением x3 + 27y 2 = 0. Это полукубическая парабола, лежащая слева от оси Y и проходящая через точки (0, 0), (−3, ±1) (3 балла). Таким образом, третье семейство состоит из касательных к полукубической параболе x3 +27y 2 = 0. 2. Нарисуйте огибающие, укажите на рисунке область определения триткани (3 балла). Нарисуйте линии ткани, проходящие через точку (−12, 8), и найдите их уравнения.(3 балла). 2. Прямолинейные три-ткани не являются, вообще говоря, регулярными. Наша ближайшая цель — найти условие их регулярности. Определение 1. Общая кривая F (x, y) = 0 называется алгебраической, если F (x, y) — многочлен от переменных x и y. Определение 2. Алгебраическая кривая называется кривой класса m, если через произвольную точку плоскости проходит m касательных к этой кривой (не обязательно вещественных!), причем точки касания не являются точками перегиба. Задачи. 3. Докажите, что понятие класса кривой не применимо к прямой. 4. Докажите, что точки и только они являются кривыми класса 1. (По одному баллу) Пример 2. Найдем класс кривой y 2 + 4x = 0. Вспомним, что уравнение касательной к кривой, заданной уравнением F (x, y) = 0, в точке M1 (x1 , y1 ) имеет вид Fx (x1 , y1 )(X − x1 ) + Fy (x1 , y1 )(Y − y1 ) = 0, где (X, Y ) — координаты текущей точки касательной. Для заданной кривой имеем F (x, y) = y 2 + 4x, Fx (x1 , y1 ) = 4, Fy (x1 , y1 ) = 2y1 , и уравнение касательной имеет вид 4(X − x1 ) + 2y1 (Y − y1 ) = 0, или 2X + y1 Y − 2x1 − y12 = 0. Так как точка M1 (x1 , y1 ) лежит на заданной кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой кривой, что дает соотношение y12 + 4x1 = 0. Отсюда выражаем x1 и подставляем в уравнение касательной. После преобразований получим уравнение касательной в виде 2X + y1 Y − 21 y12 = 0. Теперь можем ответить на вопрос, сколько касательных к кривой y 2 + 4x = 0 проходит через произвольную точку M0 (x0 , y0 ) из области определения. Так как касательная проходит через точку M0 (x0 , y0 ), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению касательной, что дает соотношение 2x0 + y1 y0 − 21 y12 = 0. Мы получили уравнение второй степени относительно координаты y1 точки касания. Следовательно, существует две касательные к кривой y 2 + 4x = 0, проходящие через точку M0 (x0 , y0 ), поэтому, согласно определению, наша кривая является кривой класса 2. Оказывается, верно и более общее утверждение. 50 Предложение 1. Любая невырожденная кривая второго порядка является кривой второго класса. (3 балла) Верно и обратное утверждение, которое мы доказывать не будем: всякая кривая второго класса является кривой второго порядка. Но, вообще говоря, порядок и класс кривой не совпадают. Пример 3. Трехарочная гипоциклоида x = a(2 cos t + cos 2t), y = a(2 sin t − sin 2t), (3) (ее описывает точка окружности, катящейся внутри другой окружности втрое большего радиуса) является кривой четвертого порядка, но третьего класса. Покажем сначала, что кривая (3) есть кривая четвертого порядка. Для этого из параметрических уравнений (3) надо исключить параметр t и найти уравнение кривой в виде F (x, y) = 0. Возведем уравнения (3) в квадрат и сложим. После вычислений получим уравнение x2 + y 2 = a2 (5 + 4 cos 3t). (4) Из курса тригонометрии вспомним формулы cos 2t = 2 cos2 t − 1, cos 3t = 4 cos3 t − 3 cos t. С их помощью первое из уравнений (3) и уравнение (4) примут вид x = a(2 cos t + 2 cos2 t − 1), x2 + y 2 = a2 (5 + 16 cos3 t − 12 cos t). Обозначим cos t = T , тогда последние уравнения можно переписать в виде 2T 2 + 2T − 1 − x2 + y 2 x = 0, 16T 3 − 12T + 5 − = 0. a a (5) Из уравнений (5) надо исключить переменную T . Из курса высшей алгебры известно, что в результате исключения получится уравнение 2 16 2 2 16 −1 − xa 2 2 −12 −1 − xa 2 x2 +y 2 5− a −12 −1 − xa x2 +y 2 5− a = 0, (6) где в левой части стоит результант уравнений (5). Заметим, что в первых двух столбцах результанта стоят числа, а миноры третьего порядка, составленные из элементов последних трех столбцов, являются многочленами не выше четвертой степени. Применяя теорему Лапласа, получаем, что определитель (6) есть многочлен четвертой степени, что и требовалось доказать (детальное доказательство — 3 балла). 51 Теперь покажем, что гипоциклоида (3) есть кривая класса 3. Вспомним, что уравнение касательной к параметризованной кривой x = x(t), y = y(t) имеет вид X − x(t) Y − y(t) = , x0 (t) y 0 (t) где X, Y — координаты текущей точки касательной. Для заданной кривой (3) уравнение касательной имеет вид X − a(2 cos t + 2 cos2 t − 1) Y − a(2 sin t − sin 2t) = . −2 sin t − 2 sin 2t 2 cos t − 2 cos 2t После преобразований придем к уравнению (проверьте!) X(cos t − cos 2t) + Y (sin t + sin 2t) − a(1 − cos 3t) = 0. Преобразуем коэффициенты: cos t − cos 2t = cos t − 2 cos2 t + 1 = (2 cos t + 1)(1 − cos t); sin t + sin 2t = sin t + 2 sin t cos t = sin t(2 cos t + 1); 1 − cos 3t = 1 − 4 cos3 t + 3 cos t = (2 cos t + 1)2 (1 − cos t). В результате после сокращения на общий множитель 2 cos t + 1 (почему это можно сделать?) уравнение касательной примет вид X(1 − cos t) + Y sin t − a(2 cos t + 1)(1 − cos t) = 0. Введем новый параметр U , положив U = 1 − cos t. Тогда уравнение касательной примет вид (проверьте!) p (7) XU + Y 2U − U 2 − aU (3 − 2U ) = 0. Выясним, сколько касательных проходит через точку M0 (X0 , Y0 ). Если касательная (7) проходит через точку M0 (X0 , Y0 ), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению касательной: p X0 U + Y0 2U − U 2 − aU (3 − 2U ) = 0. Мы получили уравнение относительно переменной U . Преобразуем его, избавившись от иррациональности p (Y0 2U − U 2 )2 = (−X0 U − aU (3 − 2U ))2 , Y02 2U − U 2 = X02 U 2 + a2 U 2 (3 − 2U )2 + 2aX0 U 2 (3 − 2U ). После сокращения на U (почему это можно сделать?) получим уравнение Y02 2 − U = X02 U + a2 U (3 − 2U )2 + 2aX0 U (3 − 2U ). 52 Это уравнение третьей степени, следовательно, оно имеет 3 корня. Каждому корню соответствует касательная (7). Таким образом, всего будет 3 касательных, проходящих через точку M0 (X0 , Y0 ), что и требовалось доказать. Задачи. 5. Найти класс кривых y = x2 , y = x3 , y = xn , y 2 = x3 , y 3 = x5 . 6. Докажите, что допустимыми преобразованиями параметров уравнение прямолинейной три-ткани (2) можно привести к виду α(u1 )(u2 − u3 ) + β(u2 )(u3 − u1 ) + γ(u3 )(u1 − u2 ) = 0. 7. Изобразите на рисунке гипоциклоиду (3) при a = 1 и проведите касательные к ней из точки, близкой к началу координат. (По 2–3 балла) 3. Коэффициенты a, b, c в уравнении прямой ax + by + c = 0 называются тангенциальными координатами (или просто координатами) этой прямой. Координаты прямой определены неоднозначно. В самом деле, если умножить уравнение прямой на число µ, µ 6= 0, то получим уравнение µax+µby+µc = 0, эквивалентное исходному; следовательно, оно определяет ту же самую прямую. Поэтому числа µa, µb, µc также будут координатами прямой. Таким образом, координаты прямой определены с точностью до ненулевого множителя, то есть являются однородными. Записывается это так: (a, b, c) ∼ (µa, µb, µc). Далее уравнение прямой будем записывать в виде p1 x + p2 y + p3 = 0. (8) Теорема 1. Тангенциальные координаты касательной к кривой класса m связаны однородным алгебраическим уравнением степени m.  Пусть алгебраическая кривая L задана уравнением F (x, y) = 0, где F (x, y) – многочлен. Уравнение касательной к L в точке M1 (x1 , y1 )) имеет вид Fx (x1 , y1 )(X − x1 ) + Fy (x1 , y1 )(Y − y1 ) = 0, (9) где (X, Y ) — координаты текущей точки касательной. Это уравнение можно переписать в виде Fx (x1 , y1 )X + Fy (x1 , y1 )Y − x1 Fx (x1 , y1 ) − y1 Fy (x1 , y1 ) = 0. Сравнивая с уравнением (8), находим тангенциальные координаты касательной: p1 = µFx (x1 , y1 ), p2 = µFy (x1 , y1 ), p3 = µ(−x1 Fx (x1 , y1 )−y1 Fy (x1 , y1 )). (10) Из этих равенств получается соотношение p1 x1 + p2 y1 + p3 = 0, (11) которому соответствует тот очевидный факт, что касательная проходит через точку касания M1 (x1 , y1 ). 53 Из первых двух равенств (10) находим соотношение p2 Fx (x1 , y1 ) − p1 Fy (x1 , y1 ) = 0. (12) А так как точка M1 (x1 , y1 ) лежит на заданной кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 этой кривой, F (x1 , y1 ) = 0. (13) Рассмотрим систему трех уравнений (11) – (13). Она содержит переменные x1 , y1 — координаты точки кривой L и переменные p1 , p2 , p3 — тангенциальные координаты касательной. Исключив из трех уравнений (11) – (13) две переменные x1 , y1 , получим одно уравнение Φ(p1 , p2 , p3 ) = 0. Так как левые части уравнений (11) – (13) являются многочленами, то Φ(p1 , p2 , p3 ) также многочлен (для доказательства используйте результанты — 5 баллов). Так как уравнения (11) и (12) однородные относительно переменных p1 , p2 , p3 , то уравнение Φ(p1 , p2 , p3 ) = 0 также будет однородным. Задача 8. Докажите, что уравнение Φ(p1 , p2 , p3 ) = 0 является однородным. Указание: для доказательства используйте понятие результанта. (5 баллов) Прежде чем продолжить доказательство, рассмотрим пример. Пример 4. Рассмотрим кривую третьего порядка x3 + 27y 2 = 0. Для нее имеем: F (x, y) = x3 + 27y 2 , Fx = 3x2 , Fy = 54y, а уравнения (12) и (13) имеют вид: 3x21 p2 − 54y1 p1 = 0, x31 + 27y12 = 0. (14) Нам надо исключить из уравнений (11) и (14) переменные x1 и y1 . Проще всего выразить из (11), например, переменную y1 y1 = − p1 x1 + p3 p2 и подставить это выражение в остальные 2 уравнения. После преобразований получим соотношения p22 x21 + 18p21 x1 + 18p1 p3 = 0, p22 x31 + 27p21 x21 + 54p1 p3 x1 + 27p23 = 0. Исключение из этих уравнений переменной x1 дает равенство нулю их результанта: p22 18p21 18p1 p3 18p21 18p1 p3 p22 18p1 p3 = 0. p22 18p21 p22 27p21 54p1 p3 27p23 2 2 p2 27p1 54p1 p3 27p23 Вычислив определитель (3 балла), получим однородное уравнение третьей степени p22 p3 − 4p31 = 0. 54 Чтобы закончить доказательство, покажем, что степень многочлена Φ(p1 , p2 , p3 ) равна классу кривой L. Пусть уравнение касательной к кривой L имеет вид (8), причем, как уже доказано, коэффициенты p1 , p2 , p3 связаны однородным алгебраическим уравнением Φ(p1 , p2 , p3 ) = 0, его степень обозначим m. Для доказательства надо найти число касательных, проходящих через произвольную точку M0 (x0 , y0 ). Если точка M0 лежит на касательной, то ее координаты удовлетворяют уравнению касательной (8), что дает равенство p1 x0 + p2 y0 + p3 = 0. Выразим отсюда p3 и подставим найденное выражение в однородное уравнение Φ(p1 , p2 , p3 ) = 0. В результате получим однородное уравнение той же степени m, но уже с двумя переменными, p1 и p2 . Оно имеет вид m−1 A0 p m p2 + A2 p1m−2 p22 + ... + Ak pm−k pk2 + ... + Am pm 1 + A1 p 1 2 = 0. 1 Разделим это уравнение почленно на pm 2 и обозначим p1 /p2 = t, тогда оно примет вид A0 tm + A1 tm−1 + A2 tm−2 + ... + Ak tm−k + ... + Am = 0. По основной теореме алгебры, полученное уравнение имеет m комплексных корней. Каждому корню отвечает (с точностью до общего множителя) единственный набор p1 , p2 , p3 , который определяет касательную, проходящую через точку M0 (x0 , y0 ). Всего получим m касательных, и теорема доказана.  Так как число касательных к алгебраической кривой L, проходящих через фиксированную точку, равно степени многочлена Φ(p1 , p2 , p3 ), то часто кривыми класса m называют не саму кривую L, а совокупность касательных к этой кривой. Задача 9. Кривая класса 3 (семейство касательных) задана уравнением p1 p2 = (p3 )2 . (15) Найдите а) прямую семейства, проходящую через точку (1, 2); б) уравнение огибающей заданного семейства. Решение. а) Пусть уравнение касательной заданного семейства записано в виде (8). Если касательная проходит через точку (1, 2), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (8), что дает соотношение p1 + 2p2 + p3 = 0. Вместе с заданным уравнением (15) имеем 2 уравнения на переменные (p1 , p2 , p3 ). Выразим из линейного уравнения p1 и подставим в квадратичное. Получим уравнение 2t2 + t + 1 = 0, где обозначено t = p2 /p3 . Это уравнение имеет комплексно сопряженные корни, следовательно, вещественных касательных, проходящих через точку (1, 2), не существует (имеются две комплексно сопряженные касательные). б) Напомним, что огибающая семейства кривых F (x, y, t) = 0, где t — параметр семейства, находится из системы F (x, y, t) = 0, Ft (x, y, t) = 0. Сначала запишем уравнение заданного семейства прямых. Для этого из уравнения (15) выразим, например, p1 и подставим в уравнение (8). После преобразований придем к уравнению x + t2 y + t = 0, где t = p2 /p3 . Система для 55 нахождения огибающей имеет вид x + t2 y + t = 0, 2ty + 1 = 0. Исключая параметр t, получим искомое уравнение xy = 1/4. Это гипербола. Задача 10. Объясните, почему вещественных касательных к гиперболе xy = 1/4, проходящих через точку (1, 2) не существует (1 балл). 56 Лекция 13. Кривые класса 3. Общее уравнение кривой третьего класса. Существует пучок кривых третьего класса, содержащих все прямые конфигурации T . Теорема Шаля: если кривая третьего класса содержит 8 прямых конфигурации T , то она содержит и девятую. Теорема Графа–Зауэра: прямолинейная три-ткань W является регулярной тогда и только тогда, когда она образована прямыми некоторой кривой третьего класса. 1. Уравнение кривой третьего класса (или класса 3) в однородных тангенциальных координатах (p1 , p2 , p3 ) имеет вид a111 (p1 )3 + a222 (p2 )3 + a333 (p3 )3 + 3a112 (p1 )2 p2 + . . . + 6a123 p1 p2 p3 = 0, (1) или, короче, aijk pi pj pk = 0. В нем 10 однородных, или 9 неоднородных коэффициентов. Следовательно, кривая третьего класса однозначно определяется заданием 9-ти прямых общего положения. M3 M2 M4 M1 M5 M6 Рис.17 Термин «общего положения» имеет следующий смысл: если координаты (p1 , p2 , p3 ) заданных девяти прямых подставить в уравнение (5), то получим 9 независимых уравнений на коэффициенты aijk . Из этих девяти уравнений коэффициенты aijk находятся (с точностью до общего множителя) однозначно, то есть мы получаем единственную кривую третьего класса, содержащую 9 заданных прямых. Однако этого может не быть при специальном расположении заданных девяти прямых. Рассмотрим известную нам конфигурацию Томсена T , которая состоит из девяти прямых и шести точек их пересечения M (xξ , yη ), ξ, η = 1, 2, . . . , 6, см. рис. 17. Лемма 1. Существует пучок кривых третьего класса, содержащих все прямые конфигурации T .  Уравнение (p1 x1 + p2 y1 + p3 )(p1 x3 + p2 y3 + p3 )(p1 x5 + p2 y5 + p3 )+ +κ(p1 x2 + p2 y2 + p3 )(p1 x4 + p2 y4 + p3 )(p1 x6 + p2 y6 + p3 ) = 0, (2) где κ — произвольная постоянная, определяет кривую третьего класса, содержащую все прямые конфигурации T , изображенной на рис. 17. Например, уравнение (2) удовлетворяется, если положить p1 x1 + p2 y1 + p3 = 0, 57 p1 x4 + p2 y4 + p3 = 0. Но эти равенства означают, что прямая с тангенциальными координатами (p1 , p2 , p3 ) проходит через точки (x1 , y1 ) и (x4 , y4 ). Следовательно, прямая M1 M4 принадлежит кривой (2). Аналогично найдем, что кривой (2) принадлежат прямые M1 M2 , M1 M6 , M3 M2 , M3 M4 , M3 M6 , M5 M2 , M5 M4 , M5 M6 . Поскольку κ — произвольная постоянная, то уравнение (2) задает пучок (однопараметрическое семейство) кривых третьего класса, κ — параметр пучка. Обозначим этот пучок K(κ).  Теорема 1 (Шаля). Если кривая третьего класса содержит 8 прямых конфигурации T , то она содержит и девятую.  Пусть кривая K, заданная уравнением (1), содержит 8 прямых конфигурации T , изображенной на рис. 17. Это дает 8 линейных соотношений на 10 однородных коэффициентов aijk уравнения (1). Покажем, что эти соотношения линейно независимы. Предположим, что независимых соотношений только 7, а условие принадлежности кривой восьмой прямой (пусть M3 M2 ) является следствием этих семи соотношений. Потребуем, чтобы кривая (1) содержала еще одну прямую s, проходящую через точку M5 . Это даст восьмое соотношение на коэффициенты aijk , следовательно, имеется пучок кривых третьего класса, содержащих выбранные 7 прямых и прямую s (обозначим этот пучок опять K(κ)). С другой стороны, получается, что через точку M5 проходит не 3, а 4 прямые, принадлежащие кривой K(κ). Это означает, что кривая K(κ) содержит все прямые пучка с вершиной M5 (докажите - 3 балла), то есть кривая третьего класса K(κ) распадается на линейное семейство — пучок прямых с вершиной M5 и некоторую кривую второго класса, обозначим ее Q. При этом кривая второго класса Q должна содержать следующие 5 прямых, принадлежащих кривой K(κ) — это 8 прямых конфигурации T кроме трех, проходящих через точку M5 . Но, как известно из проективной геометрии, существует единственная кривая второго класса, содержащая 5 прямых плоскости. Итак, получено противоречие: с одной стороны, кривых третьего класса должен быть пучок, а с другой — получилась единственная кривая, распавшаяся на пучок прямых с вершиной M5 и кривую второго класса Q. Следовательно, предположение о том, что из восьми соотношений только 7 независимых, неверно. Точно так же мы придем к противоречию, если предположим, что независимых соотношений не 7, а 6, 5, и т.д. Итак, все 8 соотношений независимы. Это означает, что существует однопараметрическое семейство кривых третьего класса, содержащих 8 выбранных прямых. В силу леммы 1 это будет именно пучок K(κ), поскольку его кривые содержат эти 8 прямых! Но эти же кривые содержат (по лемме 1) и девятую прямую.  4. Согласно определению, через каждую точку плоскости проходит 3 прямые, принадлежащие кривой третьего класса K. Но в некоторых точках эти прямые могут совпадать. Если такие точки исключить, то в оставшейся области D прямые кривой K образуют три-ткань, обозначим ее W (K). Теорема 2 (Графа–Зауэра). Прямолинейная три-ткань W является регулярной тогда и только тогда, когда она образована прямыми некото58 D30 D40 D3 D4 D E D5 R C Q F B A H P G T S Рис.18 рой кривой третьего класса.  Достаточность. Из теоремы Шаля следует, что все конфигурации Томсена на три-ткани W (K) замыкаются. Следовательно, ткань W (K) является регулярной. Необходимость. Пусть прямолинейная три-ткань W является регулярной, тогда на ней замыкаются все шестиугольные фигуры. Рассмотрим фигуры D3 , D4 , D5 ,. . . , составленные из линий этой ткани. Они изображены на рис. 18 сплошными линиями. Фигура D3 представляет собой шестиугольную фигуру (частный случай конфигурации T ), и по теореме Шаля существует пучок K(κ) кривых третьего класса, содержащих все прямые этой фигуры. Выберем в этом пучке ту кривую K, которая содержит прямую AB, и рассмотрим шестиугольную фигуру {CDEF GH}. Восемь из девяти прямых этой фигуры (кроме CH) принадлежат K, следовательно, по теореме Шаля ей принадлежит и девятая — CH. Точно так же доказывается, что прямая RP также принадлежит K, поэтому K содержит все линии фигуры D4 . Далее, рассматривая шестиугольную фигуру {T HQF P S}, выводим, что прямая T S, а затем — и все остальные прямые фигуры D5 принадлежат K. По индукции получаем, что и последняя фигура Dn , входящая в область определения D ткани W , также принадлежат K. Как и при доказательстве теоремы 1 из лекции 10, с помощью леммы о вписанных треугольниках разобьем фигуру Dn на более мелкие треугольники линиями ткани W (на рис. 18 это разбиение показано пунктирными линиями). Рассмотрим фигуры D30 , D40 , D50 ,. . . , которые образованы сплошными и пунктирными линиями. Аналогично докажем, что существует кривая третьего класса K 0 , которая содержит все эти линии. Но поскольку она содержит и все сплошные линии, то K ≡ K 0 (напомним, что кривая 59 третьего класса однозначно определяется девятью прямыми). Продолжая разбиение на все более мелкие треугольники, придем к выводу, что K содержит всюду плотное множество линий ткани W . Следовательно, все линии ткани W принадлежат K.  60 Лекции 14 – 15. Грассмановы три-ткани. Грассмановы три-ткани на плоскости. Конфигурация Паскаля на грассмановой три-ткани. Проективная плоскость. Уравнение грассмановой три-ткани на проективной плоскости. Корреляции. Полярное соответствие. Коррелятивное соответствие между кривыми третьего порядка и кривыми третьего класса; между грассмановыми и прямолинейными три-тканями. Двойственный аналог теоремы Графа–Зауэра. Обобщенная теорема Паскаля для кривых третьего порядка. Теорема Паскаля. Теорема Паппа. Три-ткани и номография. Номограмма из выравненных точек. Проблема анаморфозы. 1. Обозначим через G множество прямых плоскости. На множестве G можно определить три-ткань следующим образом. «Точкой» будем называть прямую — элемент из G, «линией M » — пучок прямых с вершиной в точке M , «семейством линий» — множество пучков прямых, вершины которых принадлежат некоторой гладкой кривой. Пусть Li , i = 1, 2, 3, — три гладкие кривые на плоскости, λi — определяемые ими три «семейства линий» — пучки прямых с вершинами на Li (рис. 19). Пусть m — произвольная прямая, пересекающая кривые Li в трех различных точках Mi ,Mi ∈ Li . M1 L1 M2 L2 M3 L3 рис.19 Тогда m принадлежит трем пучкам прямых с вершинами в точках Mi . Поэтому можно сказать, что «линии Mi , Mi ∈ λi , пересекаются в точке m». Следовательно, в соответствии с определением три-ткани, в некоторой окрестности «точки» m семейства «линий» λi образуют три-ткань на множестве G. Такие три-ткани обозначаются GW и называются грассмановыми три-тканями. Параметром «линии» Mi является параметр точки Mi на кривой Li , обозначим его, как обычно, ui . Тогда уравнение три-ткани GW имеет обычный 61 вид F (u1 , u2 , u3 ) = 0. Пример 1. Пусть кривые Li — прямые y = x, y = 0, y = −x. Зададим прямую m уравнением y = kx + b. Прямая m пересекает прямые Li в b b b b точках с координатами M1 ( 1−k , 1−k ), M2 (− kb , 0), M3 (− 1+k , 1+k ). Возьмем b b b . в качестве параметра координату x, тогда u1 = 1−k , u2 = − k , u3 = − 1+k Исключая из этих уравнений переменные b и k, получим уравнение грассмановой ткани: 2u1 u3 − u1 u2 − u2 u3 = 0 (проверьте!). Задача 1. Докажите, что полученная грассманова три-ткань является регулярной.(1 балл) Пример 2. Пусть L1 — ось x, линии L2 и L3 — верхняя и нижняя полуокружности x2 + y 2 = r2 . Прямую m зададим следующим образом: пусть m пересекает ось X в точке M1 (c, 0) и образует с этой осью угол α. Числа c и α вполне определяют прямую m. Параметром точки M1 является число c, а за параметры точек M2 и M3 , в которых прямая m пересекает верхнюю и нижнюю полуокружности, возьмем углы ϕ = M1 OM2 и θ = M1 OM3 соответственно. Надо найти уравнение ткани — связь между параметрами c, ϕ и θ. Заметим, что сумма площадей треугольников M1 OM2 и M1 OM3 равна площади треугольника M3 OM2 , что дает равенство 1 1 1 rc sin ϕ + rc sin θ = r2 sin(ϕ + θ). 2 2 2 Сократив на r/2, получим уравнение ткани: c sin ϕ + c sin θ = r sin(ϕ + θ). Задача 2. Докажите, что рассмотренная в примере 2 грассманова триткань является регулярной пользуясь формулой Сен-Робера (3 балла) или приведя уравнение ткани к виду u1 + u2 + u3 = 0 (4 балла). Пример 3. Пусть кривые Li — части одной кривой третьего порядка, полукубической параболы y 2 = x3 . Прямую m зададим уравнением y = kx+ b. Параметризуем полукубическую параболу, положив x = t2 , y = t3 . Пусть прямая m пересекает параболу в трех точках M1 (t21 , t31 ), M2 (t22 , t32 ), M3 (t23 , t33 ). Так так эти точки лежат на прямой m, то их координаты удовлетворяют уравнению этой прямой, что дает равенства t31 = kt21 + b, t32 = kt22 + b, t33 = kt23 + b. Исключая отсюда переменные k и b, получим уравнение ткани: t31 t32 t33 t21 t22 t23 1 1 1 = 0. После преобразований получим t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 = 0 (проверьте!). Задачи. 62 3. Докажите, что рассмотренная в примере 3 грассманова три-ткань является регулярной. (1 балл) 4. Найдите уравнение грассмановой три-ткани в случае, если кривые Li следующие: а) −x + y = 1, −x − y = 1, x = 1; (2 балла) б) ось X и две части окружности x2 + (y − 2)2 = 4 (3 балла); в) ось Y и две части окружности (x − 1)2 + y 2 = 1 (3 балла); г) части кубической кривой, заданной ниже параметрическими уравнениями (по 3 балла): t3 t t2 1 t t2 (1) x = 1−t 3 , y = 1−t3 ; (2) x = 1−t3 , y = 1−t3 ; (3) x = 1−t3 , y = 1−t3 ; 2 3 2 t t t t 1 t (4) x = 1+t 3 , y = 1+t3 ; (5) x = 1+t3 , y = 1+t3 ; (6) x = 1+t3 , y = 1+t3 . 2. Выясним, какой вид имеет конфигурация T на грассмановой триткани GW . Так как «точки» ткани GW — это прямые, «линии» — пучки прямых, «семейства линий» — пучки прямых с вершинами на кривых Li , то построение конфигурации T , изображенной на рис. 20а, приведет нас на ткани GW к конфигурации из шести прямых и девяти точек, изображенной на рис. 20б; назовем ее конфигурацией Паскаля или конфигурацией P . Отметим, что множество таких конфигураций, как и множество конфигураций T , зависит от четырех параметров. m3 A32 A31 A32 n1 A33 n2 A21 m2 A22 A12 A13 A23 L1 L2 A12 A33 A21 A23 A11 m1 A11 A22 A13 L3 n 3 m1 m2 n 2 n3 A31 n m3 1 б а рис.20 В частности, шестиугольной фигуре (она получается из фигуры T в случае, если три внутренние линии проходят через одну точку, см. рис. 20а) будет соответствовать такая фигура P , у которой точки A11 , A22 и A33 лежат на одной прямой. Множество таких конфигураций зависит уже не от четырех, а от трех параметров. Замкнутой фигуре T (на рис. 20а прямые A12 , A22 и A32 проходят через одну точку) отвечает замкнутая фигура P (на рис. 20б точки A12 , A22 и A32 лежат на одной прямой). Задача 5. Постройте на грассмановой ткани аналог фигур Рейдемейстера и Бола. (4 балла) 63 3. Прежде чем двигаться дальше, устраним "неравноправие" между множеством прямых и множеством точек на плоскости. Точка, как мы знаем, определяется двумя координатами x и y, а прямая — тремя однородными координатами p1 , p2 , p3 . Введем и для точек однородные координаты x1 , x2 , x3 , x3 6= 0, связанные с координатами x и y следующим образом: x= x1 , x3 y= x2 , x3 x3 6= 0. (1) Отметим два важных свойства однородных координат. 1) Однородные координаты определены с точностью до общего ненулевого множителя. Действительно, как видно из (1), x и y не изменятся, если вместо переменных x1 , x2 , x3 в них подставить переменные λx1 , λx2 , λx3 , λ 6= 0. Таким образом, тройку чисел λx1 , λx2 , λx3 , λ 6= 0, также можно считать однородными координатами точки M . Записывается это так: M (x1 , x2 , x3 ) ∼ M (λx1 , λx2 , λx3 ). Например, точка M (2, 3) имеет однородные координаты M (2, 3, 1) ∼ M (2λ, 3λ, λ). 2) Уравнение прямой, записанное в однородных координатах, является однородным относительно переменных x1 , x2 , x3 . Действительно, уравнение прямой имеет вид p1 x + p2 y + p3 = 0. Подставляя сюда вместо координат x и y однородные по формулам (1), получим p1 x1 /x3 + p2 x2 /x3 + p3 = 0, или, так как x3 6= 0, p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 = 0. (2) Как видно, полученное уравнение является однородным относительно переменных x1 , x2 , x3 — однородных координат текущей точки прямой. В результате уравнение прямой стало однородным как относительно переменных x1 , x2 , x3 , так и относительно p1 , p2 , p3 — однородных координат прямой. Уравнение (2) можно интерпретировать двумя способами. Если считать числа p1 , p2 , p3 фиксированными, а x1 , x2 , x3 — переменными, то уравнение (2) есть уравнение прямой с однородными координатами p1 , p2 , p3 . Например, уравнение 2x1 + 3x2 − x3 = 0 есть уравнение прямой с координатами (2, 3, −1). Если, наоборот, фиксировать числа x1 , x2 , x3 , а переменными считать p1 , p2 , p3 , то уравнение (2) задает множество всех прямых, проходящих через точку (x1 , x2 , x3 ), то есть пучок прямых с вершиной (x1 , x2 , x3 ). Например, уравнение 4p1 − p2 + p3 = 0 задает пучок прямых с вершиной (4, −1, 1). Но "равноправие" между прямыми и точками еще не достигнуто. Дело в том, что на плоскости имеются прямые, у которых третья однородная координата равна нулю, p3 = 0. Это прямые с уравнением p1 x1 + p2 x2 = 0 — прямые, проходящие через начало координат. А для однородных координат точек было ограничение x3 6= 0. Теперь снимем ограничение x3 6= 0, то есть будем рассматривать также наборы вида (x1 , x2 , 0). Это новые добавленные точки. Совокупность старых и новых точек, то есть всевозможных наборов вида (x1 , x2 , x3 ), где хотя бы одно из чисел не равно нулю, называется проективной плоскостью и обозначается P2 . 64 Из равенств (1) видно, что x и y стремятся к бесконечности, если x3 стремится к нулю. Поэтому добавленные точки называют бесконечно удаленными. Говорят, что проективная плоскость получается расширением декартовой (аффинной) плоскости путем добавления к ней бесконечно удаленных точек. Новые точки характеризуются условием x3 = 0. Это уравнение — линейное относительно однородных координат x1 , x2 , x3 , поэтому множество новых точек называется бесконечно удаленной прямой, которая обозначается `∞ . Таким образом на проективной плоскости множество прямых состоит из старых прямых, заданных уравнением (2), в котором хотя бы одно из чисел p1 , p2 не равно нулю, и новой прямой `∞ , причем уравнение x3 = 0 последней получается из (2) при p1 = 0, p2 = 0, p3 6= 0. Пишут также P2 = R2 ∪ `∞ . Предложение 1. На проективной плоскости P2 каждая "старая" прямая пересекает новую прямую x3 = 0 в одной точке. (1 балл) Предложение 2. На проективной плоскости P2 все прямые пересекаются, то есть нет параллельных прямых; все параллельные друг другу прямые пересекаются в точке на прямой `∞ . (2 балла) Прямые проективной плоскости отличаются от прямых евклидовой (аффинной) плоскости следующим свойством. Предложение 3. Прямые проективной плоскости замкнуты, то есть топологически эквивалентны окружности. (3 балла) Прямые проективной плоскости называются проективными прямыми. 4. Теперь грассмановы три-ткани мы будем рассматривать на проективной плоскости. Пусть три-ткань GW определена как в п.1, с помощью трех линий Li , i = 1, 2, 3, и пусть прямая m пересекает кривые Li соответственно в трех различных точках Mi ,Mi ∈ Li . Положение точки Mi на кривой Li определяется параметром ui , поэтому однородные координаты этой точки зависят от ui : M1 (x11 (u1 ), x21 (u1 ), x31 (u1 )), M2 (x12 (u2 ), x22 (u2 ), x32 (u2 )), M3 (x13 (u3 ), x23 (u3 ), x33 (u3 )). Условие принадлежности точек Mi одной прямой m имеет вид (почему?): x11 (u1 ) x21 (u1 ) x31 (u1 ) x12 (u2 ) x22 (u2 ) x32 (u2 ) x13 (u3 ) x23 (u3 ) x33 (u3 ) = 0. (3) Это уравнение грассмановой три-ткани GW . Как видно, уравнение (3) похоже на уравнение 2 из лекции 11, и это не случайно. Более точно: уравнение (2, лек. 11) перейдет в уравнение (3) при взаимно-однозначном преобразовании, которое каждой точке (x1 , x2 , x3 ) проективной плоскости ставит в соответствие некоторую прямую (p1 , p2 , p3 ), а каждой прямой — некоторую точку, и при этом сохраняется принадлежность точки прямой. Такие преобразования называются корреляциями. Примером корреляции является полярное соответствие относительно кривой второго порядка. Пусть K — кривая второго порядка, ее уравнение в 65 однородных координатах имеет вид a11 (x1 )2 + a22 (x2 )2 + a33 (x3 )2 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0. (4) Приравняем нулю соответствующую симметричную билинейную форму: a11 x1 y 1 +a22 x2 y 2 +a33 x3 y 3 +a12 (x1 y 2 +x2 y 1 )+a13 (x1 y 3 +x3 y 1 )+a23 (x2 y 3 +x3 y 2 ) = 0. (5) Точки M (x1 , x2 , x3 ) и N (y 1 , y 2 , y 3 ) называются сопряженными относительно кривой (4), если их координаты удовлетворяют равенству (5). Если в уравнении (5) зафиксировать координаты x1 , x2 , x3 , а координаты y 1 , y 2 , y 3 считать переменными, то получим уравнение прямой (обозначим ее m), которая называется полярой точки M (x1 , x2 , x3 ) относительно кривой 2-го порядка K, а точка M (x1 , x2 , x3 ) называется полюсом прямой m относительно K. И наоборот: если зафиксировать переменные y 1 , y 2 , y 3 , то получим уравнение поляры точки N (y 1 , y 2 , y 3 ). Из этого определения вытекает следующее Предложение 4. Если точка M лежит на поляре точки N , то точка N лежит на поляре точки M . (2 балла) Докажите следующие утверждения. Предложение 5. Поляры всех точек, лежащих на прямой l, пересекаются в одной точке. (2 балла) Предложение 6. Если из точки M можно провести касательные к кривой второго порядка, то поляра точки M проходит через точки касания. (5 баллов) Пример 4. Найдем поляру точки M (2, 0) относительно окружности x2 + 2 y = 1. Прежде всего запишем уравнение окружности в однородных координатах. Используя формулы (1), перепишем уравнение окружности в виде (x2 )2 (x1 )2 + 3 2 =1 3 2 (x ) (x ) или (x1 )2 + (x2 )2 − (x3 )2 = 0. Приравняем нулю соответствующую симметричную билинейную форму: x1 y 1 + x2 y 2 − x3 y 3 = 0. Однородные координаты точки M (2, 0) будут M (2, 0, 1). Подставляя их в последнее равенство вместо переменных y 1 , y 2 , y 3 , получим уравнение 2x1 − x3 = 0. Перейдя обратно к декартовым (неоднородным) координатам, получим уравнение 2x − 1 = 0 или x = 1/2. Это и есть уравнение поляры точки M (2, 0). Задачи. 6. Проверьте, выполняется ли в примере 4 предложение 6. (3 балла) 7. Найдите поляру точки M относительно кривой L (по 2 балла): 66 (а) M (0, −2 , L : y = x2 ; , (б) M (−3, 0) , L : x2 − y 2 = 1;, (в) M (2, 2) , L : xy = 1. Предложение 7. Пусть, как и выше, p1 , p2 , p3 — однородные координаты прямой на проективной плоскости P 2 , x1 , x2 , x3 — однородные координаты точки на P 2 , тогда линейные преобразования вида  1 2 3  p1 = a11 x + a12 x + a13 x , p2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,   p3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 , где det(aij ) 6= 0, порождают корреляцию. (5 баллов) Теорема 1. При корреляции прямолинейная три-ткань W переходит в грассманову три-ткань GW и обратно.  Пусть прямолинейная три-ткань W образована семействами прямых λi , i = 1, 2, 3. При корреляции прямая m перейдет в точку M , а точки прямой m перейдут в пучок прямых с вершиной M . Поэтому прямые семейства λi перейдут в однопараметрическое семейство точек, то есть в некоторую кривую Li , а точки прямых семейства λi перейдут в пучки прямых с вершинами на Li . Поэтому прямолинейная три-ткань перейдет в грассманову три-ткань GW . При этом три прямые прямолинейной три-ткани, проходящие через одну точку, перейдут в 3 пучка прямых, имеющих общую прямую (см. рис. 19). Уравнение прямолинейной три-ткани, связывающее параметры прямых, проходящих через одну точку, перейдет в уравнение соответствующей три-ткани GW , связывающее параметры соответствующих пучков прямых с вершинами Mi (рис. 19), то есть параметры вершин пучков Mi .  Лемма 1. При корреляции а) кривая третьего порядка переходит в кривую третьего класса и обратно; б) конфигурации T , связанные с кривой третьего класса, переходят в конфигурации P , связанные с соответствующей кривой третьего порядка; в) прямолинейная три-ткань W (K), образованная прямыми кривой третьего класса K, переходит в такую грассманову ткань, у которой все три порождающие ее кривые Li принадлежат одной и той же кубической кривой, — той самой, в которую переходит при корреляции кривая K.  Пункт а) следует из того факта, что корреляция есть линейное преобразование. Пункт б) проверяется непосредственным построением. Пункт в) следует из определения корреляции.  Следствие: с произвольной кривой третьего порядка связано ∞4 конфигураций P . Непосредственно из леммы вытекает условие регулярности грассмановой ткани GW . 67 Теорема 2 (двойственный аналог теоремы Графа–Зауэра).19 Грассманова три-ткань GW является регулярной тогда и только тогда, когда определяющие ее кривые Li принадлежат одной кривой третьего порядка. Для кубических кривых справедливы следующие утверждения, аналогичные полученным в предыдущем параграфе для кривых третьего класса: а) существует пучок кубических кривых, проходящих через все точки конфигурации P ; б) если кубическая кривая проходит через 8 точек конфигурации P , то она проходит и через девятую. Свойство кубической кривой допускать конфигурации P можно сформулировать следующим образом. Теорема 3 (обобщенная теорема Паскаля для кривых третьего порядка). Пусть вершины шестиугольника и две точки пересечения его противоположных сторон лежат на кубике K. Тогда и точка пересечения третьей пары противоположных сторон этого шестиугольника также лежит на K. В случае, если кубика распадается на прямую и кривую второго порядка, то получается известная из курса проективной геометрии классическая Теорема Паскаля. Если вершины шестиугольника лежат на кривой второго порядка, то точки пересечения его противоположных второн лежат на одной прямой. В случае, если кубика распадается на 3 прямые, то получается известная Теорема Паппа. Если 3 вершины шестиугольника лежат на одной прямой, 3 другие вершины — на другой прямой, то точки пересечения противоположных второн этого шестиугольника также лежат на некоторой прямой. 5. Как видно, теория три-тканей тесно связана с проективной геометрией. Однако есть и другие применения полученных результатов. А. В разных разделах математики важное значение имеют условия алгебраизуемости системы поверхностей. Говорят, что система n поверхностей алгебраизуема, если все поверхности системы являются кусками одной и той же алгебраической поверхности порядка n. Из предыдущих результатов получается следующий признак алгебраизуемости тройки кривых: тройка кривых Li алгебраизуема (то есть эти кривые являются кусками одной и той же кривой третьего порядка), если замыкаются все конфигурации Паскаля, связанные с этими кривыми. Б. Одно из исторически первых приложений криволинейных тканей — номография. Первоначальный интерес к прямолинейным и грассмановым три-тканям появился именно в связи с задачами номографии. Номография — прикладной раздел математики, где изучаются способы графического решения уравнений с помощью номограмм. Простейшая номограмма для функции z = f (x, y) — так называемый декартов абак — состоит из конечного числа линий декартовой сети x = const и y = const, и линий 19 Утверждения, соответствующие друг другу в корреляции, называются двойственны- ми. 68 уровня функции f : z = f (x, y) = const. С помощью номограммы можно графически приближенно решать уравнения вида c = f (x, b), c = f (a, y). Сейчас эти уравнения легко решить с помощью ЭВМ, а для простейших функций достаточно калькулятора. Но, раньше, когда этих средств не было, номограммы широко использовались в разных областях, прежде всего, инженерами при расчетах различных строительных конструкций. Особенно удобны так называемые номограммы из выравненных точек. Подобная номограмма для функции z = f (x, y) состоит из трех кривых, на которых нанесены значения переменных x, y и z таким образом, что точки x, y и z = f (x, y) оказываются на одной прямой. Следовательно, чтобы найти по заданным значениям двух из этих переменных третье, например, по x и y найти z, надо просто приложить линейку к точкам x и y (рис. 19). Но, как оказалось, не всякую функцию можно представить номограммой из выравненных точек. Как видно, такой номограмме соответствует грассманова три-ткань. Поэтому функцию z = f (x, y) можно тогда и только тогда представить номограммой из выравненных точек, когда три-ткань, определяемая уравнением z = f (x, y), эквивалентна некоторой грассмановой ткани, или эквивалентна соответствующей ей в корреляции прямолинейной ткани. В связи с этим в теории три-тканей возникла следующая проблема спрямляемости ткани, имевшая в то время (конец 19 — первая половина 20 века) важное прикладное значение: как выяснить, будет ли заданная уравнением z = f (x, y) три-ткань эквивалентна некоторой прямолинейной ткани20 ? Эта проблема оказалась настолько сложной, что решить ее полностью удалось совсем недавно, в 2005 году. 20 Так называемая "проблема анафморфозы" . 69 Задачи для самопроверки ∗ 1) Найдите уpавнение заданной тpи-ткани, границы ее области определения, опишите их геометрически; 2) выясните, является ли три-ткань регулярной; 3) постройте фигуру H; 4) сделайте рисунок. Три-ткань образована 1. Пpямыми x = const, пучком пpямых с вершиной в точке (−1, 0) и семейством концентpических окpужностей с центpом в точке (0, 0). 2. Пpямыми y = const, пучком пpямых с веpшиной в точке O, и параболическим пучком окpужностей с веpшиной в точке (0, 0) и линией центров – осью X. 3. Пpямыми x = const, пучком пpямых с веpшиной в точке (−2, 0) и параболическим пучком окpужностей с веpшиной в точке (0, 0) и линией центров – осью X. 4. Пучками пpямых с веpшинами в точках (−1, 0) и (1, 0) и семейством концентpических окpужностей с центpом в точке (0, 0). 5. Декартовой сетью и эллиптическим пучком окpужностей с веpшинами в точках (0, 1) и (0, −1). 6. Пpямыми x = const, пучком пpямых с вершиной в точке (0, 0), и эллиптическим пучком окpужностей с веpшинами в точках (0, 1) и (0, −1). 7. Декартовой сетью и гиперболическим пучком окpужностей с веpшинами в точках (0, 1) и (0, −1). 8. Пpямыми x = const, пучком пpямых с веpшиной в точке (0, 0) и гиперболическим пучком окpужностей с веpшинами в точках (0, 1) и (0, −1). 9. Тремя семействами концентрических окружностей с центрами (0, 0), (1, 0), (−1, 0). Вопросы для самопроверки 1. Определение группоида, квазигруппы, лупы, группы. Примеры. Латинские квадраты. Теорема: ассоциативная квазигруппа является группой. 2. Изоморфизм групп. Примеры. Изотопия квазигрупп, главная изотопия. Теорема: если группоид изотопен квазигруппе, то он сам является квазигруппой. 3. Правые и левые сдвига на квазигруппе. Построение LP -изотопа. Теорема: всякий главный изотоп квазигруппы, который есть лупа, будет LP изотопом. 4. Определение криволинейной три-ткани. Уравнение три-ткани. Примеры три-тканей. Область определения три-ткани, нахождение ее границ. 5. Эквивалентные три-ткани. Допустимые преобразования функции триткани. Теорема: всякая три-ткань эквивалентна три-ткани, образованной декартовой сетью и некоторым семейством кривых. 6. Параллельные и регулярные три-ткани. Условие Сен-Робера. 7. Координатная квазигруппа и координатные лупы три-ткани. 70 8. Конфигурации на H, T на три-ткани. Теорема: на параллельной триткани замыкаются конфигурации T . 9. Конфигурации R и Bm на три-ткани. Теорема: на параллельной триткани замыкаются конфигурации R. 10. Конфигурации Bl, Br на три-ткани. Теорема: на параллельной триткани замыкаются конфигурации H. 11. Конфигурации H, T на три-ткани и соответствующие тождества в координатных лупах. 12. Конфигурации R и Bm на три-ткани и соответствующие тождества в координатных лупах. 13. Конфигурации Bl, Br на три-ткани и соответствующие тождества в координатных лупах. 14. Основная теорема о шестиугольных три-тканях. 15. Прямолинейные три-ткани. Уравнение прямолинейной три-ткани. Нахождение огибающей семейства прямых. Примеры. 16. Порядок и класс алгебраической кривой. Кривые класса 1 и 2. Нахождение класса кривой, заданной уравнением F (x, y) = 0. Примеры. 17. Теорема: тангенциальные координаты касательной к кривой класса m связаны однородным алгебраическим уравнением степени m. 18. Уравнение кривой класса 3. Предложение: существует пучок кривых класса 3, содержащий 9 прямых конфигурации T . 19. Теорема Шаля. 20. Теорема Графа-Зауэра. 21. Грассмановы три-ткани. Уравнение грассмановой три-ткани. Пример. 22. Коррелятивное соответствие между прямолинейными и грассмановыми три-тканями. Конфигурация на грассмановой три-ткани. 23. Коррелятивное соответствие между прямолинейными и грассмановыми три-тканями. Обобщенная теорема Паскаля для кривых третьего порядка. Тест начального уровня. 1. В скольких точках прямая пересекает кубическую кривую? а) 3, б) 2, в)1, г) 4. 2. Укажите кривую первого класса: а) точка, б) прямая, в) линия второго порядка. 3. Укажите верное утверждение: а) любая невырожденная кривая второго порядка является кривой второго класса и других кривых второго класса нет; б) любая кривая четвертого порядка является кривой четвертого класса; в) точка является кривой второго класса. 4. Укажите верное определение квазигруппы: а) группоид Q с бинарной операцией x · y называется квазигруппой, если для любых a, b, c из Q однозначно разрешимы уравнения a · y = c и x · b = c; 71 б) группоид Q с бинарной операцией q(x, y) = x·y называется квазигруппой, если для любых a, b, c из Q однозначно разрешимо уравнение a · y = c; в) группоид Q с бинарной операцией q(x, y) ≡ x · y называется квазигруппой, если эта операция коммутативна. 5. Укажите верное определение лупы: а) лупой называется квазигруппа с единицей; б) лупой называется коммутативная квазигруппа; в) лупой называется коммутативный группоид. 6. Укажите верное утверждение: а) если группоид изотопен квазигруппе, то он является квазигруппой; б) если группоид изотопен квазигруппе, то он является лупой; в) если группоид изотопен квазигруппе, то он является группой. 7. Укажите группы: а) множество целых чисел с операцией сложения; б) множество целых чисел с операцией умножения; в) множество натуральных чисел с операцией сложения. 8. Будут ли изотопны квазигруппы z = x + 2y и z = x3 + y? а) Да, б) нет. 9. Укажите верное утверждение: а) изоморфизм является частным случаем изотопии; б) изотопия является частным случаем изоморфизма; в) существуют изоморфизмы, которые не являются изотопиями. 10. Укажите границу первого рода тpи-ткани, обpазованной на плоскости декаpтовой сетью и семейством концентpических окpужностей: а) объединение координатных осей Ох и Оу; б) бесконечно удаленная прямая; в) ось Ох. 11. Укажите верное определение регулярной три-ткани: а) три-ткань эквивалентная параллельной; б) три-ткань, обpазованной на плоскости декаpтовой сетью и семейством концентpических окpужностей; в) три-ткань, имеющая в качестве границы первого рода, бесконечно удаленную прямую. 12. Укажите область определения параллельной три-ткани: а) вся плоскость; б) внутренность круга x2 + y 2 = 1; в) полоса между прямыми x = 1 и x = −1. 13. Укажите верное утверждение: а) прямолинейная три-ткань является регулярной тогда и только тогда, когда она образована прямыми некоторой кривой третьего класса; б) прямолинейная три-ткань является регулярной тогда и только тогда, когда она образована прямыми некоторой кривой второго класса; в) прямолинейная три-ткань является регулярной тогда и только тогда, когда она образована прямыми некоторой кривой четвертого класса. 14. Укажите верный вид обобщенной теоремы Паскаля. 72 а) Пусть вершины шестиугольника и две точки пересечения его противоположных сторон лежат на кубике. Тогда и точка пересечения третьей пары противоположных сторон этого шестиугольника также лежит на этой кубике; б) пусть вершины шестиугольника и одна точка пересечения его противоположных сторон лежат на кубике. Тогда и точка пересечения двух других пар противоположных сторон этого шестиугольника также лежит на этой кубике; в) пусть четыре вершины шестиугольника и две точки пересечения его противоположных сторон лежат на кубике K. Тогда и две оставшиеся вершины этого шестиугольника также лежат на кубике K. 15. Укажите уравнение параллельной три-ткани: а) z = x + y; б) w = u + v + t; в) y = x2 . 73