Математическая обработка данных по методу Эйлера — это использование простейшего численного метода решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений при обработке информационных данных.
Введение
При поиске решения задач некоторых типов могут быть использованы отдельные методики Эйлера, в частности диаграммы Эйлера-Венна, иначе именуемые кругами Эйлера. Такие диаграммы применяются в теории множеств для схематичного отображения всех вероятных пересечений набора множеств. В обобщённом варианте диаграммы должны изображать все 2n комбинаций n свойств. К примеру, для n=3 эта диаграмма может быть изображена как три круга, имеющих центры в вершинах равностороннего треугольника и одинаковые радиусы, которые примерно равны длине стороны треугольника.
Представление логических связок в поисковых запросах
Идея логических связок очень хорошо может быть проиллюстрирована при помощи графических схем, то есть кругов Эйлера. Пример такой схемы представлен на рисунке ниже:
Рисунок 1. Графическая схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
При помощи диаграмм Эйлера можно ясно отобразить связи логических операций с теорией множеств. Принцип формирования диаграмм в общем случае состоит в следующем. На диаграммах часть круга, имеющего имя А, изображает истинность высказывания А. Круг А в теории множеств является обозначением всех компонентов, которые входят в это множество. Естественно, что зона вне круга является отображением значения «ложно» для данного высказывания. Для того, чтобы понимать какая часть диаграммы станет отображать логическую операцию следует заштриховать лишь те зоны, в которых значения логической операции в наборах А и В являются истинными.
К примеру, значение импликации будет истинным в трёх возможных вариантах (00, 01 и 11). Выполним последовательно заштриховку следующих зон:
- Зону, расположенную вне двух пересекающихся кругов, соответствующую значениям А=0, В=0.
- Зону, которая принадлежит лишь кругу В (в форме полумесяца), соответствующая значениям А=0, В=1.
- Зону, которая относится к обоим кругам, то есть пересечение А и В, соответствующую значениям А=1, В=1.
Эти три объединённые зоны и являются графическим отображением операции импликации.
Применение кругов Эйлера для доказательства логических законов
Для доказательства логических равенств может быть использован метод кругов Эйлера. В качестве примера рассмотрим закон де Моргана, то есть равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В. Чтобы обеспечить наглядность представления левой части равенства следует выполнить следующие действия:
- Заштриховать круги серым цветом, то есть применить дизъюнкцию.
- Заштриховать зону за кругами чёрным цветом, чтобы отобразить инверсию.
Эти действия изображены на рисунках ниже:
Рисунок 2. Круги Эйлера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Чтобы визуально представить правую часть равенства следует выполнить следующие действия:
- Заштриховать зону, которая отображает инверсию (¬А), серым цветом, и то же самое нужно сделать для зоны ¬В.
- Чтобы отобразить конъюнкцию, следует закрасить в чёрный цвет зону пересечения серых участков.
Данные действия изображены на рисунках ниже:
Рисунок 3. Круги Эйлера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Очевидно, что зоны, которые отображают левую и правую части, равны.
Метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
В процессе решения научных и технических проблем иногда возникает необходимость в математическом описании какой-либо динамической системы. Самым лучшим способом это сделать является использование дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений.
В отдельных случаях дифференциальное уравнение может быть преобразовано к формату, когда старшая производная отображается в явной форме. Такой тип записи именуется уравнением, которое разрешено по отношению к старшей производной, причём в правой части уравнения нет старшей производной.
Решением обыкновенного дифференциального уравнения является определённая функция y(x), удовлетворяющая данному уравнению для любого значения x на заданном имеющем границы или бесконечном интервале. Процедура разрешения дифференциального уравнения считается интегрированием дифференциального уравнения.
В числе первых и наиболее простых методов численного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка считается метод Эйлера. Его основой является аппроксимация производной отношением конечных приращений переменных, одна из которых зависима (y), а другая (x) независима, среди узлов равномерной сетки:
Рисунок 4. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Здесь $y_{i+1}$ является искомым значением функции в точке $x_{i+1}$.
Повысить уровень точности метода Эйлера можно путём использования для аппроксимации интеграла более точной формулы интегрирования, а именно формулы трапеций:
Рисунок 5. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Эта формула считается неявной по отношению к $y_{i+1}$, поскольку данное значение есть в обеих частях выражения, то есть считается уравнением по отношению к $y_{i+1}$, решить которое возможно, к примеру, численными методами.
Самым простым численным методом решения обыкновенного дифференциального уравнения считается метод Эйлера. Его основой является графическое построение решения дифференциального уравнения, но при этом данный метод предоставляет и способ определения искомой функции в численном или табличном формате.
Имеется дифференциальное уравнение:
$y'=f(x)$,
с начальными условиями:
$y(x)_0=y_0$.
То есть фактически это формулировка задачи Коши. Необходимо определить самым простым методом примерное значение решения в определённой точке с достаточно малым шагом. Формула дифференциального уравнения совместно с заданным начальным условием способны задать направление касательной к искомой интегральной кривой в точке $М_0$, имеющей координаты $(x_0, y_0)$.Уравнение касательной может быть выражено следующим образом:
$y=y_0+f(x_0, y_0)(x- x_0)$.
Перемещаясь по данной касательной, можно определить примерное значение решения в точке $x_1$:
$y_1=y_0+f(x_0, y_0)(x_1- x_0)$.
