Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Логические операции и их свойства

Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)

Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.

Обозначение: &, , .

Таблица истинности для конъюнкции



Рисунок 1.

Свойства конъюнкции:

  1. Если хотя бы одно из подвыражений конъюнкции ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция будет ложной для этого набора значений.
  2. Если все выражения конъюнкции истинны на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция тоже будет истинна.
  3. Значение всей конъюнкции сложного выражения не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется (как в математике умножение).

Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)

Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.

Обозначение: +, .

Таблица истинности для дизъюнкции



Рисунок 2.

Свойства дизъюнкции:

  1. Если хотя бы одно из подвыражений дизъюнкции истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция принимает истинное значение для данного набора подвыражений.
  2. Если все выражения из некоторого списка дизъюнкции ложны на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
  3. Значение всей дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений (как в математике – сложение).
«Логические операции и их свойства» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)

Отрицание - означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.

Обозначения: не A, ˉA, ¬A.

Таблица истинности для инверсии



Рисунок 3.

Свойства отрицания:

«Двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология в формальной логике и равно самому значению в булевой логике.

Импликация или логическое следование

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (A), а второе (A) является следствием условия (A).

Обозначения: , .

Таблица истинности для импликации



Рисунок 4.

Свойства импликации:

  1. AB=¬AB.
  2. Импликация AB ложна, если A=1 и B=0.
  3. Если A=0, то импликация AB истинна при любом значении B, (из лжи может следовать истинна).

Эквивалентность или логическая равнозначность

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных A и B.

Обозначения: , , .

Таблица истинности для эквивалентности



Рисунок 5.

Свойства эквивалентности:

  1. Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных A и B.
  2. КНФ AB=(ˉAB)(AˉB)
  3. ДНФ AB=ˉAˉBAB

Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)

Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.

Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных 1, составляющих текущий набор — нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Обозначения: AB (в языках программирования), AB, AB (в языках программирования).

Таблица истинности для операции сложения по модулю два



Рисунок 6.

Свойства строгой дизъюнкции:

  • a0=a(идемпотентность)
  • a1=ˉa(отрицание)
  • aa=0(получение 0)
  • ab=ba(коммутативность)
  • (ab)c=a(bc)(ассоциативность)
  • (ab)b=a(поглощение)
  • ˉab=aˉb=(ab)(сравнения по модулю)

Стрелка Пирса

Бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Названа в честь Чарльза Пирса и введена в алгебру логики в 18801881 гг.

Обозначения: , ИЛИ-НЕ

Таблица истинности для стрелки Пирса



Рисунок 7.

Свойства:

Стрелка Пирса, как и конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, образует базис для булевых функций двух переменных. При помощи стрелки Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

XX=¬X— отрицание

(XY)(XY)XY — дизъюнкция

(XX)(YY)XY — конъюнкция

((XX)Y)((XX)Y)=XY — импликация

В электронике стрелка Пирса представлена в виде элемента, который носит название «операция 2ИЛИ-НЕ» (2-in NОR).

Штрих Шеффера

Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г.

Обозначения: |, эквивалентно операции И-НЕ.

Таблицей истинности для функции штрих Шеффера



Рисунок 8.

Свойства:

Штрих Шеффера образует базис для всех булевых функций двух переменных. Применяя штрих Шеффера можно построить остальные операции, например,

XX=¬X — отрицание

(XY)(XY)=(XY) — конъюнкция

(XX)(YY)=XY — дизъюнкция

X¬Xконстанта 1

Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

  1. Инверсия(отрицание);
  2. Конъюнкция (логическое умножение);
  3. Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
  4. Импликация (следствие);
  5. Эквивалентность (тождество).

Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.

Общие свойства

Для набора из n логических переменных существует ровно 2n различных значений. Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец и 2n строк.

Дата написания статьи: 24.03.2016
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Логические операции и их свойства"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant