Как найти вектор, перпендикулярный вектору

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Определение 1

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Определение 2

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Определение 3

Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.

Обозначение: $\overline{AB}$ - вектор $AB$ , имеющий начало в точке $A$ , а конец в точке $B$ .

Иначе одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Определение 4

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Обозначение: $\overline{0}$ .

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).

«Как найти вектор, перпендикулярный вектору» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Определение 6

Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{α}\overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})$

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

$\overline{α}\overline{β}=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Теорема 1

Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.

Доказательство.

Необходимость: Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ , которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$ , соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство

$\overline{α}\cdot \overline{β}=0$

Так как векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ перпендикулярны, то угол между ними равняется $90^0$ . Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.

$\overline{α}\cdot \overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡90^\circ =|\overline{α}||\overline{β}|\cdot 0=0$

Достаточность: Пусть верно равенство $\overline{α}\cdot \overline{β}=0$ . Докажем, что векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут перпендикулярны друг другу.

По определению 6, будет верно равенство

$|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})=0$

$cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})=0$

$∠(\overline{α},\overline{β})=90^\circ$

Следовательно, векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут перпендикулярны друг другу.

Теорема доказана.

Пример 1

Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.

Доказательство.

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

$\overline{α}\cdot \overline{β}=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac{3}{2}=2\cdot 5+3=0$

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Определение 7

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$ .

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Пример 2

Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $\overline{α}=(1,2,3)$ и $\overline{β}=(-1,0,3)$

Решение.

Найдем векторное произведение данных векторов.

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\1&2&3\\-1&0&3\end{vmatrix}=(6-0)\overline{i}-(3+3)\overline{j}+(0+2)\overline{k}=6\overline{i}-6\overline{j}+2\overline{k}=(6,6,2)$