Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов:
- анализа;
- построения;
- доказательства;
- исследования.
Каждый этап является важным. Например, анализ и исследование задачи необходимы для рассмотрения случаев, когда задача будет иметь решение, а когда – нет.
Построение фигур проще выполнять с помощью транспортира и линейки с делениями, но в математике необходимо уметь выполнять построение, используя циркуль и линейку без делений.
Построение отрезка, равного заданному
Построить отрезок, равный заданному, можно за 3 действия. Каждое действие обозначено на рисунке соответствующими цифрами.
Пусть необходимо построить отрезок, который будет равен отрезку $АВ$. Для этого:
- Отметим произвольно точку $А_1$ и проведем луч с началом в этой точке.
- С помощью циркуля измерим заданный отрезок $АВ$.
- Проведем часть окружности с радиусом, равным отрезку $АВ$, и центром в точке $А_1$. В точке пересечения окружности и построенного луча получим точку $В_1$.
Таким образом, построенный отрезок $А_1 В_1$ будет равен заданному отрезку $АВ$.
Построение угла, равного заданному
Построить угол, равный заданному, можно за $5$ действий. Каждое действие обозначено на рисунке соответствующими цифрами.
Пусть необходимо построить угол, который будет равен углу $А$.
Для этого:
- Отметим произвольную точку $А_1$ и проведем из нее луч $А_1$.
- Циркулем с произвольным радиусом проведем часть окружности с центром в точке $А$ до пересечения обеих сторон заданного угла $А$.
- С тем же радиусом проведем часть окружности с центром в точке $А_1$ до пересечения с лучом $А_1$.
- Из точек пересечения проведем окружности с одинаковым радиусом.
- Проведем прямую из точки $А_1$ через вторую точку пересечения.
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть даны два отрезка $b$ и $с$ и угол $А$:
Необходимо построить треугольник с заданными двумя сторонами и углом между ними:
Построение выполняется в 4 этапа, каждый из которых показан на рисунках:
-
Построим угол $А$, который равен заданному углу по схеме, которая рассматривалась выше.
-
С помощью циркуля замеряем отрезок $b$ и отложим от точки $А$ такой же отрезок на одной из сторон построенного угла. Получим точку $С$.
-
Циркулем замеряем отрезок $с$ и отложим от точки $А$ такой же отрезок на второй стороне построенного угла. Получим точку $В$.
-
С помощью линейки соединим точки $В$ и $С$.
Таким образом, получили треугольник $АВС$, построенный по двум сторонам и углу между ними.
Для облегчения построения полезно схематически изобразить будущий треугольник со всеми необходимыми элементами. Так будет наглядней видно, что после чего нужно строить.
Построение треугольника по стороне и прилегающим к ней углам
Пусть даны два угла $А$ и $В$ и отрезок $с$:
Необходимо построить треугольник с заданными двумя углами и стороной, к которой они прилегают:
Построение выполняется в $3$ этапа, каждый из которых показан на рисунках:
-
Начертим произвольный отрезок $АВ$, который равен заданному отрезку $c$.
-
Построим угол $А$, который равен заданному, как показано выше.
-
Построим угол $В$, который равен заданному.
Точка пересечения двух сторон построенных углов $А$ и $В$ является вершиной треугольника $С$.
Таким образом, получили треугольник $АВС$, построенный по стороне и двум углам.
Построение треугольника по трем сторонам
Пусть даны $3$ отрезка $а$, $b$ и $с$.
Необходимо построить треугольник по трем заданным сторонам.
-
Построим отрезок $АВ$, который равен заданному отрезку $c$.
-
Из точки $А$ проведем часть окружности с радиусом, равным заданному отрезку $b$.
-
Из точки $В$ проведем часть окружности с радиусом, равным заданному отрезку $a$. Пересечением обеих окружностей является точка $С$.
Таким образом, получили построенный треугольник $АВС$ по трем заданным сторонам.