Предварительные сведения
Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.
Будем рассматривать треугольник ABC с острыми углами A и C. Проведем в нем высоту BH. Введем следующие обозначения: AB=c, BC=a, AC=b, AH=x, BH=h (рис. 1).
Рисунок 1.
Введем без доказательств теорему о площади треугольника.
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
S=12bhФормула Герона
Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.
Пусть нам даны три стороны треугольника a, b и c. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)где p - полупериметр данного треугольника.
Доказательство.
Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.
Рассмотрим треугольник ABH. По теореме Пифагора, получим
h2=c2−x2Очевидно, что HC=AC−AH=b−x
Рассмотрим треугольник CBH. По теореме Пифагора, получим
h2=a2−HC2Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений
c2−x2=a2−b2+2bx−x2Из первого равенства найдем высоту
h2=c2−(c2−a2+b22b)2Так как полупериметр равен p=a+b+c2, то есть a+b+c=2p, то
h2=2p(2p−2c)(2p−2b)(2p−2a)4b2По теореме 1, получим
S=12bh=b2⋅2b√p(p−a)(p−b)(p−c)=√p(p−a)(p−b)(p−c)Теорема доказана.
Примеры задач на использование формулы Герона
Найти площадь треугольника, если его стороны равняются 3 см, 6 см и 7 см.
Решение.
Найдем вначале полупериметр этого треугольника
p=3+6+72=162=8 смПо теореме 2, получим
S=√8(8−3)(8−6)(8−7)=√8⋅5⋅2⋅1=4√5Ответ: 4√5.
Найти площадь параллелепипеда, со сторонами 8 см и 5 см и меньшей диагональю, равной 5 см.
Решение.
Пусть нам дан параллелограмм ABCD, где AD=8 см, AB=5 см и BD=5 см (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как диагональ параллелограмма является его осью симметрии, то треугольники ABD и BDC равны между собой. Следовательно
S=SABD+SBDC=2SABDПолупериметр треугольника ABD равен
p=5+5+82=182=9 смПо теореме 2
SABD=√9(9−5)(9−5)(9−8)=√9⋅4⋅4⋅1=12Следовательно
S=2⋅12=24Ответ: 24.