Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Формула Герона

Предварительные сведения

Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

Будем рассматривать треугольник ABC с острыми углами A и C. Проведем в нем высоту BH. Введем следующие обозначения: AB=c, BC=a, AC=b, AH=x, BH=h (рис. 1).



Рисунок 1.

Введем без доказательств теорему о площади треугольника.

Теорема 1

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

S=12bh

Формула Герона

Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.

Теорема 2

Пусть нам даны три стороны треугольника a, b и cи. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

S=p(pa)(pb)(pc)

где p - полупериметр данного треугольника.

Доказательство.

Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.

Рассмотрим треугольник ABH. По теореме Пифагора, получим

h2=c2x2

Очевидно, что HC=ACAH=bx

Рассмотрим треугольник  CBH. По теореме Пифагора, получим

h2=a2HC2
h2=a2(bx)2
h2=a2b2+2bxx2

Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений

c2x2=a2b2+2bxx2
2bx=c2a2+b2
x=c2a2+b22b

Из первого равенства найдем высоту

h2=c2(c2a2+b22b)2
h2=4b2c2(c2a2+b2)24b2
h2=(2bcc2+a2b2)(2bc+c2a2+b2)4b2
h2=(a2(cb)2)((c+b)2a2)4b2
h2=(ac+b)(a+cb)(c+ba)(c+b+a)4b2
h2=(a+b+c)(a+b+c2c)(a+b+c2b)(a+b+c2a)4b2

Так как полупериметр равен p=a+b+c2, то есть a+b+c=2p, то

h2=2p(2p2c)(2p2b)(2p2a)4b2
h2=4p(pa)(pb)(pc)b2
h=4p(pa)(pb)(pc)b2
h=2bp(pa)(pb)(pc)

По теореме 1, получим

S=12bh=b22bp(pa)(pb)(pc)=p(pa)(pb)(pc)

Теорема доказана.

«Формула Герона» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Примеры задач на использование формулы Герона

Пример 1

Найти площадь треугольника, если его стороны равняются 3 см, 6 см и 7 см.

Решение.

Найдем вначале полупериметр этого треугольника

p=3+6+72=162=8 см

По теореме 2, получим

S=8(83)(86)(87)=8521=45

Ответ: 45.

Пример 2

Найти площадь параллелепипеда, со сторонами 8 см и 5 см и меньшей диагональю, равной 5 см.

Решение.

Пусть нам дан параллелограмм ABCD, где AD=8 см, AB=5 см и BD=5 см (рис. 2).



Рисунок 2.

Так как диагональ параллелограмма является его осью симметрии, то треугольники ABD и BDC равны между собой. Следовательно

S=SABD+SBDC=2SABD

Полупериметр треугольника ABD равен

p=5+5+82=182=9 см

По теореме 2

SABD=9(95)(95)(98)=9441=12

Следовательно

S=212=24

Ответ: 24.

Дата последнего обновления статьи: 20.05.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Формула Герона"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant