Формула Герона

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

\[S=\frac{1}{2}bh\]

Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

\[S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)(p-c)}\]

где $p$ - полупериметр данного треугольника.

Доказательство.

Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.

Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим

\[h^2=c^2-x^2\]

Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$

Рассмотрим треугольник $\ CBH$. По теореме Пифагора, получим

\[h^2=a^2-{HC}^2\] \[h^2=a^2-{(b-x)}^2\] \[h^2=a^2-b^2+2bx-x^2\]

Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений

\[c^2-x^2=a^2-b^2+2bx-x^2\] \[2bx=c^2-a^2+b^2\] \[x=\frac{c^2-a^2+b^2}{2b}\]

Из первого равенства найдем высоту

\[h^2=c^2-{\left(\frac{c^2-a^2+b^2}{2b}\right)}^2\] \[h^2=\frac{{4b^2c}^2-{\left(c^2-a^2+b^2\right)}^2}{4b^2}\] \[h^2=\frac{\left(2bc-c^2+a^2-b^2\right)({2bc+c}^2-a^2+b^2)}{4b^2}\] \[h^2=\frac{\left(a^2-{\left(c-b\right)}^2\right)({\left(c+b\right)}^2-a^2)}{4b^2}\] \[h^2=\frac{\left(a-c+b\right)\left(a+c-b\right)\left(c+b-a\right)(c+b+a)}{4b^2}\] \[h^2=\frac{(a+b+c)\left(a+b+c-2c\right)\left(a+b+c-2b\right)\left(a+b+c-2a\right)}{4b^2}\]

Так как полупериметр равен $p=\frac{a+b+c}{2}$, то есть $a+b+c=2p$, то

\[h^2=\frac{2p\left(2p-2c\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2a\right)}{4b^2}\] \[h^2=\frac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{b^2}\] \[h=\sqrt{\frac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{b^2}}\] \[h=\frac{2}{b}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\]

По теореме 1, получим

\[S=\frac{1}{2}bh=\frac{b}{2}\cdot \frac{2}{b}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\]

Теорема доказана.