Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Параллельность 3 прямых в пространстве

В объёмном мире возможно три основных типа отношений прямых относительно друг друга:

  1. Прямые по отношению к друг другу скрещиваются, то есть лежат в непересекающихся плоскостях и не имеют ничего общего в отличие от пересекающихся прямых. Хорошим примером будет расположение развязки на дороге, когда над одной дорогой, которая лежит на уровне земли, сверху другая. Другая иллюстрация к этому типу отношений — река и проходящая над ней железная дорога.
  2. Две прямые являются параллельными и в этом случае они лежат в одной плоскости. Здесь в качестве иллюстрации из мира вспомним железнодорожные рельсы, идущие параллельно друг другу. Также параллельны друг другу, например, две вертикальные грани дома.
  3. Две прямые пересекаются друг с другом и также лежат в одной плоскости. Иллюстрация из реальной жизни — это перекрёсток обычной дороги. Также одна горизонтальная, а другая вертикальная грани дома являются примером пересекающихся прямых.

Под параллельными прямыми следует понимать прямые, лежащие в одной и той же плоскости и не имеющие каких-либо точек соприкосновения друг с другом.

Типы отношений прямых в объёмном мире

Рисунок 1. Типы отношений прямых в объёмном мире

В этой статье мы более подробно познакомимся с теоремой о трёх параллельных прямых в евклидовом пространстве и её доказательством.

Теорема о параллельности 3 прямых в евклидовом пространстве

Теорема 1

Если каждая из двух прямых a и b в пространстве параллельны некой третьей прямой c, то эти прямые a и b параллельны также между собой.

Доказательство теоремы о параллельности трех прямых в пространстве

«Параллельность 3 прямых в пространстве» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Параллельность трех прямых в пространстве — доказательство

Рисунок 2. Параллельность трех прямых в пространстве — доказательство

Рассмотрим прямые a, b и c, причём a параллельна c, и b параллельна c. Отметим на прямой b точку N.

Как известно, прямая и не возлежащая по её длине точка достаточны для задания единственной плоскости, то есть прямая a и точка N являются достаточными для задания некой плоскости α. Теперь рассмотрим нашу вторую подопечную b.

Предположим, что она встречается с плоскостью α в каком-то месте пространства, например, в точке N, тогда воспользовавшись леммой о двух параллельных прямых (см. ниже) получается, что её подруга c также должна пересекать плоскость α.

Из этого можно сделать ошибочный вывод, что прямая a тоже пересекает плоскость α, так как она также параллельна прямой c. Но это совсем не так, так как прямая a возлежит в плоскости a.

a и b не имеют общих точек, так как если бы они имели их, то ситуация, при которой каждая из них при этом оставалась бы параллельна прямой c была бы не реализуема, следовательно, a и b также параллельны друг другу.

Лемма о двух параллельных прямых, использовавшаяся для доказательства теоремы о трёх параллельных прямых

Пример 1

Если одна из параллельных прямых пересекает некую плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость.

Пример 2

Задача.

Задача о параллельности трех прямых в пространстве

Рисунок 3. Задача о параллельности трех прямых в пространстве

MBD,BM=MD

NCD,CN=ND

QAC,AQ=QN

PAB,AP=PB

Необходимо найти периметр MNQP, при этом AD=12 см, BC=14

Решение:

Задача о параллельности трех прямых в пространстве

Рисунок 4. Задача о параллельности трех прямых в пространстве

  1. MN||BC,QP||BC=> по теореме о параллельности трёх прямых MN||QP
  2. MP||DA,NQ||DA=> по теореме о параллельности трёх прямых MP||NQ
  3. MN||QP,MP||NQ=>MNQP является параллелограммом
  4. PMNQP=2(MN+MP)
  5. MN=BC2=142=7 см
  6. MP=AD2=122=6 см
  7. PMNQP=2(6+7)=26 см.
Дата последнего обновления статьи: 09.01.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Параллельность 3 прямых в пространстве"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant