В объёмном мире возможно три основных типа отношений прямых относительно друг друга:
- Прямые по отношению к друг другу скрещиваются, то есть лежат в непересекающихся плоскостях и не имеют ничего общего в отличие от пересекающихся прямых. Хорошим примером будет расположение развязки на дороге, когда над одной дорогой, которая лежит на уровне земли, сверху другая. Другая иллюстрация к этому типу отношений — река и проходящая над ней железная дорога.
- Две прямые являются параллельными и в этом случае они лежат в одной плоскости. Здесь в качестве иллюстрации из мира вспомним железнодорожные рельсы, идущие параллельно друг другу. Также параллельны друг другу, например, две вертикальные грани дома.
- Две прямые пересекаются друг с другом и также лежат в одной плоскости. Иллюстрация из реальной жизни — это перекрёсток обычной дороги. Также одна горизонтальная, а другая вертикальная грани дома являются примером пересекающихся прямых.
Под параллельными прямыми следует понимать прямые, лежащие в одной и той же плоскости и не имеющие каких-либо точек соприкосновения друг с другом.
Рисунок 1. Типы отношений прямых в объёмном мире
В этой статье мы более подробно познакомимся с теоремой о трёх параллельных прямых в евклидовом пространстве и её доказательством.
Теорема о параллельности 3 прямых в евклидовом пространстве
Если каждая из двух прямых a и b в пространстве параллельны некой третьей прямой c, то эти прямые a и b параллельны также между собой.
Доказательство теоремы о параллельности трех прямых в пространстве
Рисунок 2. Параллельность трех прямых в пространстве — доказательство
Рассмотрим прямые a, b и c, причём a параллельна c, и b параллельна c. Отметим на прямой b точку N.
Как известно, прямая и не возлежащая по её длине точка достаточны для задания единственной плоскости, то есть прямая a и точка N являются достаточными для задания некой плоскости α. Теперь рассмотрим нашу вторую подопечную b.
Предположим, что она встречается с плоскостью α в каком-то месте пространства, например, в точке N, тогда воспользовавшись леммой о двух параллельных прямых (см. ниже) получается, что её подруга c также должна пересекать плоскость α.
Из этого можно сделать ошибочный вывод, что прямая a тоже пересекает плоскость α, так как она также параллельна прямой c. Но это совсем не так, так как прямая a возлежит в плоскости a.
a и b не имеют общих точек, так как если бы они имели их, то ситуация, при которой каждая из них при этом оставалась бы параллельна прямой c была бы не реализуема, следовательно, a и b также параллельны друг другу.
Лемма о двух параллельных прямых, использовавшаяся для доказательства теоремы о трёх параллельных прямых
Если одна из параллельных прямых пересекает некую плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость.
Задача.
Рисунок 3. Задача о параллельности трех прямых в пространстве
M∈BD,BM=MD
N∈CD,CN=ND
Q∈AC,AQ=QN
P∈AB,AP=PB
Необходимо найти периметр MNQP, при этом AD=12 см, BC=14
Решение:
Рисунок 4. Задача о параллельности трех прямых в пространстве
- MN||BC,QP||BC=> по теореме о параллельности трёх прямых MN||QP
- MP||DA,NQ||DA=> по теореме о параллельности трёх прямых MP||NQ
- MN||QP,MP||NQ=>MNQP является параллелограммом
- PMNQP=2⋅(MN+MP)
- MN=BC2=142=7 см
- MP=AD2=122=6 см
- PMNQP=2⋅(6+7)=26 см.