В объёмном мире возможно три основных типа отношений прямых относительно друг друга:
- Прямые по отношению к друг другу скрещиваются, то есть лежат в непересекающихся плоскостях и не имеют ничего общего в отличие от пересекающихся прямых. Хорошим примером будет расположение развязки на дороге, когда над одной дорогой, которая лежит на уровне земли, сверху другая. Другая иллюстрация к этому типу отношений — река и проходящая над ней железная дорога.
- Две прямые являются параллельными и в этом случае они лежат в одной плоскости. Здесь в качестве иллюстрации из мира вспомним железнодорожные рельсы, идущие параллельно друг другу. Также параллельны друг другу, например, две вертикальные грани дома.
- Две прямые пересекаются друг с другом и также лежат в одной плоскости. Иллюстрация из реальной жизни — это перекрёсток обычной дороги. Также одна горизонтальная, а другая вертикальная грани дома являются примером пересекающихся прямых.
Под параллельными прямыми следует понимать прямые, лежащие в одной и той же плоскости и не имеющие каких-либо точек соприкосновения друг с другом.
Рисунок 1. Типы отношений прямых в объёмном мире
В этой статье мы более подробно познакомимся с теоремой о трёх параллельных прямых в евклидовом пространстве и её доказательством.
Теорема о параллельности 3 прямых в евклидовом пространстве
Если каждая из двух прямых $a$ и $b$ в пространстве параллельны некой третьей прямой $c$, то эти прямые $a$ и $b$ параллельны также между собой.
Доказательство теоремы о параллельности трех прямых в пространстве
Рисунок 2. Параллельность трех прямых в пространстве — доказательство
Рассмотрим прямые $a$, $b$ и $c$, причём $a$ параллельна $c$, и $b$ параллельна $c$. Отметим на прямой $b$ точку $N$.
Как известно, прямая и не возлежащая по её длине точка достаточны для задания единственной плоскости, то есть прямая $a$ и точка $N$ являются достаточными для задания некой плоскости $α$. Теперь рассмотрим нашу вторую подопечную $b$.
Предположим, что она встречается с плоскостью $α$ в каком-то месте пространства, например, в точке $N$, тогда воспользовавшись леммой о двух параллельных прямых (см. ниже) получается, что её подруга $c$ также должна пересекать плоскость $α$.
Из этого можно сделать ошибочный вывод, что прямая $a$ тоже пересекает плоскость $α$, так как она также параллельна прямой $c$. Но это совсем не так, так как прямая $a$ возлежит в плоскости $a$.
$a$ и $b$ не имеют общих точек, так как если бы они имели их, то ситуация, при которой каждая из них при этом оставалась бы параллельна прямой $c$ была бы не реализуема, следовательно, $a$ и $b$ также параллельны друг другу.
Лемма о двух параллельных прямых, использовавшаяся для доказательства теоремы о трёх параллельных прямых
Если одна из параллельных прямых пересекает некую плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость.
Задача.
Рисунок 3. Задача о параллельности трех прямых в пространстве
$M ∈ BD, BM = MD$
$N ∈ CD, CN = ND$
$Q ∈ AC, AQ = QN$
$P ∈ AB, AP = PB$
Необходимо найти периметр $MNQP$, при этом $AD = 12$ см, $BC = 14$
Решение:
Рисунок 4. Задача о параллельности трех прямых в пространстве
- $MN || BC, QP || BC =>$ по теореме о параллельности трёх прямых $MN || QP$
- $MP || DA, NQ || DA =>$ по теореме о параллельности трёх прямых $MP || NQ$
- $MN || QP, MP || NQ => MNQP$ является параллелограммом
- $P_{MNQP} = 2 \cdot (MN + MP)$
- $MN = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см
- $MP = \frac{AD}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см
- $P_{MNQP} = 2 \cdot (6 + 7) = 26$ см.