Определение двух параллельных прямых в пространстве
Две прямые $a$ и $b$ считаются параллельными в объёмном мире тогда и только тогда, если обе они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
В реальном мире параллельными между собой будут две противоположные прямые на гранях квадратного или прямоугольного стола, 2 железнодорожные шпалы, линии в тетради по русскому языку, линии проводов электропередачи, лежащие друг напротив друга в одной плоскости линии пола и оконных карнизов.
Другие варианты расположения прямых в 3D - это когда они скрещиваются (то есть не пересекаются и лежат в непересекающихся плоскостях), и пересекаются друг с дружкой.
Существует несколько разнообразных теорем, которые чаще всего используются при рассмотрении параллельных прямых в объёмном мире и которые было бы полезно знать.
Признак параллельности двух прямых в пространстве
Две прямые параллельны друг дружке в объёмном мире, если они ортогональны по отношению к одной и той же плоскости.
Через точку в евклидовом пространстве, не возлежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, причём вариант для проведения такой линии возможен только один.
Докажем данную теорему.
Для этого через прямую $a$ и не возлежащую на ней точку $M$ проведём плоскость, причём она однозначно определяется нашей прямой линией $a$ и точкой $M$ и, соответственно, довольно однозначно определена.
Рисунок 1. Как доказать параллельность прямых в пространстве
А теперь, для того чтобы доказать теорему, воспользуемся евклидовой аксиомой из планиметрии о параллельных прямых, на всякий случай мы разместим её ниже после доказательственного рассуждения.
Таким образом, через точку $M$ возможно проложить только одну прямую линию, параллельную прямой $a$ и существование такой прямой доказано (назовём новую прямую линию буквой $b$).
Через любую точку на плоскости, не возлежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую.
Свойства параллельных прямых в пространстве
- Первое уже было изложено нами выше: через любую точку в пространстве, не возлежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это довольно простая и интуитивно понятная теорема.
- Если одна из двух прямых параллельна некой третьей прямой, то и вторая прямая линия также будет параллельна третьей прямой линии.
- Если одна из двух прямых, про которые известно, что они параллельны, проходит насквозь через некую плоскость, то и вторая прямая также проходит эту плоскость. Данное свойство иногда также называют леммой о параллельных прямых в пространстве, она используется при работе над обоснованием некоторых других теоретических положений.
- Имея 2 прямые, параллельные между собой, можно изобразить плоскость, причём она будет однозначно задана.
Осуществим доказательство теоремы о параллельных прямых в пространстве, в нашем списке свойств она под номером 3, также её называют леммой о параллельных прямых.
Рисунок 2. Две параллельных прямых, пересекающих плоскость
Пусть прямая $b$ проходит насквозь некую плоскость $α$ в геометрической точке $M$, при этом прямые линии $a$ и $b$, как уже обсуждалось нами в свойстве 4, образуют плоскость $β$.
Рисунок 3. Доказательство леммы о параллельных прямых в пространстве
Так как точка $M$ является общей и для плоскости $α$, и для плоскости $β$, то две эти плоскости пересекаются, а местом их пересечения соответственно аксиоме о пересекающихся плоскостях будет прямая линия $c$, на которой лежит $M$.
Все проведённые прямые $a, b$ и $с$ лежат в одной плоскости $β$.
Воспользуемся аксиомой планиметрии, согласно которой если одна из параллельных прямых пересекает другую, то и вторая линия будет взаимодействовать с этой новой прямой линией таким же образом.
На данном рисунке прямая $a$ будет пересекать прямую $c$ в точке $K$.
Точка $K$ возлежит одновременно и в плоскости $α$, и на прямой $a$, и она является единственным их общим геометрическим объектом, следовательно, прямая $a$ также пересекает плоскость $α$.
Рассмотрим для примера ещё одну задачу.
Даны прямые $g$ и $m$, заданные следующими уравнениями. Определить, являются ли они параллельными.
$g$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3}= \frac{z+1}{-2}$
$m$: $\begin{cases} x – y – z + 1 = 0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \end{cases}$
Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы $s_1$ и $s_2$ коллинеарны, а следовательно, для их координат должны выполняться следующие равенства:
$\frac{x_1}{x_2} =\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$
Найдём направляющие вектора. Для прямой $g$ направляющий вектор можно найти по каноническим уравнениям, он будет равен $\{1; 3; -2 \}$.
Для прямой $m$ направляющий вектор вычисляется через произведение нормальных векторов плоскостей, на пересечении которых она находится:
$s_2 = n_1×n_2 = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} = -i-3j + 2k$,
то есть $s_2 = \{-1;-3; 2\}$
$s_1=-s_2$
Так как условие, обозначенное выше, соблюдается, то прямые параллельны или совпадают. Теперь определим, не являются ли они совпадающими.
Для этого возьмём произвольную точку $М$ с координатами (1;2;-1), принадлежащую прямой $g$, и подставим её координаты в уравнения для второй прямой.
В первом уравнении получается, что 1=0, равенство не выполняется. Это значит, что точка $М$ не принадлежит прямой $m$ и, следовательно, прямые не совпадают.
