Определение параллельных прямых в пространстве

Докажем данную теорему.

Для этого через прямую $a$ и не возлежащую на ней точку $M$ проведём плоскость, причём она однозначно определяется нашей прямой линией $a$ и точкой $M$ и, соответственно, довольно однозначно определена.

Рисунок 1. Как доказать параллельность прямых в пространстве

А теперь, для того чтобы доказать теорему, воспользуемся евклидовой аксиомой из планиметрии о параллельных прямых, на всякий случай мы разместим её ниже после доказательственного рассуждения.

Таким образом, через точку $M$ возможно проложить только одну прямую линию, параллельную прямой $a$ и существование такой прямой доказано (назовём новую прямую линию буквой $b$).

Осуществим доказательство теоремы о параллельных прямых в пространстве, в нашем списке свойств она под номером 3, также её называют леммой о параллельных прямых.

Рисунок 2. Две параллельных прямых, пересекающих плоскость

Пусть прямая $b$ проходит насквозь некую плоскость $α$ в геометрической точке $M$, при этом прямые линии $a$ и $b$, как уже обсуждалось нами в свойстве 4, образуют плоскость $β$.

Рисунок 3. Доказательство леммы о параллельных прямых в пространстве

Так как точка $M$ является общей и для плоскости $α$, и для плоскости $β$, то две эти плоскости пересекаются, а местом их пересечения соответственно аксиоме о пересекающихся плоскостях будет прямая линия $c$, на которой лежит $M$.

Все проведённые прямые $a, b$ и $с$ лежат в одной плоскости $β$.

Воспользуемся аксиомой планиметрии, согласно которой если одна из параллельных прямых пересекает другую, то и вторая линия будет взаимодействовать с этой новой прямой линией таким же образом.

На данном рисунке прямая $a$ будет пересекать прямую $c$ в точке $K$.

Точка $K$ возлежит одновременно и в плоскости $α$, и на прямой $a$, и она является единственным их общим геометрическим объектом, следовательно, прямая $a$ также пересекает плоскость $α$.

Рассмотрим для примера ещё одну задачу.

Даны прямые $g$ и $m$, заданные следующими уравнениями. Определить, являются ли они параллельными.

$g$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3}= \frac{z+1}{-2}$

$m$: $\begin{cases} x – y – z + 1 = 0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \end{cases}$

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы $s_1$ и $s_2$ коллинеарны, а следовательно, для их координат должны выполняться следующие равенства:

$\frac{x_1}{x_2} =\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$

Найдём направляющие вектора. Для прямой $g$ направляющий вектор можно найти по каноническим уравнениям, он будет равен $\{1; 3; -2 \}$.

Для прямой $m$ направляющий вектор вычисляется через произведение нормальных векторов плоскостей, на пересечении которых она находится:

$s_2 = n_1×n_2 = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} = -i-3j + 2k$,

то есть $s_2 = \{-1;-3; 2\}$

$s_1=-s_2$

Так как условие, обозначенное выше, соблюдается, то прямые параллельны или совпадают. Теперь определим, не являются ли они совпадающими.

Для этого возьмём произвольную точку $М$ с координатами (1;2;-1), принадлежащую прямой $g$, и подставим её координаты в уравнения для второй прямой.

В первом уравнении получается, что 1=0, равенство не выполняется. Это значит, что точка $М$ не принадлежит прямой $m$ и, следовательно, прямые не совпадают.