Что такое циклический процесс
Циклическим называют процесс, начало и конец которого совпадают. На термодинамической диаграмме циклический процесс изображают в виде замкнутой кривой. Сделками указывают направление процесса.
Рис. 1
Различные части кривой иногда для удобства обозначают каким-либо образом. На рис. 1 можно сказать, что система перешла из состояния 1 в состояние 2 по пути L1, а из состояния 2 в состояние 1 по пути L2. Работа в циклическом процессе (рис.1) равна:
A=(2)∫(1)L1pdV+(1)∫(2)L2pdV (1).По модулю работа цикла равна площади, которая заключена внутри замкнутой линии, которая изображает цикл. Запишем первое начало термодинамики для имеющегося цикла:
δQ=dU+pdV(2),где δQ- элементарное количество теплоты, подведенное к системе, dU- элементарное изменение внутренней энергии системы, pdV- элементарная работа, совершенная системой.
Проинтегрируем (2) по имеющемуся у нас контуру цикла:
∮δQ=∮dU+∮pdV(2).Мы знаем, что внутренняя энергия системы -- функция состояния, она не зависит от пути, а зависит только от конечного и начального состояний системы, следовательно:
∮dU=0 (3).В таком случае равенство (2) имеет вид:
∮δQ=∮pdV=A(4).Выражение (4) означает, что работа (A), совершенная за цикл, произведена за счет количества теплоты, подведенного к системе. Теплота в части 1-2 поступает в систему, в части 2-1 уходит из системы. При обходе цикла по часовой стрелке количество тепла, поступающего в систему, больше, чем выходящее из нее. Следовательно, система совершает положительную работу. При движении от 1 к 2 (рис.1) система сама совершает работу (A12), при движении от 2 к 1 над системой совершают работу(A21). Причем A12=−A21.
В каждой точке цикла температура системы определяется уравнением состояния. Определение точек (отрезков диаграмм), где система отдает тепло, а где получает, сводится к решению уравнения dU+pdV=0. Это непростая задача.
Напомню, что эффективность процесса превращения тепла в работу определяется КПД (η):
η=Qn−Q′chQn(5)Цикл Карно
Наиболее простым, но в тоже время очень важным является цикл Карно. Он состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис.2).
Рис. 2
При выполнении цикла Карно необходимы два термостата. Термостат с температурой Tn называется нагревателем, с температурой Tch- холодильник (Tn> Tch). При прохождении участков -- адиабат система изолирована от внешней среды в отношении тепла.
Получим формулу расчета КПД для цикла Карно. Рассчитаем количество теплоты, которое получает газ (Qn). Поступление теплоты происходит на изотермическом участке 1-2.
Qn=(2)∫(1)δQ=(2)∫(1)dU+(2)∫(1)pdV=RTnlnV2V1(6),Первый интеграл равен нулю, так как мы имеем дело с изотермическим процессом, а второй -- работе при Tn=const (которая рассчитывалась в разделе изотермический процесс). На участке 3-4 система тепло отдает в холодильник при температуре Tch. Запишем Qch:
Qch=RTchlnV4V3(7).Из уравнения адиабаты следует, что
T1Vγ−12=T2Vγ−13, T1Vγ−11=T2Vγ−14→V2V1=V3V4→ln(V2V1) =ln(V3V4) (8).Подставим (8), (7),(6) в (5), получим КПД цикла Карно:
η=RTnlnV2V1−RTchlnV4V3RTnlnV2V1=Tn−TchTn(9)Формула (9) справедлива для обратимого цикла Карно. Мы получили, что КПД цикла Карно не зависит от конструкции тепловой машины и не зависит от вещества рабочего тела.
Задание: Изобразите цикл Карно параметрах энтропия -- температура.
Решение:
Опишем исходя из рис. 2 участки цикла:
процесс 1-2: Изотермический процесс, происходит с увеличением давления и объема, энтропия растет.
процесс 2-3. Адиабатический или изоэнтропийный. Энтропия постоянна, подвода тепла нет, расширение происходит за счет уменьшения температуры.
процесс 3-4: Изотермический процесс, происходит при уменьшении давления и объема, энтропия уменьшается.
процесс 4-1: Адиабатический или изоэнтропийный. Энтропия постоянна, подвода тепла нет,
за счет совершения работы над газом происходит увеличение его внутренней энергии и, как следствие, температуры. Изобразим перечисленные процессы на графике (рис.3).
Рис. 3
Задание: Провели два цикла Карно. В первом случае температуру нагревателя увеличили на △T (Tn+△T). Во втором температуру холодильника уменьшили на △T(Tch−△T). В каком случае КПД цикла больше?
Решение:
Основанием для решения задачи сделаем выражение для КПД цикла Карно:
η=1−TchTn (2.1).Запишем выражение для двух случаев, указанных в условиях, когда температуру нагревателя увеличивают Tn+△T, получим:
η1=1−TchTn+△T (2.2).И когда температуру холодильника уменьшают:
η2=1−Tch−△TTn (2.3).Найдем разность η1−η2, если ${\eta }_1-{\eta }_2 η1−η2=1−TchTn+?T−1+Tch−?TTn=−Tch⋅Tn+(Tn+?T)⋅(Tch−?T)(Tn+?T)(Tch+?T)=−Tch⋅Tn+Tch⋅Tn−△TTn+?TTch−?T2(Tn+?T)(Tch+?T) (2.4).
В выражении (2.4) знаменатель дроби очевидно больше нуля. Сравним с нулем числитель.
−△TTn+△TTch−△T2−?
Известно, что Tn>Tch→△TTn>△TTch→
\[-\triangle TT_n+\triangle TT_{ch}-{\triangle T}^2Получаем ${\eta }_1Ответ: КПД больше, если уменьшать температуру холодильника.