Принцип Даламбера является в теоретической механике одним из главных принципов динамики. Согласно этому принципу, при условии присоединения силы инерции к активно действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных связей, получается уравновешенная система.
Данный принцип получил название в честь французского ученого Ж. Даламбера, впервые предложившего его формулировку в своем сочинении «Динамика».
Определение принципа Даламбера
Принцип Даламбера звучит следующим образом: если к воздействующей на тело активной силе прикладывается дополнительная сила инерции, тело будет пребывать в равновесном состоянии. При этом суммарное значение всех действующих в системе сил, дополненное вектором инерции, получит нулевое значение.
Согласно указанному принципу, в отношении каждой i-той точки системы, становится верным равенство:
$F_i+N_i+J_i=0$, где:
- $F_i$ -активно воздействующая на эту точку сила,
- $N_i$ - реакция связи, наложенной на точку;
- $J_i$ - сила инерции, определяемая формулой $J_i=-m_ia_i$ (она направлена противоположно этому ускорению).
Фактически, отдельно для каждой рассматриваемой материальной точки $ma$ переносится справа налево (второй закон Ньютона):
$F=ma$, $F-ma=0$.
$ma$ при этом называется силой инерции Даламбера.
Такое понятие, как сила инерции, было введено еще Ньютоном. Согласно рассуждениям ученого, при условии движения точки под воздействием силы $F=ma$, тело (или система) – становится источником этой силы. При этом, согласно закону о равенстве действия и противодействия, ускоряемая точка будет влиять на ускоряющее ее тело с силой $Ф=-ma$. Такой силе Ньютон дал название системы инерции точки.
Силы $F$ и $Ф$ будут равными и противоположными, но приложенными к разным телам, что исключает их сложение. Непосредственно на точку сила инерции воздействия не оказывает, поскольку для нее она представляет фиктивную силу. При этом точка оставалась бы в состоянии покоя, если бы, помимо силы $F$, на точку оказывала воздействие еще и сила $Ф$.
Принцип Даламбера позволяет применять при решении задач динамики более упрощенные методы статики, что объясняет его широкое применение в инженерной практике. На этом принципе основывается метод кинетостатики. Особенно он удобен в применении с целью установления реакций связей в ситуации, когда известен закон происходящего движения или он получен при решении соответствующих уравнений.
Разновидностью принципа Даламбера выступает принцип Германа-Эйлера, фактически представлявшего собой форму данного принципа, но обнаруженную до появления публикации сочинения ученого в 1743 году. При этом принцип Эйлера не рассматривался его автором (в отличие от принципа Даламбера) в качестве основы для общего метода решения задач движения механических систем со связями. Принцип Даламбера считается более целесообразным в применении в случае необходимости определения неизвестных сил (для решения первой задачи динамики).
Принцип Даламбера для материальной точки
Многообразие типов решаемых в механике задач нуждается в разработке эффективных методик составления уравнений движения для механических систем. Одним из подобных методов, позволяющих посредством уравнений описать движение произвольных систем, считается в теоретической механике принцип Даламбера.
Опираясь на второй закон динамики, для несвободной материальной точки запишем формулу:
$m\bar{a}=\bar{F}+\bar{R}$,
где $R$ представляет реакцию связи.
Принимая значение:
$\bar{Ф}=-m\bar{a}$, где $Ф$— сила инерции, получаем:
$\bar{F}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$
Эта формула является выражением принципа Даламбера для материальной точки, согласно которому, для движущейся в любой момент времени точки геометрическая сумма воздействующих на нее активных сил и силы инерции получает нулевое значение. Этот принцип позволяет записывать уравнения статики для движущейся точки.
Принцип Даламбера для механической системы
Для состоящей из $n$-точек механической системы, можно записать $n$-уравнений вида:
$\bar{F_i}+ \bar{R_i}+\bar{Ф_i}=0$
При суммировании всех этих уравнений и введении следующих обозначений:
$\sum{F_i}=FE$
$\sum{R_i}=R$
$Ф_i=Ф$,
которые являются главными векторами внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно, получаем:
$\sum{F_i}+\sum{R_i}+\sum{Ф_i}=0$, т. е.
$FE + R + Ф = 0$
Условием для равновесного состояния твердого тела является нулевое значение главных вектора и момента действующих сил. Учитывая это положение и теорему Вариньона о моменте равнодействующей в результате запишем такое соотношение:
$\sum{riF_i}+\sum{riR_i}+\sum{riФ_i} = 0$
примем следующие обозначения:
$\sum{riF_i}=MOF$
$\sum{riR_i}=MOR$
$\sum{riФ_i}=MOФ$
главные моменты внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно.
В итоге получаем:
$\bar{F^E}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$
$\bar{M_0^F}+\bar{M_0^R}+\bar{M_0^Ф}=0$
Эти две формулы являются выражением принципа Даламбера для механической системы. В любой момент времени для движущейся механической системы геометрическая сумма главного вектора реакций связей, внешних сил, и сил инерции получает нулевое значение. Также нулевой будет и геометрическая сумма главных моментов от сил инерции, внешних сил и реакций связей.
Полученные формулы являются дифференциальными уравнениями второго порядка из-за присутствия в каждом из них ускорения в силах инерции (второй производной закона движения точки).
Принцип Даламбера позволяет решать методами статики задачи динамики. Для механической системы можно записывать уравнения движения в виде уравнений равновесия. Из таких уравнений можно определить неизвестные силы, в частности, реакции связей (первая задача динамики).
