Вырождение уровней по орбитальному моменту

Квантовые числа

Строение электронных орбиталей имеет сферическую симметрию не во всех случаях. Тогда, когда на решение уравнения Шредингера не наложены ограничения по сферической симметрии, строение орбиталей определяют квантовые числа, и соответствующие им физические величины. Данные параметры являются целыми числами.

Так, главное квантовое число ($n$) отвечает за квантование энергии электрона в атоме:

и связано с размером (объемом) орбитали электрона. При увеличении $n$ расстояние от максимума электронной плотности до центра атома (ядра) увеличивается.

Орбитальное квантовое число ($l$) отвечает за форму орбиталей и квантование орбитального момента количества движения электрона $(L)$:

Магнитное квантовое число $m$ ответственно за ориентацию орбитали и квантование проекции орбитального момента электрона на избранное направление (например, $z$):

Наличие магнитного квантового числа ведет к расщеплению энергетического уровня $E_n$ на $2l+1$ подуровень, с соответствующим расщеплением линий спектра.

Вырождение уровней по орбитальному моменту

Электрон может иметь одну величину энергии (одно главное квантовое число), но при этом находиться в нескольких состояниях (то есть его состояние может описывать несколько разных волновых функций). Состояния, имеющие одинаковую величину главного квантового числа, но разные значения орбитального и магнитного квантовых чисел называют вырожденными. При этом количество подобных состояний является кратностью вырождений.

Охарактеризуем состояние атома с помощью орбитального квантового числа $l$, в таком случае величина $L$ определена выражением (2), его проекция находится при помощи выражения (3) и она принимает $2l+1$ значение. При этом кратность вырождения на энергоуровне $n$ найдем как сумму числа проекций $L_z$ по всем величинам $l$ от $0$ до $n-1$. При этом имеем арифметическую последовательность:

Орбитальный механический момент электрона

Решение уравнения Шредингера дает то, что момент импульса электрона (механический орбитальный момент) ($L$) не может принимать произвольные значения, он квантуется и дискретен, причем его величина определена выражением:

где $l$ -- орбитальное квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме.

Кроме того, следствием того же уравнения является вывод о том, что вектор $\overrightarrow{L}$ может быть ориентирован в пространстве только таким образом, что его проекция на избранное направление (например z) ($L_z$) внешнего магнитного поля имеет квантованные величины, которые определены формулой:

Так как магнитное квантовое число ($m$) при заданном $l$, может иметь $2l+1$ значение, то вектор $\overrightarrow{L}$ имеет в атоме такое же число ориентаций.

Магнитный момент электрона

В том случае, если заряженная части имеет орбитальный механический момент, то она обладает и магнитным моментом. Величину данного момента можно вычислить, рассматривая круговую орбиту движения частицы (электрона). Магнитный момент ($\overrightarrow{p_m}$) для кругового тока можно представить как:

где $T$ -- период обращения электрона по орбите, $S$ -- площадь, которую охватывает орбита электрона. Если рассматривать поле центральных сил, то момент импульса $(L)$ -- интеграл движения, то есть можно записать:

где $m_e$ -- масса электрона, $\rho$ и $\varphi$ полярные координаты (рис.1). Начало системы координат разместим в ядре. Площадь орбиты электрона найдем как:

Подставим результат, полученный для площади орбиты электрона в (5), имеем:

Вообще говоря, магнитный и механические моменты -- векторные величины. Для частицы с положительным зарядом направления магнитного и механического моментов совпадут, тогда как для частицы, заряд которой меньше нуля направления рассматриваемых векторов, противоположны. Следовательно, для точечной частицы, имеющей заряд q, массу $m_q$ запишем:

Для электрона магнитный момент представляют как:

где ${\mu }_B=\frac{q_e\hbar }{2m_e}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2$ -- магнетон Бора, здесь $m_e$ -- масса электрона.

В квантовой теории вместо векторов применяют операторы, соотношения между ними запишем как:

где $\widehat{p_m}$ -- оператор магнитного момента электрона. Для проекций операторов на направление $z$, имеем:

где $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ -- магнитное квантовое число. При этом модуль магнитного момента электрона равен: