У электрона в атоме имеется орбитальный, собственный механический и магнитный моменты. Это приводит к спин-орбитальному взаимодействию. Простейший вариант представить природу спин -- орбитального взаимодействия: рассмотреть это явление как взаимодействие двух магнитных моментов. Первый связать с орбитальным перемещением электрона, а второй с его спиновым движением. Энергию взаимодействия при этом оценим как:
где ${\overrightarrow{p}}_m$- орбитальный магнитный момент, ${\overrightarrow{p}}_{ms}$ -- спиновый магнитный момент электрона, $r$ -- характерное расстояние между пространственными областями, в которых локализованы токи, которые создают магнитные моменты, Для диполь--дипольного взаимодействия расстояние r много больше, чем размеры областей локализации токов. В случае атомов ситуация иная. Однако, проведем оценку энергии, используя выражение (1). Положим, что:
Статья: Тонкая структура спектра атома водорода. Формула Дирака
кроме того ${r=r}_B=\frac{\hbar }{m_ec\alpha }$ -- Боровский радиус, $c$ -- скорость света, $\alpha =\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0с\hbar }=\frac{q^2_e}{2{\varepsilon }_0сh}$ -- постоянная тонкой структуры. Тогда используя выражение (1) получим:
Энергия спин -- орбитального взаимодействия почти на 4 порядка меньше, чем энергия электростатического взаимодействия электрона с ядром. Это позволит решать задачу об учете спин -- орбитального взаимодействия в атоме, используя теорию возмущений.
Кинетическая энергия и импульс для релятивисткой частицы связаны как:
Разложим выражение (4) в ряд по величине $\frac{p}{mc}$, имеем:
В формуле (5) мы имеем нерелятивистскую энергию $E_0$ и релятивистскую поправку $\delta E=\frac{E^2_0}{2mc^2}.$ В атоме водорода $E_0=R_y$, то для второго члена выражения (5) имеем:
Поправка равна величине порядка энергии спин-орбитального взаимодействия.
Рассмотрим водородоподобный ион, который имеет заряд $Z$. При этом невозмущенный гамильтониан системы имеет вид:
Требуется определить каковы поправки к уровням энергии, которые вызваны релятивистскими эффектами.
Релятивистская связь импульса и энергии электрона
Использование понятий квантовой механики означает, что выражение (5) имеет смысл отношений между операторами. При этом оператором возмущения будем считать:
Поправку к положению энергетических уровней можно записать как:
Так как $\left|\left.nl\right\rangle \right.$ -- собственные функции оператора Гамильтона ${\hat{H}}_0$, то из формулы (8) получаем:
где $E_{nl}=-Z^2R_y\frac{1}{n^2}$ -- уровни энергии невозмущённого гамильтониана. Усреднение проводится по состоянию $\left|\left.nl\right\rangle \right.$. Используем выражения:
где $R_{nl}(r)$ -- радиальная волновая функция водородоподобного атома, из формулы (9) имеем:
Подучается, что $\triangle E_T$ растет как $Z^4$ и уменьшается с ростом n. Учитывая релятивистскую поправку, мы убираем вырождение по орбитальному моменту. Все уровни энергии смещены вниз, при этом уровни энергии, имеющие большее значение $l$ смещаются меньше.
Спин -- орбитальное взаимодействие
Релятивистская поправка, которая ведет к расщеплению энергетических уровней -- это спин -- орбитальное взаимодействие. Для учета такого взаимодействия следует записать выражение для соответствующего оператора (${\hat{U}}_{ls}$). Представление о спин-орбитальном взаимодействии как о взаимодействии магнитных диполей не является удовлетворительным. Магнитное спин -- орбитальное взаимодействие является релятивистским эффектом. Его суть заключена во взаимодействии собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, которое появляется в его собственной системе отсчета, которая определена орбитальным движением. Установить вид оператора спин -- орбитального взаимодействия позволяет последовательная релятивистская теория. Выражение для энергии спин -- орбитального взаимодействия представляют как:
где ${\overrightarrow{p}}_{ms}$ -- собственный магнитный момент электрона, $\overrightarrow{H}$ -- напряженность магнитного поля, которое создаёт электрон, двигаясь вокруг ядра. Спиновый и орбитальный моменты выразим в единицах постоянной Планка:
где $\overrightarrow{s}$ -- собственный магнитный момент электрона. Выражение для энергии спин -- электронного взаимодействия (в единицах постоянной Планка), запишем:
где $\overrightarrow{l}=\left[\overrightarrow{r},m\overrightarrow{v}\right].$ Или в операторах:
Формула для релятивисткой поправки в положении энергоуровней в спектре водорода (водородоподобного иона) называется формулой тонкой структуры (или формулой Дирака) и имеет вид:
$j=l\pm \frac{1}{2}$. Спин -- орбитальное взаимодействие ведет к расщеплению уровней по значению полного механического момента атома. Уровень с большей величиной $j=l+\frac{1}{2}$ расположен выше, чем уровень $j=l-\frac{1}{2}$.
Вырождение снимается частично. Состояния с различными величинами орбитального квантового числа $l$, но одинаковмими j являются вырожденными.
Задание: Изобразите на рисунке общий вид спектра атома водорода, учитывая его тонкую структуру.
Решение:
Все уровни энергии со значениями орбитального момента отличного от нуля расщепляются надвое, то есть становятся дублетами. На Рис.1 изображена тонкая структура спектра атома водорода.
Рисунок 1.
Задание: Какова величина дублетного расщепления ($\delta E$) для дублета $2p_{\frac{1}{2},\frac{3}{2}}$?
Решение:
Величину, которую требуется определить, можно вычислить, используя формулу Дирака, которую представим в виде:
\[\delta E=\triangle E_{nl}\left(j=l+\frac{1}{2}\right)-\triangle E_{nl}\left(j=l+\frac{1}{2}\right)=\frac{{\alpha }^2Z^4R_y}{n^3l\left(l+1\right)}\left(2.1\right).\]Проведем вычисления:
\[\delta E=\frac{13,6}{{2^3\left(137\right)}^2(1+1)}\approx 4,5{\cdot 10}^{-5}\left(эВ\right).\]Ответ: $\delta E=4,5{\cdot 10}^{-5}эВ.$
