Допустим, что в некоторой среде течет ток, выделим в этой среде гипотетическую замкнутую поверхность S (рис.1).
Рис. 1
Исходя из закона сохранения заряда, как эмпирического факта, определим, что заряд, выходящий из объема V, который ограничен поверхностью S в единицу времени (∂q∂t), будет равен:
Знак минус учитывает, что если положительный заряд внутри объема уменьшается, то плотность тока направлена из объема V. Напомним, что у замкнутых объёмов положительной нормалью считается внешняя нормаль. Получается, что вектор d→S направлен по внешней нормали.
Представим элементарный заряд в виде:
Из выражения (1) получим:
Под знаком интеграла в правой части стоит частная производная, так как плотность заряда может зависеть не только от времени, но и координат. В левой части (3) перейдем от поверхностного интеграла к объемному, получим:
В таком случае выражение (3) можно представить как:
Уравнение (5) должно выполняться для любого объема, следовательно:
Выражение (6) носит название - уравнение непрерывности (уравнение неразрывности). Оно входит в систему уравнений Максвелла в неявном виде. Уравнение непрерывности выражает закон сохранения заряда. Согласно уравнению (6) в точках, которые являются источниками вектора плотности тока (→j), происходит убывание заряда.
Уравнение неразрывности для стационарных токов
В том случае, если токи не зависят от времени, то уравнение (1) переходит в следующее выражение:
А уравнение (6) в равенство:
Уравнение (8) показывает, что если ток является постоянным, то →j не имеет источников. Это значит, что лини тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Можно сделать вывод о том, что линии постоянного тока всегда замкнуты. Под линиями токов в данном случае следует понимать лини вектора →j. (касательные к которым совпадают с направлением вектора плотности тока в точке касания). Что напрямую следует из (7).
Благодаря замкнутости постоянных токов их можно разложить на совокупность бесконечных замкнутых тонких нитей тока.
Задание: Из уравнения rot→H=4πc→j+1c∂→D∂t, которое принадлежит системе уравнений Максвелла (СГС), получите уравнения непрерывности токов и закон сохранения заряда.
Решение:
Используем уравнение
rot→H=4πc→j+1c∂→D∂t(1.1),где →H -- напряженность магнитного поля, c− скорость света в вакууме, →D -- вектор электрического смещения.
Проведем для него операцию дивергенции (div или ∇). Получим:
∇(rot →H)=0(1.2).мы знаем, что:
∇→D=4πρ(1.4).Подставим (1.4) в (1.3) получим:
1с(4π∇→j+∂∂t4πρ)=0(1.5).от сюда следует:
∇→j+∂∂t4πρ=0(1.6).или в интегральной форме:
∮SjdS+∂∂t∫VρdV=0(1.7).Соответственно для замкнутых изолированных областей получим:
∮SjdS=0 (1.8)Это уравнение непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда -- один из фундаментальных принципов, который подтверждается экспериментом.
Задание: Объясните, как ведет себя нормальная составляющая вектора плотности тока при переходе через границу двух проводящих сред, для стационарных токов. Что можно сказать относительно нормальной составляющей плотности тока для проводника, который находится в непроводящей среде?
Решение:
На поверхности соприкосновения двух проводников может испытывать разрыв непрерывности. Но, его нормальная составляющая (jn) должна быть одинаковой по обе стороны границы сред. В противном случае количество электричества, которое притекает к одной стороне не равно, количеству электричества, которое вытекает с другой стороны. Значит:
j1n=j2n (2.1),где j1n−нормальная составляющая плотность тока в среде (1), j2n−нормальная составляющая плотность тока в среде (2).
В непроводящей среде →j=0. Следовательно, нормальная составляющая к поверхности проводника плотности тока также должна быть равна нулю:
jn=0 (2.2).Ответ: j1n=j2n.jn=0 .
