Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Уравнение непрерывности

Допустим, что в некоторой среде течет ток, выделим в этой среде гипотетическую замкнутую поверхность S (рис.1).

Уравнение непрерывности

Рис. 1

Исходя из закона сохранения заряда, как эмпирического факта, определим, что заряд, выходящий из объема V, который ограничен поверхностью S в единицу времени (qt), будет равен:

Знак минус учитывает, что если положительный заряд внутри объема уменьшается, то плотность тока направлена из объема V. Напомним, что у замкнутых объёмов положительной нормалью считается внешняя нормаль. Получается, что вектор dS направлен по внешней нормали.

Представим элементарный заряд в виде:

Из выражения (1) получим:

Под знаком интеграла в правой части стоит частная производная, так как плотность заряда может зависеть не только от времени, но и координат. В левой части (3) перейдем от поверхностного интеграла к объемному, получим:

В таком случае выражение (3) можно представить как:

Уравнение (5) должно выполняться для любого объема, следовательно:

Выражение (6) носит название - уравнение непрерывности (уравнение неразрывности). Оно входит в систему уравнений Максвелла в неявном виде. Уравнение непрерывности выражает закон сохранения заряда. Согласно уравнению (6) в точках, которые являются источниками вектора плотности тока (j), происходит убывание заряда.

Уравнение неразрывности для стационарных токов

В том случае, если токи не зависят от времени, то уравнение (1) переходит в следующее выражение:

А уравнение (6) в равенство:

Уравнение (8) показывает, что если ток является постоянным, то j не имеет источников. Это значит, что лини тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Можно сделать вывод о том, что линии постоянного тока всегда замкнуты. Под линиями токов в данном случае следует понимать лини вектора j. (касательные к которым совпадают с направлением вектора плотности тока в точке касания). Что напрямую следует из (7).

«Уравнение непрерывности» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Благодаря замкнутости постоянных токов их можно разложить на совокупность бесконечных замкнутых тонких нитей тока.

Пример 1

Задание: Из уравнения rotH=4πcj+1cDt, которое принадлежит системе уравнений Максвелла (СГС), получите уравнения непрерывности токов и закон сохранения заряда.

Решение:

Используем уравнение

rotH=4πcj+1cDt(1.1),

где H -- напряженность магнитного поля, c скорость света в вакууме, D -- вектор электрического смещения.

Проведем для него операцию дивергенции (div или ). Получим:

(rot H)=0(1.2).
 (4πcj+1cDt)=1с(4πj+tD)(1.3).

мы знаем, что:

D=4πρ(1.4).

Подставим (1.4) в (1.3) получим:

1с(4πj+t4πρ)=0(1.5).

от сюда следует:

j+t4πρ=0(1.6).

или в интегральной форме:

SjdS+tVρdV=0(1.7).

Соответственно для замкнутых изолированных областей получим:

SjdS=0 (1.8)
VρdV=const (1.9)

Это уравнение непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда -- один из фундаментальных принципов, который подтверждается экспериментом.

Пример 2

Задание: Объясните, как ведет себя нормальная составляющая вектора плотности тока при переходе через границу двух проводящих сред, для стационарных токов. Что можно сказать относительно нормальной составляющей плотности тока для проводника, который находится в непроводящей среде?

Решение:

На поверхности соприкосновения двух проводников может испытывать разрыв непрерывности. Но, его нормальная составляющая (jn) должна быть одинаковой по обе стороны границы сред. В противном случае количество электричества, которое притекает к одной стороне не равно, количеству электричества, которое вытекает с другой стороны. Значит:

j1n=j2n (2.1),

где j1nнормальная составляющая плотность тока в среде (1), j2nнормальная составляющая плотность тока в среде (2).

В непроводящей среде j=0. Следовательно, нормальная составляющая к поверхности проводника плотности тока также должна быть равна нулю:

jn=0 (2.2).

Ответ: j1n=j2n.jn=0 .

Дата последнего обновления статьи: 22.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Уравнение непрерывности"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant