Работа, совершаемая при прохождении тока
Допустим, что между токами с напряжением U переносится заряд величины dq, в таком случае работа, которая совершается равна:
Если по проводнику течет ток I, рассмотрим его участок, между концами которого напряжение U. За время dt на участке проводника перемещается заряд величины:
В таком случае для работы можно записать:
Мощность тока. Удельная мощность
Если мы работу определили формулой (3), то мощность, которую развивает ток на том же участке, будет равна:
где (φ1−φ2)- разность потенциалов между точками проводника, E12- ЭДС источника на данном участке.
Данная мощность может идти на совершение участком цепи работы над внешними телами при перемещении участка в пространстве. Или на химические реакции и нагревание выделенного участка.
Удельная мощность -- мощность в единице объема проводника.
Это отношение:
Pud=△P△V(5),где △P изменения мощности в объеме проводника △V.
На неоднородном участке цепи на носители тока действуют электростатические силы: →Fq=q→E и сторонние силы: →Fst=q→Est. Эти силы при движении носителя тока развивают мощность, которая равна:
P′=q(→E+→Est)(→v+→u)(6),где →v -- скорость теплового движения молекул, →u -- скорость упорядоченного движения носителей тока при наличии поля, (→v+→u)- скорость носителей тока в поле, q -- заряд носителя тока (электрона).
Проведем усреднение уравнения (6) по носителям тока, которые находятся в объеме △V. В пределах выделенного объема будем считать →E,→Est постоянными, получим:
⟨P′⟩=q(→E+→Est)⟨→v+→u⟩=q(→E+→Est)⟨→v⟩+q(→E+→Est)⟨→u⟩=q(→E+→Est)⟨→u⟩(7),где ⟨→v⟩=0. При этом изменение мощности △P в △V объеме можно найти как произведение:
△P=⟨P′⟩n△V (8),где n∆V -- число носителей тока в заданном объеме. Следовательно, получим:
△P=q(→E+→Est)⟨→u⟩n∆V=→j(→E+→Est)△V (9),где →j=q⟨→u⟩n -- вектор плотности тока.
Получено, что удельная мощность проводника с током равна:
Pud=→j(→E+→Est)(10).Выражение (10) является дифференциальной формой уравнения (4).
Задание: Цепь состоит из источника тока и внешнего сопротивления (рис.1). В первом случае подключено сопротивление R1, во втором сопротивление R2. Мощность, выделяющаяся во внешней цепи в обоих случаях равна P. Найдите внутренне сопротивление источника тока.
Рис. 1
Решение:
За основу решения задачи примем определение мощности для цепи с током:
P=IU=I2R (1.1),где по закону Ома для замкнутой цепи можно записать, что:
I=ER+r(1.2),где E - ЭДС источника тока, r -- внутреннее сопротивление источника тока.
Согласно условиям задачи мощность тока для цепи с первым сопротивлением и вторым сопротивлением равны, поэтому используем для двух сопротивлений уравнения (1.1) и (1.2), запишем:
P=I12R1=I22R2→E2(R1+r)2R1=E2(R2+r)2R2(1.3).Из (1.3) выразим внутреннее сопротивление r, получим:
R1(R2+r)2=R2(R1+r)2→r=√R1R2(1.4).Ответ: r=√R1R2.
Задание: Три одинаковых сопротивления подключены к источнику постоянного тока (рис.2) внутреннее сопротивление которого равно r. Каким должно быть сопротивление R, для того чтобы мощность, выделяемая на участке AB была максимальной?
Рис. 2
Решение:
Преобразуем электрическую схему, изображенную на рис.2, получим эквивалентную схему (рис.3):
Рис. 3
Результирующее сопротивление (RAB) между точками A и B можно найти как:
1RAB=1R+1R+1R→RAB=R3(2.1).В таком случае мощность может быть найдена по формуле:
P=IU=I2RAB (2.2),где по закону Ома для замкнутой цепи можно записать, что:
I=ERAB+r(2.3),где E - ЭДС источника тока, r -- внутреннее сопротивление источника тока.
Функция достигает своего экстремума в точке, где ее производная равна нулю. Поэтому найдем производную dPdR и приравняем ее к нулю:
dPdR=[(ERAB+r)2RAB]′=[E2RAB(RAB+r)−2]′=?2(RAB+r)2+E2RAB(−2)(RAB+r)3=E2(RAB+r)−2E2RAB(RAB+r)3=0(2.4),где (RAB+r)3≠0. Следовательно, приравняем числитель к нулю, выразим внешнее сопротивление, получим:
E2(RAB+r)−2E2RAB=0→E2r−E2RAB=0→RAB=r (2.5).Используем (2.1), подставим в (2.5), получим:
R3=r→R=3r.Ответ: Мощность максимальна при R=3r.
