Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Дифференциальная форма закона Ома

Закон Ома в виде:

формулу для электросопротивления (R):

где ρ -- удельное сопротивление материала можно использовать для нахождения тока (I) в проводниках в тех случаях, если трубки тока являются цилиндрами с постоянным сечением (S). Довольно часто силу тока необходимо вычислить в проводящих средах с другими формами трубок тока. Например, в сферическом конденсаторе, пространство между обкладками в котором заполнено проводящим материалом. В подобном случае формула расчета сопротивления (2) не применима, в связи с тем, что расстояние l различно для разных точек поверхности обкладок, площадь у каждой обкладки разная. Следовательно, закон Ома необходимо представить в другой форме.

Переход от интегральной формы закона Ома к дифференциальной

Найдем связь между вектором плотности тока (j) и вектором напряженности электрического поля (E) в одной и той же точке проводящей среды. Если вещество изотропно, то j↑↑E. Выделим в окрестности рассматриваемой точки гипотетический цилиндр, образующие которого параллельны векторам напряженности поля и плотности тока (рис.1).

Дифференциальная форма закона Ома

Рис. 1

Через поперечное сечение цилиндра (dS) (рис.1) течет ток, сила которого запишется как:

Напряжение, приложенное к цилиндру можно выразить как:

где E -- напряжённость поля в рассматриваемой точке. Сопротивление цилиндра получит выражение:

Подставим формулы (3),(4),(5) в выражение (1), получим:

Проведем сокращения, получим:

Заменим удельное сопротивление (ρ), на удельную проводимость (σ). Используем то, что векторы напряженности и плотности тока имеют одинаковые направления окончательно запишем:

Уравнение (8) называется законом Ома в дифференциальной форме. В отличие от закона Ома в интегральной форме (1) уравнение (8) содержит величины, которые характеризуют электрическое состояние среды в точке.

«Дифференциальная форма закона Ома» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Напряженность поля, которая входит в уравнение (8) -- это поле внутри проводящей среды при наличии тока. Однако, если среда однородна, то в большинстве случаев это поле совпадает с электростатическим полем, то есть полем, которое было бы между электродами с таким же напряжением на них что и при наличии тока. Следовательно, в однородном проводнике линии напряженности электростатического поля совпадают с линиями тока.

Дифференциальный закон Ома для анизотропных сред

В анизотропных средах для большинства электрических полей линейная связь между вектором плотности тока и вектором напряженности сохраняется. Однако удельная электрическая проводимость из скаляра переходит в тензор. В таком случае дифференциальный закон Ома выглядит следующим образом:

где индексы ik пробегают значения x,y,z. Таким образом, тензор удельной проводимости имеет девять компонент из них шесть независимых. Тензор удельной проводимости симметричен:

При выборе осей координат, совпадающих с главными осями тензора, не равны нулю только 3 диагональные компоненты: σxxσ1, σyyσ2, σzzσ3  - главные значения удельной электрической проводимости.

Пример 1

Задание: Найдите ток утечки через плоский конденсатор, если него подали напряжение U. Пространство между обкладками конденсатора заполнено веществом с удельным сопротивлением ρ и диэлектрической проницаемостью ε. Емкость конденсатора равна C.

Решение:

За основу решения задачи возьмем закон Ома в дифференциальной форме:

j=1ρE (1.1).

Силу тока, если бы мы знали плотность тока можно найти для данного случая, используя формулу:

I=SjdS (1.2).

Напряженность поля между обкладками плоского конденсатора может быть найдена в соответствии с формулой:

E=Ud(1.3).

Подставим закон Ома (1.1) в уравнение (1.2) и используем выражение (1.3):

I=S1ρUd dS=1ρUd S (1.4).

Емкость конденсатора связана с его геометрическими параметрами и веществом, которое заполняет пространство между обкладками:

C=εε0SdSd=Cεε0(1.5).

Используем полученное отношение Sd подставим в (1.4), получим:

I=1ρUd Cεε0.

Ответ: Ток утечки равен I=1ρUd Cεε0.

Пример 2

Задание: Сравните напряженности электрического поля для сечений S1 и S2 (рис.2). Если по проводнику течет постоянный ток (I=const).

Дифференциальная форма закона Ома

Рис. 2

Решение:

Для решения используем закон Ома в дифференциальной форме:

j=σE (2.1).

Будем считать, что проводник изотропный, запишем (2.1) в скалярном виде:

j=σE (2.2).

При этом плотность силы тока можно записать как:

j=IS(2.3).

Подставим (2.3) в (2.2), получим:

IS=уE(2.4).

Следовательно,

E=IσS(2.5).

Мы получили, что при I=const, σ=const. Напряженность поля зависит только от площади поперечного сечения проводника, причем E1S.

Ответ: Так как E1S, то $E_2\left(S_2\right)

Дата последнего обновления статьи: 22.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Дифференциальная форма закона Ома"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant