Закон Ома в виде:
формулу для электросопротивления (R):
где ρ -- удельное сопротивление материала можно использовать для нахождения тока (I) в проводниках в тех случаях, если трубки тока являются цилиндрами с постоянным сечением (S). Довольно часто силу тока необходимо вычислить в проводящих средах с другими формами трубок тока. Например, в сферическом конденсаторе, пространство между обкладками в котором заполнено проводящим материалом. В подобном случае формула расчета сопротивления (2) не применима, в связи с тем, что расстояние l различно для разных точек поверхности обкладок, площадь у каждой обкладки разная. Следовательно, закон Ома необходимо представить в другой форме.
Переход от интегральной формы закона Ома к дифференциальной
Найдем связь между вектором плотности тока (→j) и вектором напряженности электрического поля (→E) в одной и той же точке проводящей среды. Если вещество изотропно, то →j↑↑→E. Выделим в окрестности рассматриваемой точки гипотетический цилиндр, образующие которого параллельны векторам напряженности поля и плотности тока (рис.1).
Рис. 1
Через поперечное сечение цилиндра (dS) (рис.1) течет ток, сила которого запишется как:
Напряжение, приложенное к цилиндру можно выразить как:
где E -- напряжённость поля в рассматриваемой точке. Сопротивление цилиндра получит выражение:
Подставим формулы (3),(4),(5) в выражение (1), получим:
Проведем сокращения, получим:
Заменим удельное сопротивление (ρ), на удельную проводимость (σ). Используем то, что векторы напряженности и плотности тока имеют одинаковые направления окончательно запишем:
Уравнение (8) называется законом Ома в дифференциальной форме. В отличие от закона Ома в интегральной форме (1) уравнение (8) содержит величины, которые характеризуют электрическое состояние среды в точке.
Напряженность поля, которая входит в уравнение (8) -- это поле внутри проводящей среды при наличии тока. Однако, если среда однородна, то в большинстве случаев это поле совпадает с электростатическим полем, то есть полем, которое было бы между электродами с таким же напряжением на них что и при наличии тока. Следовательно, в однородном проводнике линии напряженности электростатического поля совпадают с линиями тока.
Дифференциальный закон Ома для анизотропных сред
В анизотропных средах для большинства электрических полей линейная связь между вектором плотности тока и вектором напряженности сохраняется. Однако удельная электрическая проводимость из скаляра переходит в тензор. В таком случае дифференциальный закон Ома выглядит следующим образом:
где индексы ik пробегают значения x,y,z. Таким образом, тензор удельной проводимости имеет девять компонент из них шесть независимых. Тензор удельной проводимости симметричен:
При выборе осей координат, совпадающих с главными осями тензора, не равны нулю только 3 диагональные компоненты: σxx≡σ1, σyy≡σ2, σzz≡σ3 - главные значения удельной электрической проводимости.
Задание: Найдите ток утечки через плоский конденсатор, если него подали напряжение U. Пространство между обкладками конденсатора заполнено веществом с удельным сопротивлением ρ и диэлектрической проницаемостью ε. Емкость конденсатора равна C.
Решение:
За основу решения задачи возьмем закон Ома в дифференциальной форме:
j=1ρE (1.1).Силу тока, если бы мы знали плотность тока можно найти для данного случая, используя формулу:
I=∫SjdS (1.2).Напряженность поля между обкладками плоского конденсатора может быть найдена в соответствии с формулой:
E=Ud(1.3).Подставим закон Ома (1.1) в уравнение (1.2) и используем выражение (1.3):
I=∫S1ρUd dS=1ρUd S (1.4).Емкость конденсатора связана с его геометрическими параметрами и веществом, которое заполняет пространство между обкладками:
C=εε0Sd→Sd=Cεε0(1.5).Используем полученное отношение Sd подставим в (1.4), получим:
I=1ρUd Cεε0.Ответ: Ток утечки равен I=1ρUd Cεε0.
Задание: Сравните напряженности электрического поля для сечений S1 и S2 (рис.2). Если по проводнику течет постоянный ток (I=const).
Рис. 2
Решение:
Для решения используем закон Ома в дифференциальной форме:
→j=σ→E (2.1).Будем считать, что проводник изотропный, запишем (2.1) в скалярном виде:
j=σE (2.2).При этом плотность силы тока можно записать как:
j=IS(2.3).Подставим (2.3) в (2.2), получим:
IS=уE(2.4).Следовательно,
E=IσS(2.5).Мы получили, что при I=const, σ=const. Напряженность поля зависит только от площади поперечного сечения проводника, причем E∼1S.
Ответ: Так как E∼1S, то $E_2\left(S_2\right)