Сила взаимодействия параллельных токов. Закон Ампера
Если взять два проводника с электрическими токами, то они будут притягиваться друг к другу, если токи в них направлены одинаково и отталкиваться, если токи текут в противоположных направлениях. Сила взаимодействия, которая приходится на единицу длины проводника, если они параллельны, может быть выражена как:
где I1,I2 -- токи, которые текут в проводниках, b- расстояние между проводниками, в системе СИ μ0=4π⋅10−7Гнм (Генри на метр) магнитная постоянная.
Закон взаимодействия токов был установлен в 1820 г. Ампером. На основании закона Ампера устанавливают единицы силы тока в системах СИ и СГСМ. Так как ампер равен силе постоянного тока, который при течении по двум параллельным бесконечно длинным прямолинейным проводникам бесконечно малого кругового сечения, находящихся на расстоянии 1м друг от друга в вакууме вызывает силу взаимодействия этих проводников равную 2⋅10−7Н на каждый метр длины.
Закон Ампера для проводника произвольной формы
Если проводник с током находится в магнитном поле, то на каждый носитель тока действует сила равная:
где →v -- скорость теплового движения зарядов, →u -- скорость упорядоченного их движения. От заряда, это действие передается проводнику, по которому заряд перемещается. Значит, на проводник с током, который находится в магнитном, поле действует сила.
Выберем элемент проводника с током длины dl. Найдем силу (→dF) с которой действует магнитное поле на выделенный элемент. Усредним выражение (2) по носителям тока, которые находятся в элементе:
где →B -- вектор магнитной индукции в точке размещения элемента dl. Если n -- концентрация носителей тока в единице объема, S -- площадь поперечного сечения провода в данном месте, тогда N -- число движущихся зарядов в элементе dl, равное:
Умножим (3) на количество носителей тока, получим:
Зная, что:
где →j- вектор плотности тока, а Sdl=dV, можно записать:
Из (7) следует, что сила, действующая на единицу объема проводника равна, плотность силы (f):
Формулу (7) можно записать в виде:
где →jSd→l=Id→l.
Формула (9) закон Ампера для проводника произвольной формы. Модуль силы Ампера из (9) очевидно равен:
где α -- угол между векторами →dl и →B. Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы →dl и →B. Силу, которая действует на провод конечной длины можно найти из (10) путем интегрирования по длине проводника:
Силы, которые действуют на проводники с токами, называют силами Ампера.
Направление силы Ампера определяется правилом левой руки (Левую руку надо расположить так, чтобы линии поля входили в ладонь, четыре пальца были направлены по току, тогда отогнутый на 900 большой палец укажет направление силы Ампера).
Задание: Прямой проводник массой m длиной l подвешен горизонтально на двух легких нитях в однородном магнитном поле, вектор индукции этого поля имеет горизонтальное направление перпендикулярное проводнику (рис.1). Найдите силу тока и его направление, который разорвет одну из нитей подвеса. Индукция поля B. Каждая нить разорвется при нагрузке N.
Рис. 1
Решение:
Для решения задачи изобразим силы, которые действуют на проводник (рис.2). Будем считать проводник однородным, тогда можно считать, что точка приложения всех сил - середина проводника. Для того, чтобы сила Ампера была направлена вниз, ток должен течь в направлении из точки А в точку В (рис.2) (На рис.1 магнитное поле изображено, направленным на нас, перпендикулярно плоскости рисунка).
Рис. 2
В таком случае уравнение равновесия сил, приложенных к проводнику с током запишем как:
→mg+→FA+2→N=0 (1.1),где →mg -- сила тяжести, →FA -- сила Ампера, →N -- реакция нити (их две).
Спроектируем (1.1) на ось X, получим:
mg+FA−2N=0 (1.2).Модуль силы Ампера для прямого конечного проводника с током равен:
FA=IBlsinα=IBl (1.3),где α=0 -- угол между векторами магнитной индукции и направлением течения тока.
Подставим (1.3) в (1.2) выразим силу тока, получим:
mg+IBl−2N=0→I=2N−mgBl.Ответ: I=2N−mgBl. Из точки А и точку В.
Задание: По проводнику в виде половины кольца радиуса R течет постоянный ток силы I. Проводник находится в однородном магнитном поле, индукция которого равна B, поле перпендикулярно плоскости, в которой лежит проводник. Найдите силу Ампера. Провода, которые подводят ток вне поля.
Решение:
Пусть проводник находится в плоскости рисунка (рис.3), тогда линии поля перпендикулярны плоскости рисунка (от нас). Выделим на полукольце бесконечно малый элемент тока dl.
Рис. 3
На элемент тока действует сила Ампера равная:
d→F=I[→dl→B] (2.1).Направление силы определяется по правилу левой руки. Выберем координатные оси (рис.3). Тогда элемент силы можно записать через его проекции (dFx,dFy) как:
d→F=→idFx+→jdFy(2.2),где →i и →j -- единичные орты. Тогда силу, которая действует на проводник, найдем как интеграл по длине провода L:
→F=∫Ld→F=→i∫LdFx+→j∫LdFy(2.3).Из-за симметрии интеграл ∫LdFx=0. Тогда
→F=→j∫LdFy(2.4).Рассмотрев рис.3 запишем, что:
dFy=dFcosα(2.5),где по закону Ампера для элемента тока запишем, что
dF=IBdlsin(→dl→B)=IBdl(2.6).По условию →dl⊥→B. Выразим длину дуги dl через радиус R угол α, получим:
dF=IBRdα(2.7).Тогда
dFy=IBRdαcosα (2.8).Проведем интегрирование (2.4) при −π2≤α≤π2 подставив (2.8), получим:
→F=→jπ2∫−π2IBRcosαdα=→jIBRπ2∫−π2cosαdα=2IBR→j.Ответ: →F=2IBR→j.
