Магнитный диполь
Магнитным диполем является небольшая петля с током. Под словом «небольшая» понимают то, что размеры витка с током много меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли. Любая петля с током создает магнитное поле, которое можно уподобить электрическому полю от электрического диполя. Магнитный диполь характеризуется магнитным моментом ($\overrightarrow{p_m}$), как электрический диполь имеет электрический момент диполя ($\overrightarrow{p_e}=q\overrightarrow{l\ },$).
Произведение:
\[I\overrightarrow{S}=\overrightarrow{p_m}(1)\]называется магнитным моментом магнитного диполя.
Из формулы (1) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Векторный потенциал магнитного диполя примет вид:
\[\overrightarrow{A}\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{p_m}\times \overrightarrow{r}}{r^3}\left(2\right).\]Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:
\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left\{\frac{3\left(\overrightarrow{p_m}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_m}}{r^3}\right\}\left(3\right).\]На больших расстояниях от диполя в любом направлении поле убывает пропорционально $r^3$, и растет пропорционально площади витка.
Слово диполь в применении к токам слегка запутывает, так как нет отдельных магнитных полюсов, которые бы соответствовали электрическим зарядам. Магнитное «дипольное» поле создается не двумя зарядами, а элементарной петлей с током.
Взаимодействие магнитных диполей
Из представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков (номе 1) тока создает магнитное поле, которое описывается формулой (3), другой виток с током (номер 2) в этом поле находится и взаимодействует с ним. Поле, которое создает магнитный диполь однородным не является ($\overrightarrow{B}\ne const$). Соответственно сила, с которой магнитное поле действует на виток с током отлична то нуля. Сила $\overrightarrow{dF}$, действующая на элемент контура (2), перпендикулярна к вектору индукции ($\overrightarrow{B}$) поля, которое создает диполь (1), то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка ($\overrightarrow{dl}$). Поэтому силы, которые приложены к различным элементам контура (магнитного диполя 2) имеют вид симметричного конического веера. Их результирующая, направлена в сторону возрастания магнитной индукции поля, следовательно, втягивает диполь в сторону более сильного поля.
Если ориентация магнитного момента диполя (2) остается неизменной по отношению к полю диполя (1), то легко найти количественное выражение для силы взаимодействия диполей. При этом потенциальная энергия механического взаимодействия диполей ($W_{p\ m}$) зависит только от x (через B). Следовательно:
\[F_x=-\frac{\partial W_{p\ m}}{\partial x}=p_{m2}\frac{\partial B_1}{\partial x}cos\alpha \ \left(4\right),\]где $B_1$ -- индукция поля, которое создает магнитный диполь (1), $p_{m2}$ -- магнитный момент диполя (2), $\alpha $ -- угол между вектором поля и вектором магнитного момента. В некоторых случаях считают, что в других направлениях поле изменяется слабо и тогда:
\[F=F_x=p_{m2}\frac{\partial B_1}{\partial x}cos\alpha \ \left(5\right).\]Согласно (5) сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, зависит от их взаимной ориентации магнитных моментов. Если вектор $\overrightarrow{p_{m2}}\uparrow \uparrow \overrightarrow{B_1}$ ($\alpha =0$), то сила взаимодействия диполей положительна, то есть, направлена в сторону возрастания $\overrightarrow{B_1}$ (считается, что $\frac{\partial B_1}{\partial x}>0$). Кроме силы F.
На контур с током будет действовать вращательный момент ($\overrightarrow{M}$), равный:
\[\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{p_{m2}}\ \overrightarrow{B_1}\right]\ \left(6\right).\]Модуль вектора М равен:
\[M=p_{m2}Bsin\alpha \ \left(7\right).\]Энергия диполь-дипольного взаимодействия
Пусть два диполя имеют магнитные моменты $\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{p_{mj}}$, они располагаются в точках, которые определены радиус -- векторами: $\overrightarrow{r_{i\ ,}}\overrightarrow{r_j}$. Тогда энергия взаимодействия этих двух диполей может быть записана как:
\[W_{ij}=-\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{B_j}\left(\overrightarrow{p_{mj,}}\overrightarrow{r_j}\right)=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\left\{\frac{3\left(\overrightarrow{p_{mj}}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_{mj}}}{r^3}\right\}\left(8\right).\]Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.
Задание: Проведите сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.
Решение:
Напряженности поля электрического диполя, имеет вид:
\[\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\left(\frac{3\left({\overrightarrow{p}}_e\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_e}}{r^3}\right)\left(1.1\right),\]где $\overrightarrow{p_e}=q\overrightarrow{l\ }$-- электрический момент диполя.
Согласно формуле (1.1) напряженность поля диполя убывает, пропорционально третьей степени расстояния от диполя, до точки в которой рассматривается поле.
Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:
\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left\{\frac{3\left(\overrightarrow{p_m}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_m}}{r^3}\right\}\left(1.2\right),\]$\overrightarrow{p_m}=I\overrightarrow{S}-$магнитный момент магнитного диполя.
Исходя из вида формул (1.1) и (1.2) магнитное и электрические поля диполей ведут себя аналогично. Именно поэтому элементарный ток называют магнитным диполем. Похожесть этих полей объясняют тем, что дипольные поля возникают тогда, когда наблюдатель находится далеко от токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного поля очень похожи по форме. У них дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни решения. Однако, источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов физически, существенно различны. В магнитном поле -- это ток, в электрическом поле заряды.
Задание: Покажите, что энергия диполь - дипольного взаимодействия зависит от взаимной ориентации диполей.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем формулу для энергии магнитного взаимодействия диполей:
\[W_{ij}=-\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{B_j}\left(\overrightarrow{p_{mj,}}\overrightarrow{r_j}\right)=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\left\{\frac{3\left(\overrightarrow{p_{mj}}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_{mj}}}{r^3}\right\}\left(2.1\right),\]где $\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{p_{mj}}-$ магнитные моменты диполей, $\overrightarrow{r_{i\ ,}}\overrightarrow{r_j}$-радиус векторы, определяющие положения диполей.
Преобразуем выражение (2.1), получим:
\[W_{ij}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left(\frac{p_{mj}p_{mi}{r_{ij}}^2-3\left(r_{ij}p_{mj}\right)\left(r_{ij}p_{mi}\right)}{{r_{ij}}^5}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }p_{mj}p_{mi}\frac{cos\vartheta_{ij}-3cos\vartheta_jcos\vartheta_i}{{r_{ij}}^3}\ \left(2.2\right),\]где $r_{ij}=r_i-r_j$, $\vartheta_{ij}$ -- угол между векторами $\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{p_{mj}}$.
Так из (2.2) ясно видно, что энергия $W_{ij}$ -- зависит от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами $p_{mj}{=p}_{mi}=p$, при их горизонтальной параллельной ориентации энергия взаимодействия диполей минимальна и равна:
\[W_{ij}=-\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{{2p}^2}{r^3}\left(2.3\right).\]Так требуемое доказано.
