Магнитный диполь
Магнитным диполем является небольшая петля с током. Под словом «небольшая» понимают то, что размеры витка с током много меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли. Любая петля с током создает магнитное поле, которое можно уподобить электрическому полю от электрического диполя. Магнитный диполь характеризуется магнитным моментом (→pm), как электрический диполь имеет электрический момент диполя (→pe=q→l ,).
Произведение:
I→S=→pm(1)называется магнитным моментом магнитного диполя.
Из формулы (1) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Векторный потенциал магнитного диполя примет вид:
→A(→r)=μ04π→pm×→rr3(2).Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:
→B=μ04π{3(→pm⋅→r)→rr5−→pmr3}(3).На больших расстояниях от диполя в любом направлении поле убывает пропорционально r3, и растет пропорционально площади витка.
Слово диполь в применении к токам слегка запутывает, так как нет отдельных магнитных полюсов, которые бы соответствовали электрическим зарядам. Магнитное «дипольное» поле создается не двумя зарядами, а элементарной петлей с током.
Взаимодействие магнитных диполей
Из представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков (номе 1) тока создает магнитное поле, которое описывается формулой (3), другой виток с током (номер 2) в этом поле находится и взаимодействует с ним. Поле, которое создает магнитный диполь однородным не является (→B≠const). Соответственно сила, с которой магнитное поле действует на виток с током отлична то нуля. Сила →dF, действующая на элемент контура (2), перпендикулярна к вектору индукции (→B) поля, которое создает диполь (1), то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка (→dl). Поэтому силы, которые приложены к различным элементам контура (магнитного диполя 2) имеют вид симметричного конического веера. Их результирующая, направлена в сторону возрастания магнитной индукции поля, следовательно, втягивает диполь в сторону более сильного поля.
Если ориентация магнитного момента диполя (2) остается неизменной по отношению к полю диполя (1), то легко найти количественное выражение для силы взаимодействия диполей. При этом потенциальная энергия механического взаимодействия диполей (Wp m) зависит только от x (через B). Следовательно:
Fx=−∂Wp m∂x=pm2∂B1∂xcosα (4),где B1 -- индукция поля, которое создает магнитный диполь (1), pm2 -- магнитный момент диполя (2), α -- угол между вектором поля и вектором магнитного момента. В некоторых случаях считают, что в других направлениях поле изменяется слабо и тогда:
F=Fx=pm2∂B1∂xcosα (5).Согласно (5) сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, зависит от их взаимной ориентации магнитных моментов. Если вектор →pm2↑↑→B1 (α=0), то сила взаимодействия диполей положительна, то есть, направлена в сторону возрастания →B1 (считается, что ∂B1∂x>0). Кроме силы F.
На контур с током будет действовать вращательный момент (→M), равный:
→M=[→pm2 →B1] (6).Модуль вектора М равен:
M=pm2Bsinα (7).Энергия диполь-дипольного взаимодействия
Пусть два диполя имеют магнитные моменты →pmi ,→pmj, они располагаются в точках, которые определены радиус -- векторами: →ri ,→rj. Тогда энергия взаимодействия этих двух диполей может быть записана как:
Wij=−→pmi ,→Bj(→pmj,→rj)=−μ04π→pmi ,{3(→pmj⋅→r)→rr5−→pmjr3}(8).Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.
Задание: Проведите сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.
Решение:
Напряженности поля электрического диполя, имеет вид:
→E=14πε0ε(3(→pe⋅→r)→rr5−→per3)(1.1),где →pe=q→l -- электрический момент диполя.
Согласно формуле (1.1) напряженность поля диполя убывает, пропорционально третьей степени расстояния от диполя, до точки в которой рассматривается поле.
Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:
→B=μ04π{3(→pm⋅→r)→rr5−→pmr3}(1.2),→pm=I→S−магнитный момент магнитного диполя.
Исходя из вида формул (1.1) и (1.2) магнитное и электрические поля диполей ведут себя аналогично. Именно поэтому элементарный ток называют магнитным диполем. Похожесть этих полей объясняют тем, что дипольные поля возникают тогда, когда наблюдатель находится далеко от токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного поля очень похожи по форме. У них дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни решения. Однако, источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов физически, существенно различны. В магнитном поле -- это ток, в электрическом поле заряды.
Задание: Покажите, что энергия диполь - дипольного взаимодействия зависит от взаимной ориентации диполей.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем формулу для энергии магнитного взаимодействия диполей:
Wij=−→pmi ,→Bj(→pmj,→rj)=−μ04π→pmi ,{3(→pmj⋅→r)→rr5−→pmjr3}(2.1),где →pmi ,→pmj− магнитные моменты диполей, →ri ,→rj-радиус векторы, определяющие положения диполей.
Преобразуем выражение (2.1), получим:
Wij=μ04π(pmjpmirij2−3(rijpmj)(rijpmi)rij5)=μ04πpmjpmicosϑij−3cosϑjcosϑirij3 (2.2),где rij=ri−rj, ϑij -- угол между векторами →pmi ,→pmj.
Так из (2.2) ясно видно, что энергия Wij -- зависит от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами pmj=pmi=p, при их горизонтальной параллельной ориентации энергия взаимодействия диполей минимальна и равна:
Wij=−μ04π2p2r3(2.3).Так требуемое доказано.
