Закон Стефана - Больцмана
Довольно долго теоретический вид функции f(ω,T)=c4wω(ω,T) получить не удавалось. Проводя анализ данных эксперимента, Стефан сделал вывод о том, что энергетическая светимость тела пропорциональна четвертой степени температуры (T). Стефан экспериментировал с нечерными телами. Больцман, используя термодинамические законы, получил теоретически формулу для энергетической светимости абсолютно черного тела:
где σ=5,67⋅10−8Втм2К4 -- постоянная Стефана -- Больцмана, T -- абсолютная температура. Выражение (1) называется законом Стефана -- Больцмана.
Закон Стефана - Больцмана легко получить из формулы Планка.
где k -- постоянная Больцмана, ℏ=1,05⋅10−34Дж⋅с. Вычислим энергетическую светимость:
Для вычисления интеграла в правой части выражения (3) сделаем замену переменных: ξ=ℏωkT, →ω=ξkTℏ→ω3=(ξkTℏ)3, dω=kTℏdξ (4). Значит имеем:
где ∞∫0ξ3dξexp(ξ) −1=π415, подставим в выражение (4), получим:
вычислим коэффициент, который находится перед T4:
Формула смещения Вина
В. Вин доказал, что равновесное излучение, которое заключено в оболочке с идеально отражающими стенками, остается равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки. Значение теоремы Вина методическое. Адиабатически и квазистатический изменяя объем равновесного излучения в оболочке, можно получить равновесное излучение любой плотности, значит и температуры. Энергию или температуру данного излучения находят, вычисляя работу, совершенную над исследуемым объемом в данном процессе. Спектральный состав излучение будет найден, если вычислить доплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Так устанавливается соотношение параметров равновесного излучения в любой стадии процесса. В 1893 г. В. Вин используя законы термодинамики и электромагнетизма показал, что функция спектрального распределения имеет вид:
где F -- некоторая функция отношения частоты к температуре. Если переписать выражение (6), используя функция для длины волны (φ(λ,T)), то получим:
где Ψ(λ,T) -- некоторая функция от произведения λT. Из выражения (7) можно вычислить длину волны, на которую приходится максимум функции φ(λ,T). Найдем производную dφdλ, имеем:
В максимуме выражение (8) равно нулю (dφdλ|λ=λmax=0). Выражение в квадратных скобках формулы (8) -- некоторая функция θ(λT), то есть:
Известно, что длина волны конечна, то есть λmax≠∞. Следовательно, выполняется условие:
Решение уравнения (10) по отношению к λmaxT дает некоторое число, которое чаще всего в данном случае обозначают буквой b:
Выражение (11) называют законом (формулой) смещения Вина в его специальной форме. Формула (11) показывает результат смещения максимума излучения при изменении температуры (T). Эмпирическим путем, получена постоянная b=2,9⋅10−3м⋅К.
Закон Вина можно записать в другой форме:
где ωm=2πсλmax.
Какова мощность, требуемая для поддержания температуры расплавленного вещества T=1500K постоянной, если площадь его поверхности равна S=1м2? Считать, что мы имеем дела с абсолютно черным телом. Потери энергии малы. Решение:
Мощность излучения можно рассчитать по формуле:
N=ReS (1.1).Используем закон Стефана -- Больцмана для нахождения энергетической светимости черного тела:
Re=σT4(1.2).В таком случае искомая величина может быть вычислена с использованием выражения:
N=σT4S.Проведем вычисления:
N=5,7⋅10−8⋅(1500)4⋅1=2,9⋅105(Вт).Ответ: N=2,9⋅105Вт.
Считая, что Солнце является черным телом, используя то, что его максимальная спектральная плотность энергетической светимости соответствует длине волны 500нм, определить какова температура поверхности данной звезды.
Решение:
Для решения задачи используем закон смещения Вина:
λmaxT=b(2.1).Выразим из него искомую температуру, получим:
T=bλmax(2.2).Переведем длину волны света, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости в систему СИ λmax=500 нм=5⋅10−7м. Проведем вычисления:
T=2,9⋅10−35⋅10−7=5,8⋅103(К).Ответ: T=5,8⋅103K.