Закон Стефана - Больцмана
Довольно долго теоретический вид функции $f\left(\omega ,T\right)=\frac{c}{4}w_{\omega }\left(\omega ,T\right)$ получить не удавалось. Проводя анализ данных эксперимента, Стефан сделал вывод о том, что энергетическая светимость тела пропорциональна четвертой степени температуры (T). Стефан экспериментировал с нечерными телами. Больцман, используя термодинамические законы, получил теоретически формулу для энергетической светимости абсолютно черного тела:
где $\sigma =5,67\cdot {10}^{-8}\frac{Вт}{м^2К^4}$ -- постоянная Стефана -- Больцмана, $T$ -- абсолютная температура. Выражение (1) называется законом Стефана -- Больцмана.
Закон Стефана - Больцмана легко получить из формулы Планка.
где $k$ -- постоянная Больцмана, $\hbar =1,05{\cdot 10}^{-34}Дж\cdot с$. Вычислим энергетическую светимость:
Для вычисления интеграла в правой части выражения (3) сделаем замену переменных: $\xi =\frac{\hbar \omega }{kT},\ \to \omega =\frac{\xi kT}{\hbar }\to {\omega }^3={\left(\frac{\xi kT}{\hbar }\right)}^3,\ d\omega =\frac{kT}{\hbar }d\xi \ \left(4\right).$ Значит имеем:
где $\int\limits^{\infty }_0{\frac{{\xi }^3d\xi }{{exp \left(\xi \right)\ }-1}=\frac{{\pi }^4}{15},}$ подставим в выражение (4), получим:
вычислим коэффициент, который находится перед $T^4$:
Формула смещения Вина
В. Вин доказал, что равновесное излучение, которое заключено в оболочке с идеально отражающими стенками, остается равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки. Значение теоремы Вина методическое. Адиабатически и квазистатический изменяя объем равновесного излучения в оболочке, можно получить равновесное излучение любой плотности, значит и температуры. Энергию или температуру данного излучения находят, вычисляя работу, совершенную над исследуемым объемом в данном процессе. Спектральный состав излучение будет найден, если вычислить доплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Так устанавливается соотношение параметров равновесного излучения в любой стадии процесса. В 1893 г. В. Вин используя законы термодинамики и электромагнетизма показал, что функция спектрального распределения имеет вид:
где $F$ -- некоторая функция отношения частоты к температуре. Если переписать выражение (6), используя функция для длины волны ($\varphi (\lambda ,T)$), то получим:
где $\Psi \left(\lambda ,T\right)$ -- некоторая функция от произведения $\lambda T.$ Из выражения (7) можно вычислить длину волны, на которую приходится максимум функции $\varphi \left(\lambda ,T\right)$. Найдем производную $\frac{d\varphi }{d\lambda }$, имеем:
В максимуме выражение (8) равно нулю (${\left.\frac{d\varphi }{d\lambda }\right|}_{\lambda ={\lambda }_{max}}=0$). Выражение в квадратных скобках формулы (8) -- некоторая функция $\theta (\lambda T)$, то есть:
Известно, что длина волны конечна, то есть ${\lambda }_{max}\ne \infty .$ Следовательно, выполняется условие:
Решение уравнения (10) по отношению к ${\lambda }_{max}T$ дает некоторое число, которое чаще всего в данном случае обозначают буквой b:
Выражение (11) называют законом (формулой) смещения Вина в его специальной форме. Формула (11) показывает результат смещения максимума излучения при изменении температуры (T). Эмпирическим путем, получена постоянная $b=2,9\cdot {10}^{-3}м\cdot К$.
Закон Вина можно записать в другой форме:
где ${\omega }_m=\frac{2\pi с}{{\lambda }_{max}}$.
Какова мощность, требуемая для поддержания температуры расплавленного вещества $T=1500K$ постоянной, если площадь его поверхности равна $S=1м^2?$ Считать, что мы имеем дела с абсолютно черным телом. Потери энергии малы. Решение:
Мощность излучения можно рассчитать по формуле:
\[N=R_eS\ \left(1.1\right).\]Используем закон Стефана -- Больцмана для нахождения энергетической светимости черного тела:
\[R_e=\sigma T^4\left(1.2\right).\]В таком случае искомая величина может быть вычислена с использованием выражения:
\[N=\sigma T^4S.\]Проведем вычисления:
\[N=5,7\cdot {10}^{-8}\cdot {\left(1500\right)}^4\cdot 1=2,9\cdot 10^5\left(Вт\right).\]Ответ: $N=2,9\cdot 10^5Вт.$
Считая, что Солнце является черным телом, используя то, что его максимальная спектральная плотность энергетической светимости соответствует длине волны $500$нм, определить какова температура поверхности данной звезды.
Решение:
Для решения задачи используем закон смещения Вина:
\[{\lambda }_{max}T=b\left(2.1\right).\]Выразим из него искомую температуру, получим:
\[T=\frac{b}{{\lambda }_{max}}\left(2.2\right).\]Переведем длину волны света, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости в систему СИ ${\lambda }_{max}=500\ нм=5\cdot {10}^{-7}м.$ Проведем вычисления:
\[T=\frac{2,9\cdot {10}^{-3}}{5\cdot {10}^{-7}}=5,8\cdot {10}^3\left(К\right).\]Ответ: $T=5,8\cdot {10}^3K.$
