Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

Приближение Френеля

Обычно дифракцию наблюдают в плоскости, которая параллельна преграде (экрану) с отверстиями. Назовем плоскость, в которой проводим наблюдение плоскостью дифракционной картины. Другая плоскость будет плоскостью источников. В обеих плоскостях введем прямоугольные системы координат, причем оси X и Y будут параллельны, а оси Z совпадут (рис.1). Единичный вектор нормали (n) направлен в ту сторону, из которой пришло излучение.



Рисунок 1.

Волну, которая движется к точке A0, будем описывать функцией eikr01r01. Координатами точки A0 при этом будут в плоскости картины дифракции (x,y). Координатами точки A1 в плоскости источников являются (x,y). Тогда элементом площади на поверхности источников станет:

Амплитуда источников пусть задана функцией Ψ(x,y)=Aeikr12r12. В таком случае можно записать:

где r=l2+(xx)2+(yy)2 (2), здесь l - расстояние между плоскостями. В подынтегральном выражении выражение в квадратных скобках является медленно изменяющейся функцией, если сравнивать ее с множителем eikr. Значит, данное выражение не оказывает существенного влияния на картину интерференции, только минимально влияет на среднюю величину яркости. Помимо этого углы в функциях косинусов меняются в пределах нуля. Следовательно, данные косинусы можно положить равными единице. В таком случае выражение (2) примет вид:

Упростить формулу (3) можно, если учитывать, что углы ^nr12 и ^nr01 малы, что можно сформулировать как неравенства:

Используя условие (4) выражение (2) можно разложить в ряд, ограничиваясь членами второго порядка имеем:

Используя выражение (5), преобразуем (3) к виду:

«Приближение Френеля и приближение Фраунгофера» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

где rl. Эту переменную можно вынести из под знака интеграла, так как она медленно изменяется и не влияет на видимость картины интерференции.

Выражение вида (5) называют приближением Френеля, оно приводит к (6). Приближение Френеля используется в большом количестве случаев на практике. Дифракция, которая рассматривается в данном приближении, носит название дифракции Френеля.

Приближение Фраунгофера

Представим выражение как:

подставим его в (6), имеем:

Распределение интенсивности определено в картине дифракции квадратом модуля Ф(x,y). Значит, можно считать, что экспоненты перед знаком интеграла не оказывают влияния на распределение интенсивности в картине дифракции, так как их модуль равен единице. Интегрирование в формуле (7) проводится по всей площади $S'\ (-\infty

Допустим, что отверстие мало, расстояние до плоскости дифракционной картины большое (l), в таком случае можно считать, что:

Дифракция, которая рассматривается при условии (8) называется фраунгоферовой. Критерием, определяющим возможность принять экспоненту в (8) равной единице служит условие (приближение Фраунгофера):

Так как множитель k2πieikllexp(ik(x2+y2)2l) в выражении (7), не влияет на распределение интенсивности в картине дифракции, и, учитывая выше сказанное, соответствующую формулу записывают как:

В таком написании выражение (11) служит для нахождения относительных величин интенсивностей в картине дифракции.

Пример 1

Задание: На прямоугольное отверстие со сторонами a и b падает плоская волна (рис.2), распространяющаяся по оси Z. На отверстии фаза и амплитуда волны (A0) постоянны. Как определена амплитуда волны в точке с координатами (x,y), если она падает перпендикулярно плоскости щели. Считайте, что можно использовать приближение Фраунгофера.



Рисунок 2.

Решение:

Пусть начало координат лежит в центре прямоугольного отверстия. В качестве основы для решения задачи используем приближение Фраунгофера и соответствующую ему формулу:

Ф(x,y)=SΨ(x,y)exp{ik(xx+yy)l}dxdy(1.1).

Имея в виду, что функция Ψ имеет размерность амплитуды отнесенной к площади, положим:

Ψ(x,y)=А0ab(1.2),

где A0 -- комплексная амплитуда волны. Тогда используя формулу (1.1), (1.2) и полагая Ф(x,y)=А(x,y) -- амплитуда волны, имеем:

A(x,y)=A0aba2a2exp{ik(xx)ldx}b2b2exp{ik(yy)ldy}=A0sinααsinββ(1.3),

где α=kax2l, β=kby2l.

Ответ: A(x,y)=A0sinααsinββ.

Пример 2

Задание: Используя условия и результаты Примера 1, определите интенсивность колебаний в точке с координатами (x,y).

Решение:

Используем связь между амплитудой волны и интенсивностью:

I|A|2(2.1).

Следовательно, зная, что:

A(x,y)=A0sinααsinββ(2.2)

можно записать:

I(x,y)=|A0|2sin2αα2sin2ββ2.

Ответ: I(x,y)=|A0|2sin2αα2sin2ββ2.

Дата последнего обновления статьи: 22.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Приближение Френеля и приближение Фраунгофера"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant