Приближение Френеля
Обычно дифракцию наблюдают в плоскости, которая параллельна преграде (экрану) с отверстиями. Назовем плоскость, в которой проводим наблюдение плоскостью дифракционной картины. Другая плоскость будет плоскостью источников. В обеих плоскостях введем прямоугольные системы координат, причем оси X и Y будут параллельны, а оси Z совпадут (рис.1). Единичный вектор нормали (→n) направлен в ту сторону, из которой пришло излучение.
Рисунок 1.
Волну, которая движется к точке A0, будем описывать функцией eikr01r01. Координатами точки A0 при этом будут в плоскости картины дифракции (x,y). Координатами точки A1 в плоскости источников являются (x′,y′). Тогда элементом площади на поверхности источников станет:
Амплитуда источников пусть задана функцией Ψ(x′,y′)=Aeikr12r12. В таком случае можно записать:
где r=√l2+(x−x′)2+(y−y′)2 (2′), здесь l - расстояние между плоскостями. В подынтегральном выражении выражение в квадратных скобках является медленно изменяющейся функцией, если сравнивать ее с множителем eikr. Значит, данное выражение не оказывает существенного влияния на картину интерференции, только минимально влияет на среднюю величину яркости. Помимо этого углы в функциях косинусов меняются в пределах нуля. Следовательно, данные косинусы можно положить равными единице. В таком случае выражение (2) примет вид:
Упростить формулу (3) можно, если учитывать, что углы ^→n→r12 и ^→n→r01 малы, что можно сформулировать как неравенства:
Используя условие (4) выражение (2′) можно разложить в ряд, ограничиваясь членами второго порядка имеем:
Используя выражение (5), преобразуем (3) к виду:
где r≈l. Эту переменную можно вынести из под знака интеграла, так как она медленно изменяется и не влияет на видимость картины интерференции.
Выражение вида (5) называют приближением Френеля, оно приводит к (6). Приближение Френеля используется в большом количестве случаев на практике. Дифракция, которая рассматривается в данном приближении, носит название дифракции Френеля.
Приближение Фраунгофера
Представим выражение как:
подставим его в (6), имеем:
Распределение интенсивности определено в картине дифракции квадратом модуля Ф(x,y). Значит, можно считать, что экспоненты перед знаком интеграла не оказывают влияния на распределение интенсивности в картине дифракции, так как их модуль равен единице. Интегрирование в формуле (7) проводится по всей площади $S'\ (-\infty
Допустим, что отверстие мало, расстояние до плоскости дифракционной картины большое (l→∞), в таком случае можно считать, что:
Дифракция, которая рассматривается при условии (8) называется фраунгоферовой. Критерием, определяющим возможность принять экспоненту в (8) равной единице служит условие (приближение Фраунгофера):
Так как множитель k2πieikllexp(ik(x2+y2)2l) в выражении (7), не влияет на распределение интенсивности в картине дифракции, и, учитывая выше сказанное, соответствующую формулу записывают как:
В таком написании выражение (11) служит для нахождения относительных величин интенсивностей в картине дифракции.
Задание: На прямоугольное отверстие со сторонами a и b падает плоская волна (рис.2), распространяющаяся по оси Z. На отверстии фаза и амплитуда волны (A0) постоянны. Как определена амплитуда волны в точке с координатами (x,y), если она падает перпендикулярно плоскости щели. Считайте, что можно использовать приближение Фраунгофера.
Рисунок 2.
Решение:
Пусть начало координат лежит в центре прямоугольного отверстия. В качестве основы для решения задачи используем приближение Фраунгофера и соответствующую ему формулу:
Ф(x,y)=∫S′Ψ(x′,y′)exp{−ik(xx′+yy′)l}dx′dy′(1.1).Имея в виду, что функция Ψ имеет размерность амплитуды отнесенной к площади, положим:
Ψ(x′,y′)=А0ab(1.2),где A0 -- комплексная амплитуда волны. Тогда используя формулу (1.1), (1.2) и полагая Ф(x,y)=А(x,y) -- амплитуда волны, имеем:
A(x,y)=A0aba2∫−a2exp{−ik(xx′)ldx′}b2∫−b2exp{−ik(yy′)ldy′}=A0sinααsinββ(1.3),где α=kax2l, β=kby2l.
Ответ: A(x,y)=A0sinααsinββ.
Задание: Используя условия и результаты Примера 1, определите интенсивность колебаний в точке с координатами (x,y).
Решение:
Используем связь между амплитудой волны и интенсивностью:
I∼|A|2(2.1).Следовательно, зная, что:
A(x,y)=A0sinααsinββ(2.2)можно записать:
I(x,y)=|A0|2sin2αα2sin2ββ2.Ответ: I(x,y)=|A0|2sin2αα2sin2ββ2.