Распространению света в анизотропной среде свойственна двойственность. Она вызвана тем, что в анизотропных средах любой волновой нормали соответствует луч. Он является характеристикой направления распространения волны света. Луч -- линия, касательная в каждой точке которой, совпадает с направлением вектора плотности потока для энергии волны света в данной точке среды. Для плоской монохроматической волны в однородной изотропной среде лучи перпендикулярны к волновым поверхностям. Следовательно, лучи характеризуют направление переноса энергии с помощью волны, а также направление распространения фронта волны.
Рассмотрим плоскую волну света:
Подставив выражения (1) в уравнения Максвелла, получим формулы:
Волновой вектор →k указывает направление распространения фронта волны, то есть, нормален к поверхности одинаковой фазы. Фазовая скорость (→v) совпадает по направлению с →k. Направление распространения волны задают вектором →n, определяемым как:
В общем случае, направление движения волны и направление потока энергии не совпадает. Энергия электромагнитной волны движется с групповой скоростью. Обозначим единичный вектор в направлении луча как:
Тогда можно сказать, что групповая скорость →u волны совпадает с направлением →τ. Энергия электромагнитной волны движется с групповой скоростью.
Итак, первой особенностью распространения электромагнитной волны в анизотропной среде является то, что, направление групповой и фазовой скорости не совпадают, так как векторы →E и →D не коллинеарны, направление луча и распространение волны не совпадают.
Фазовая скорость зависит от направления распространения волны и колебаний вектора →D:
где nx=√εx,ny=√εy,nz=√εz−главные величины показателей преломления анизотропной среды. Надо отметить, что в формуле (5) представлены составляющие фазовой скорости, которые не являются проекцией фазовой скорости волны на оси X,Y,Z, а характеризует фазовую скорость волны векторы →E и →D в которой коллинеарны рассматриваемой оси. Фазовая скорость полностью определена направлением вектора →D.
Уравнение Френеля для лучевых скоростей
Для того чтобы найти групповую скорость (→u), отметим, что фронт волны распространяется в направлении →n, а энергия в направлении →τ (рис.1). Фронт потока энергии расположен перпендикулярно к вектору →τ.
Рисунок 1.
Из рис.1 можно сделать вывод о том, что групповая и фазовая скорости соотносятся как:
где α -- угол между векторами →D и →E (векторами →uи →v). Умножим уравнения (2a,b) слева векторно на →τ имеем:
Выразим из (7а) →H, подставим его в (7b), получаем:
Учтем выражения (3), (6) и, то что v=ωk уравнение (8) запишем в виде:
Если вектор →E направлен по одной из главных осей тензора диэлектрической проницаемости (например, оси X). В таком случае →D//→E, главные групповые скорости будут совпадать с главными фазовыми скоростями. В таком случае можно считать, что выполняется равенство:
Уравнение Френеля для лучевых скоростей имеет вид:
В том случае, если принять за единичный вектор в направлении →E, вектор →l, равный:
уравнение для лучевой скорости можно записать как:
Скорость в направлении луча является групповой.
Две волны, которые распространяются в одном направлении с двумя разными групповыми скоростями, имеют перпендикулярные направления поляризации (→E′→E″=0).
Итак, соотношение между фазовой и лучевой скоростями можно определить, если рассмотреть два положения фронта волны, которые соответствуют близким моментам времени. Вследствие анизотропии среды форма волновой поверхности отлична от сферической. Различие фазовой и лучевой скоростей - проявление анизотропии. Данные скорости различают для монохроматических волн, и в отсутствии дисперсии.
Задание: Даны диагональные элементы тензора диэлектрической проницаемости среды: εx, εy, εz. Вектор →τ находится в плоскости XOZ, и угол между ним и осью OX равен α. Каковы лучевые скорости волн, которые распространяются в избранном направлении?
Решение:
Координаты вектора →τ найдем как:
→τ=(cosα,0,sinα).Для решения задачи используем уравнение волновых нормалей Френеля для лучевых скоростей:
3∑i=1τi2v2iv2i−u2=0(1.1).Из условия τy=0 можно записать:
u′=vy=c√εy(1.2).Для того чтобы найти u″ используем (1.1) в виде:
τx2v2xv2x−u2+τz2v2zv2z−u2=0(1.4).Приведем дроби в левой части к одному знаменателю, числитель приравняем к нулю, получим:
u″=√v2xv2zτx2v2x+τz2v2z.Ответ: u′=c√εy, u″=√v2xv2zτx2v2x+τz2v2z.
Задание: Используя данные и решение примера 1, запишите выражения для фазовых скоростей.
Решение:
Из решения Примера 1 следует, что волна поляризована по оси Y. При этом векторы →E′ и →D′ сонаправлены. Фазовая скорость (v′) равна:
v′=u′=c√εy(2.1).Для второй волны фазовая скорость v″ равна:
v″=u″cosα(2.2).Следовательно:
v″=√v2xv2zτx2v2x+τz2v2zcosα.Ответ: v′=u′=c√εy,v″=√v2xv2zτx2v2x+τz2v2zcosα.