Определение периода колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника прямо пропорционален длине нити и, при малых углах отклонения, не зависит ни от веса подвешенного груза, ни от амплитуды.

Колебания математического маятника осуществляются под действием двух сил:

• силы тяжести;
• силы упругости нити.

При нулевом отклонении нити от вертикали сила упругости уравновешивает силу тяжести. При отклонении между ними возникает тупой угол, зная который и сложив векторы сил тяжести и упругости можно найти результирующую силу. Она действует по касательной (тангенциально) к дуге, по которой перемещается груз маятника:

$F_{tang} = m \cdot \sin(\alpha)$,

где $\alpha$ - угол отклонения нити от вертикали.

Тангенциальная сила изменяется в течение цикла от нуля в моменты наибольших отклонений до максимума в нижней точке. Чтобы упростить задачу, можно мысленно заставить маятник описывать конус вокруг вертикальной оси с периодом обращения равным периоду колебаний. Тогда время одного витка будет составлять

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi \cdot R}{v}$,

где $L$ - длина кругового пути, $R$ - радиус окружности, по которой движется груз, $v$ - скорость груза. Сила, стремящаяся вернуть маятник в состояние покоя (к центру системы) и действующая перпендикулярно оси вращения, вычисляется по формуле:

$F_c = \frac{m \cdot v^2}{R}$

Ее можно выразить и геометрически, как зависящую от силы тяжести:

$F_c = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot g \cdot \frac{R}{l}$,

где $l$ - длина нити.

Сопоставив оба варианта выражения центростремительной силы, найдем зависимость периода колебаний маятника от длины нити:

$\frac{m \cdot v^2}{R} = m \cdot g \cdot \frac{R}{l} \implies v = R \cdot \sqrt{g}{l} \implies T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$