Физика: формула периода колебаний

Период колебаний можно найти как

$T = \frac{t}{n}$,

где $t$ - время всех колебаний, $n$ - их количество.

Закономерности, связанные с колебаниями, удобно изучать с помощью модели движущегося в горизонтальной плоскости пружинного маятника, поскольку внутри такой системы действует всего одна сила - сила упругости пружины (ее весом и силами сопротивления среды можно пренебречь). Такое устройство относится к т.н. линейным гармоническим осцилляторам - системам, графиком зависимости скорости тела от времени для которых является синусоида.

Функция силы от времени, действующая в пружинном маятнике, может быть выражена как:

$F(t) = m \cdot a (t) = -m \cdot \omega^2 \cdot x$ (t), где:

• $m$ - масса,
• $a$ - ускорение,
• $\omega$ - круговая частота гармонических колебаний,
• $x$ - приращение длины в данный момент времени.

Сила упругости зависит лишь от коэффициента упругости пружины и растяжения пружины:

$F_{упр} = -k \cdot x$

Объединив эти две формулы, получим:

$m \cdot a = -kx = m \cdot \omega_0^2 \cdot x$,

Величина $\omega_0$ называется собственной частотой колебательной пружинного маятника. Ее можно выразить, исходя из вышеизложенного, как

$\omega_0 = \sqrt\frac{k}{m}$.

Период колебаний связан с собственной частотой отношением

$T = \frac{2\pi}{\omega_0}$,

где $2\pi$ - длина одного цикла, выраженная в радианах. Из этого можно выразить период как зависимость от массы и упругости:

$T = 2\pi \cdot \sqrt\frac{m}{k}$.

Для других колебательных систем класса гармонических осцилляторов (математического маятника, крутильного маятника) периоды колебаний находятся аналогично. Различаются лишь системы сил, действующие на тело. Так, период колебаний математического маятника зависит (при небольших углах отклонения от вертикали) от длины подвеса.