Основное уравнение кинетической теории газов

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Изучать процессы, которые протекают в больших системах, весьма сложно из-за огромного числа частиц и их малых размеров. Изучить поведение каждой молекулы весьма затруднительно, из положения выходят, вводя статистические средние величины, когда говорят об описании отдельных частиц. Возникает необходимость установления математической связи (уравнения) между микропараметрами, которые относят к отдельным частицам (масса молекулы, ее скорость и т.д.) и макропараметрами, описывающими систему в целом (температура, давление) Формула, характеризующая состояние системы с учетом микроскопических и макроскопических параметров, называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов (МКТ).

Связь параметров макромира и микромира

Уравнение состояния идеального газа имеет вид:

где $n=\frac{N}{V}$ -- концентрация частиц в газе, N -- количество частиц, V- объем газа, p -- давление газа, T- термодинамическая температура, $k$ - постоянная Больцмана.

Зная выражение для среднеквадратичной скорости:

где $m_0$ - масса молекулы. Выразим из (2) kT, получим:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Подставим (3) в (1), получим:

Из уравнения мы видим, что давление прямо пропорционально. Налицо связь параметров макромира и микромира.

Уравнение (4) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Его можно записать еще и в следующем виде:

где $\rho =m_{0\ }n$ -- плотность газа. При этом смысл уравнений (4) и (5) один и тот же: Отражение взаимовлияния микро и макропараметров системы.

Пример 1

Задание: Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул газов с параметрами:

1) $p_1=600\ кПа,\ {\rho }_1=1,2\ \frac{кг}{м^3}$ , 2) $\ p_2=400\ кПа,\ {\rho }_2=0,8\ \frac{кг}{м^3}$ .

Решение:

За основу возьмем основное уравнение МКТ в виде:

$p=\frac{1}{3}\rho {\left\langle v_{kv}\right\rangle }^2\left(1.1\right).$

Выразим из него скорость:

$\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{3p}{\rho }}\left(1.2\right).$

Найдем отношение скоростей для газов:

$\frac{\left\langle v_{kv2}\right\rangle }{\left\langle v_{kv1}\right\rangle }=\sqrt{\frac{3p_2{\rho }_1\ }{{\rho }_23p_1}}=\sqrt{\frac{p_2{\rho }_1\ }{{\rho }_2p_1}}\ \left(1.3\right).$

Проведем расчет (давление можно оставить в тех единицах, которые есть в условиях):

$\frac{\left\langle v_{kv2}\right\rangle }{\left\langle v_{kv1}\right\rangle }=\sqrt{\frac{400\cdot 1,2}{0,8\cdot 600}}=1$

Ответ: Среднеквадратичные скорости газов с заданными параметрами равны.

«Основное уравнение кинетической теории газов» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Задание: Имеется смесь двух газов. Концентрация первого - $n_1$ . второго $n_2$ . Средняя кинетическая энергия молекул смеси равна $\left\langle E_k\right\rangle .$ Какова формула для расчета давления смеси этих газов? Система находится в состоянии равновесия.

Решение:

Давление смеси (p) газов равно сумме давлений компонент, поэтому:

$p=p_1+p_{2\ }\left(2.1\right)$

Запишем основное уравнение МКТ в виде:

$p=\frac{2}{3}n\left\langle E_k\right\rangle \ \left(2.2\right)$

$p_1=\frac{2}{3}n_1\left\langle E_k\right\rangle \ (2.3)$

$p_2=\frac{2}{3}n_2\left\langle E_k\right\rangle (2.4)$

$p=\frac{2}{3}n\left\langle E_k\right\rangle =\frac{2}{3}n_1\left\langle E_k\right\rangle +\frac{2}{3}n_2\left\langle E_k\right\rangle \to n=n_1+n_2\ (2.5)$

В уравнениях (2.2), (2.3), (2.4) средние кинетические энергии молекул $\left\langle E_k\right\rangle \$ системы в состоянии равновесия во всех частях системы одинаковы. $\$

Следовательно, искомое давление смеси можно найти, как: