Парамагнетики
Если магнитный момент ($p_m\ne 0$) атомов магнетика, не равен нулю в отсутствии внешнего магнитного поля, то такое вещество является парамагнетиком.
Молекула парамагнетика -- источник магнитного поля. В отсутствии магнитного поля магнитные моменты разных молекул ориентированы хаотично, результирующая индукция поля равна нулю, в результате тело не намагничено. Во внешнем магнитном поле постоянные магнитные моменты молекул ориентируются по внешнему полю, образуется преимущественное направление ориентации магнитных моментов. Малые объемы вещества получают магнитные моменты, которые равны сумме магнитных моментов отдельных молекул. Парамагнетик сам становится источником поля, он намагничивается в направлении внешнего поля. Магнитная восприимчивость ($\varkappa $) парамагнетика больше нуля, но, как и у диамагнетика весьма мала.
Теория парамагнетизма по Ланжевену
Классическая теория для описания поведения парамагнетиков была создана Ланжевеном в 1905 г. Рассмотрим ее для несильных полей и невысоких температур.
Потенциальная энергия атома во внешнем поле может быть определена как:
\[W=-{\overrightarrow{p}}_m\overrightarrow{B}=-p_mBcos\alpha \left(1\right),\]где $\alpha $ -- угол между векторами ${\overrightarrow{p}}_m\ и\ \overrightarrow{B}$. Так как в (1) присутствует угол $\alpha $, то равновесное распределение моментов по направлениям подчиняется закону Больцмана. В соответствии с ним вероятность (w) того, что угол между ${\overrightarrow{p}}_m$ и $\overrightarrow{B}$ будет лежать в интервале от $\alpha $ до $\alpha +d\alpha $ будет пропорциональна:
\[w\sim e^{-\frac{W}{kT}}=e^{\frac{p_mBcos\alpha }{kT}}\left(2\right).\]Обозначим $a=\frac{p_mB}{kT}.$ В том случае, если внешнего магнитного поля нет, направления магнитных моментов равновероятны. Получим, что вероятность того, что направление вектора ${\overrightarrow{p}}_m$ образует с направлением Z угол в интервале от $\alpha $ до $\alpha +d\alpha $:
\[{(dw_{\alpha })}_{B=0}=\frac{d{\Omega }_{\alpha }}{4\pi }=\frac{2\pi sin\alpha d\alpha }{4\pi }=\frac{1}{2}sin\alpha d\alpha \left(3\right),\]где ${\Omega }_{\alpha }$ -- телесный угол между конусами с углами раствора $\alpha $ и $\alpha +d\alpha $. В присутствии поля вероятность имеет вид:
\[dw_{\alpha }=Ae^{acos \alpha}\frac{1}{2}sin \alpha d \alpha \left(4\right),\]где A-const. Магнитный момент атома имеет порядок $\sim 10^{-23}\frac{Дж}{Тл}$ (магнетон Бора). По условию мы считаем поле небольшим, около 1 Тл. Получим, что $p_mB\sim 10^{-23}$. При комнатной температуре величина $kT\sim 10^{-21}$, значит $\frac{p_mB}{kT}\ll 1.$ Разложим экспоненту в ряд:
\[e^{acos\alpha }=1+acos\alpha \ \left(5\right).\]Выражение (4) запишется как:
\[dw_{\alpha }=A\left(1+acos\alpha \right)\frac{1}{2}sin\alpha d\alpha \left(6\right).\]Коэффициент А можно найти из нормировки вероятности на единицу:
\[1=\int\limits^{\pi }_0{A\left(1+acos\alpha \right)\frac{1}{2}sin\alpha d\alpha }=А\ \left(7\right).\]Мы получили для вероятности выражение:
\[dw_{\alpha }=\left(1+acos\alpha \right)\frac{1}{2}sin\alpha d\alpha \left(8\right).\]Допустим, что в единице объема имеется n атомов. Число атомов, магнитные моменту которых которые образуют с направлением поля угол от $\alpha $ до $\alpha +d\alpha $:
\[dn_{\alpha }=ndw_{\alpha }=\frac{1}{2}n\left(1+acos\alpha \right)sin\alpha d\alpha \left(9\right).\]Для намагниченности получим выражение:
\[J=\int\limits^{\pi }_0{p_mcos\alpha dn_{\alpha }}=\frac{1}{2}np_m\int\limits^{\pi }_0{\left(1+acos\alpha \right)cos\alpha sin\alpha d\alpha }=\frac{1}{2}np_m\frac{2a}{3}\ \left(10\right).\]Окончательно для намагниченности получим:
\[J=\frac{n}{3}\frac{{p_m}^2B}{kT}\left(11\right).\]Зная, что намагниченность и напряженность магнитного поля связаны выражением:
\[\overrightarrow{J}=\varkappa \overrightarrow{H}\left(12\right).\]Учитывая, что магнитная проницаемость парамагнетика практически не отличается от единицы, следовательно:
\[\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{H}\left(13\right).\]Получим, что магнитная восприимчивость ($\varkappa $) для парамагнетика равна:
\[\varkappa =\frac{n}{3}\frac{{{м_0p}_m}^2}{kT}\left(14\right).\]Если число n заменить числом Авогадро, то получим выражение для молярной восприимчивости парамагнетиков:
\[{\varkappa }_{\mu }=\frac{N_A}{3}\frac{{{{\mu }_0p}_m}^2}{kT}\left(15\right).\]Значения ${\varkappa }_{\mu }$ в ряде случаев хорошо согласуются с опытом. В сильных полях и при низких температурах выражение (12) не выполняется. Может наступить состояние магнитного насыщения, при котором все магнитные моменты атомов выстроены по полю и увеличение напряженности поля не ведет к возрастанию намагниченности. Квантовая теория приходит к выражению аналогичному (15). Теория Ланжевена точно описывает лишь газы. Учет взаимодействия между молекулами требует модифицировать выражение (15).
Гиромагнитное отношение
В простейшей модели атома водорода электрон вращается вокруг ядра по окружности некоторого радиуса R. Если заряд электрона обозначить через -$q_e$, то он в среднем порождает магнитное поле как круговой ток I, равный:
\[I=-\frac{q_ev}{2\pi R}\left(16\right).\]Вращающийся электрон имеет орбитальный момент импульса (механический момент), равный:
\[L=mRv\ \left(17\right),\]но и магнитный момент $p_m$, равный:
\[p_m=IS=\frac{q_ev\pi R^2}{2\pi R}=\frac{q_evR}{2}\ \left(18\right).\ \]Отношение $Г=\frac{p_m}{L}$ называется гиромагнитным соотношением. Для боровской модели оно равно:
\[Г=\frac{p_m}{L}=\frac{q_evR}{2mRv}=\frac{q_e}{2m}\left(19\right).\]Эта формула работает при движении электрона по эллиптическим орбитам, для многоэлектронных атомов. Момент импульса квантуется ($L=n\hbar $), магнитный момент квантуется вместе с ним:
\[p_m=\frac{q_e}{2m}\hbar \left(20\right),\]где $\hbar =\frac{h}{2\pi }$, постоянная Планка, $n=1,2,3\dots $- целое число.
Электрон обладает собственным или спиновым моментом (спином). В стационарных состояниях спин может принимать только два значения: $\frac{\hbar }{2}$ и $-\frac{\hbar }{2}$. Спину соответствует магнитный момент, проекция которого на избранное направление равна магнетону Бора. Получаем, что со спином электрона связано гиромагнитное отношение, которое двое больше орбитального, то есть:
\[Г=\frac{q_e}{m}\left(21\right).\]Парамагнетизм был объяснен Ланжевеном без использования квантовых представлений, так как в классических теориях намагничивания вводились представления квантового характера. Так, предполагалось, что из электрически заряженных частиц строятся устойчивые атомы и молекулы.
Задание: Вычислите магнетон Бора.
Решение:
Магнетоном Бора называют наименьшее значение магнитного момента атома. Используем формулу:
\[p_m=\frac{q_e}{2m}\hbar \left(1.1\right),\]где $\hbar =\frac{h}{2\pi }$, постоянная Планка, $n=1,2,3\dots $- целое число. Так как нам необходимо найти минимальное значение магнитного момента, то n=1, следовательно, зная заряд электрона и его массу можно провести вычисления магнетона Бора.
\[q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл,\ m=9,1\cdot {10}^{-31}кг, \hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с.\]Проведем вычисления:
\[p_m=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}}{2\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}}1,05\cdot {10}^{-34}=5,07\cdot 10^{-25\ \ }\left(\frac{Дж}{Тл}\right).\]Ответ: $p_m=5,07\cdot 10^{-25\ \ }\frac{Дж}{Тл}$.
Задание: Объясните, как возникает намагничивание парамагнетика.
Решение:
В магнитном поле атом вращается с ларморовской частотой, совершает регулярную прецессию с той же скоростью вокруг направления магнитного поля. При такой прецессии угол между и $\overrightarrow{B}$ не изменяется. Остается постоянной проекция $\overrightarrow{p_m}$ на направление магнитного поля. Сама прецессия не может привести к намагничиванию магнетика. Намагничивание возникает в результате взаимодействия атомов. Будем считать, что атомы только сталкиваются. Атом представим как волчок, который имеет механический момент $\overrightarrow{L}$, и магнитный момент $\overrightarrow{p_m}=Г\overrightarrow{L}$. Пусть векторы $\overrightarrow{L}\ и\ \overrightarrow{p_m}$ направлены в одну сторону. В магнитном поле на атом действует момент ($\overrightarrow{M}$) сил равный:
\[\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{p_m}\overrightarrow{B}\right]\left(2.1\right).\]Под его действием происходит прецессия. Угловая скорость прецессии ($?$$?$) может быть найдена из уравнения:
\[\dot{\overrightarrow{L}}=\overrightarrow{M}\left(2.2\right).\]Следовательно:
\[\overrightarrow{M}=\omega L=Г\left[\overrightarrow{L}\overrightarrow{B}\right]\to \omega =-Г\overrightarrow{B}\left(2.3\right).\]В том случае, если момент $L$ спиновый, то $Г=-\frac{q_e}{m}$ и угловая скорость в два раза больше.
