Ускорение

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Средним ускорением $\left\langle a\right\rangle$ называется отношение приращения скорости $\triangle v=v\left(t+\triangle t\right)-v\left(t\right)\$ к длительности промежутка времени $\triangle t$ , в течение которого оно произошло: $\left\langle a\right\rangle =\frac{\triangle v}{\triangle t}$

Мгновенным ускорением $\overrightarrow{a}$ (или просто ускорением) тела называют предел отношения малого изменения скорости $\triangle \overrightarrow{v}$ малому промежутку времени $\Delta$ t, в течение которого происходило изменение скорости:

$\overrightarrow{a}={\mathop{lim}_{\triangle t\to 0} \frac{\triangle \overrightarrow{v}}{\triangle t}\ }=\frac{d}{dt}\left(\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\right)= \frac{d^2r}{dt^2}=\ddot{r}$

В декартовых координатах это уравнение эквивалентно системе трёх уравнений:

$\left\{ \begin{array}{c} a_x=\dot{v_x}=\ddot{x} \\ a_y=\dot{v_y}=\ddot{y} \\ a_z=\dot{v_z}=\ddot{z} \end{array} \right.$

Модуль вектора ускорения

$a=\sqrt{a^2_x+a^2_y+a^2_z}=\sqrt{{\dot{v}}^2+{\dot{v}}^2_y+{\dot{v}}^2_z}=\sqrt{{\ddot{x}}^2+{\ddot{y}}^2+{\ddot{z}}^2}$

Конец вектора скорости $\overrightarrow{v}$ при движении материальной точки описывает кривую, называемую годографом скорости (рис.2).

Годограф скорости

Рисунок 1. Годограф скорости

Ускорение в каждой точке годографа скорости направлено по касательной к годографу в этой точке. Следовательно, направление вектора ускорения $\overrightarrow{a}$ в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости $\overrightarrow{v}$ .

Вектор мгновенного ускорения $\overrightarrow{a}$ можно представить как векторную сумму двух векторов, один из которых направлен по касательной к траектории в данной её точке, а другой -- перпендикулярен ему и направлен к центру кривизны траектории в этой точке.

Касательное и нормальное ускорения

Рисунок 2. Касательное и нормальное ускорения

Эти составляющие вектора ускорения $\overrightarrow{a}$ называют касательным (тангенциальным) $\overrightarrow{a_{\tau }}={\mathop{lim}_{t\to 0} \frac{\triangle \overrightarrow{v_{\tau }}}{\triangle t}\ }$ и нормальным $\overrightarrow{a_n}={\mathop{lim}_{t\to 0} \frac{\triangle \overrightarrow{v_n}}{\triangle t}\ }$ ускорениями:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_{\tau }}+\overrightarrow{a_n}$

Касательное ускорение $\overrightarrow{a_{\tau }}$ указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю, а нормальное ускорение $\overrightarrow{a_n}$ указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.

Из рис. 2 видно, что модуль полного ускорения $a=\sqrt{a^2_{\tau }+a^2_n}$

Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.1.6).

альтернативный текст

Рисунок 3. Движение по дугам окружностей

Нормальное ускорение $\overrightarrow{a_n}$ зависит от модуля скорости $\upsilon$ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент: $a_n= \frac{v^2}{R}$ . Вектор $\overrightarrow{a_n}$ всегда направлен к центру окружности.

Задача 1

Определить скорость, ускорение и координату x точки в момент времени, равный 10 c, если уравнение движения материальной точки имеет вид $x=A+Bt+Ct^2$ , где А= 8 м, В = 5 м/c, С = 2 м/c2.

Дано: $x=A+Bt+Ct^2$ ;

А = 8 м; В = 5 м/с; С = 2 м/с2; t = 10 c. Найти: v --- ?, a --- ?, x --- ?

Решение:

Определяем координату x в заданный момент времени, подставив в уравнение движения материальной точки значения коэффициентов:

$x=A+Bt+Ct^2=8+3\times 10+2\times {10}^2=238\ м\$

Определяем мгновенную скорость v материальной точки, как первую производную координаты по времени, и находим скорость материальной точки в заданный момент времени: $v=\dot{x}=B+2Ct=5+2\times 2\times 10=45\ м/с$

Определяем ускорение a материальной точки, как первую производную от скорости по времени и находим ускорение материальной точки в заданный момент времени:

$a=\dot{v}=2C=2\times 10=20\ м/с^2$

Ответ: В момент времени t = 10 c координата материальной точки х = 238 м, скорость материальной точки v = $45\ м/с$ , ускорение материальной точки а = $20\ м/с^2$

«Ускорение» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Задача 2

Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью $\overrightarrow{V}$ . Требуется изменить направление скорости на 90 градусов, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее $a$ . По какой траектории будет при этом двигаться корабль?

Решение:

Перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся с постоянной скоростью $\overrightarrow{V}$ . Так как во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея), то ограничение, наложенное в условии задачи на ускорение корабля, не изменится. В новой системе отсчёта начальная скорость космического корабля равна нулю, а конечная скорость по модулю равна $v\sqrt{2}$ и направлена под углом к первоначальному направлению движения.

Задача 2

Теперь ясно, что для совершения манёвра нужно включить двигатели так, чтобы при развороте корабля его ускорение было всё время направлено в сторону конечной скорости корабля, то есть под углом 45 градусов к первоначальному направлению движения. Тогда минимальное время манёвра будет равно $\tau =\frac{\triangle v}{a}=\frac{V\sqrt{2}}{a}$ .

Выясним, по какой траектории будет двигаться корабль при манёвре. Для этого вернёмся в исходную систему отсчёта и направим координатную ось декартовой системы координат в направлении, обратном ускорению, а ось $X$ --- перпендикулярно к ней, так, как показано на рисунке. Тогда закон движения в проекциях на эти оси примет вид:

Закон движения в проекциях на эти оси

Выражая из первого уравнения время и подставляя его во второе, получим уравнение траектории корабля: $y=x-\frac{ax^2}{V^2}$ , то есть корабль будет двигаться по параболе, аналогично телу, брошенному по углом к горизонту.