Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Скорость и ускорение в сферических координатах

Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменнеия трех ее декартовых координат x, y, z как функции времени. Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченных поверхностями различной формы) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слишком громоздкими. В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра q1, q2,  q3, называемых криволинейными, или обобщенными координатами, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве.

Скорость точки М при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

v=drdt=rq1˙q1+rq2˙q2+rq3˙q3=vq1¯e1+vq2¯e2 +vq3¯e3

Проекции вектора скорости на соответствующие координатные оси равны: vqi=¯v ¯ei=Hi˙qi  ,  i=¯1,3

Здесь Hi=|(rqi)M| - параметр, который называется i-м коэффициентом Ламе и равен значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i-ой криволинейной координате, вычисленной в данной точке М. Каждый из векторов ¯ei имеет направление, соответствующее направлению движения точки конца радиус-вектора ri при возрастании i-й обобщенной координаты. Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе координат можно рассчитать по зависимости:

v=v2q1+v2q2+v2q3=H21˙q12+H22˙q22+H23˙q32

В приведенных формулах значения производных и коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в пространстве.

Координатами точки в сферической системе координат являются скалярные параметры r, φ, θ, отсчитываемые так, как показано на рис. 1.

Вектор скорости в сферической системе координат

Рисунок 1. Вектор скорости в сферической системе координат

Система уравнений движения точки в данном случае имеет вид:

{r=r(t)φ=φ(tθ=θ(t

На рис. 1 изображены радиус-вектор r, проведенный из начала координат, углы φ и θ, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории. Видно, что координатные линии (φ) и (θ) лежат на поверхности сферы радиусом r. Данная криволинейная система координат также является ортогональной. Декартовы координаты могут быть выражены через сферические координаты так:

x=rcosφsinθ;  y=rsinφcosθ;  z=rcosθ  

Тогда коэффициенты Ламе: Hr=1;  Hφ=rsinφ;  H0=r ; проекции скорости точки на оси сферической системы координат vr=˙r  ; vθ=r˙θ;  vφ=r˙φsinθ, а модуль вектора скорости

v=v2r+v2φ+v2θ=˙r2+r2˙φ2+r2˙θ2

Ускорение точки в сферической системе координатат

a=arer+aφeφ+aθeθ,

проекции ускорения точки на оси сферической системы координат

ar=˙rr(˙θ2+˙φ2sin2φ);aφ=r¨φsinφ +2r˙φ(sinθ +˙θcosθ );
aθ=r¨θr˙φ2sinθ cosθ +2˙r˙θ

Модуль ускорения a=a2r+a2φ+a2θ

«Скорость и ускорение в сферических координатах» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Задача 1

Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям: r = R, φ = kt/2, θ = kt/2 , (r, φ, θ --- сферические координаты). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.

Решение

Найдём проекции вектора скорости на оси сферических координат:

vr=˙r=0;;  vφ=r˙φsinθ=Rk2sinkt2 ;;   vθ=r˙θ=Rk2

Модуль скорости v=v2r+v2φ+v2θ=Rk2sin2kt2+1

Задача 2

Используя условие задачи 1, определить модуль ускорения точки.

Решение

Найдём проекции вектора ускорения на оси сферических координат:

ar=˙rr(˙θ2+˙φ2sin2φ)=Rk24(1+sin2kt2)
aφ=r¨φsinφ +2r˙φ(sinθ +˙θcosθ )=Rk22sinkt2 
aθ=r¨θr˙φ2sinθ cosθ +2˙r˙θ=Rk24sinθcoskt2  

Модуль ускорения a=a2r+a2φ+a2θ=Rk244+sin2kt2

Дата последнего обновления статьи: 16.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Скорость и ускорение в сферических координатах"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant