Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменнеия трех ее декартовых координат x, y, z как функции времени. Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченных поверхностями различной формы) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слишком громоздкими. В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра q1, q2, q3, называемых криволинейными, или обобщенными координатами, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве.
Скорость точки М при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:
→v=d→rdt=∂→r∂q1˙q1+∂→r∂q2˙q2+∂→r∂q3˙q3=vq1¯e1+vq2¯e2 +vq3¯e3Проекции вектора скорости на соответствующие координатные оси равны: vqi=¯v ⋅¯ei=Hi˙qi , i=¯1,3
Здесь Hi=|(∂→r∂qi)M| - параметр, который называется i-м коэффициентом Ламе и равен значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i-ой криволинейной координате, вычисленной в данной точке М. Каждый из векторов ¯ei имеет направление, соответствующее направлению движения точки конца радиус-вектора ri при возрастании i-й обобщенной координаты. Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе координат можно рассчитать по зависимости:
v=√v2q1+v2q2+v2q3=√H21˙q12+H22˙q22+H23˙q32В приведенных формулах значения производных и коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в пространстве.
Координатами точки в сферической системе координат являются скалярные параметры r, φ, θ, отсчитываемые так, как показано на рис. 1.
Рисунок 1. Вектор скорости в сферической системе координат
Система уравнений движения точки в данном случае имеет вид:
{r=r(t)φ=φ(tθ=θ(tНа рис. 1 изображены радиус-вектор r, проведенный из начала координат, углы φ и θ, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории. Видно, что координатные линии (φ) и (θ) лежат на поверхности сферы радиусом r. Данная криволинейная система координат также является ортогональной. Декартовы координаты могут быть выражены через сферические координаты так:
x=rcosφsinθ; y=rsinφcosθ; z=rcosθТогда коэффициенты Ламе: Hr=1; Hφ=rsinφ; H0=r ; проекции скорости точки на оси сферической системы координат vr=˙r ; vθ=r˙θ; vφ=r˙φsinθ, а модуль вектора скорости
v=√v2r+v2φ+v2θ=√˙r2+r2˙φ2+r2˙θ2Ускорение точки в сферической системе координатат
→a=ar→er+aφ→eφ+aθ→eθ,проекции ускорения точки на оси сферической системы координат
ar=˙r−r(˙θ2+˙φ2sin2φ);aφ=r¨φsinφ +2r˙φ(sinθ +˙θcosθ );Модуль ускорения a=√a2r+a2φ+a2θ
Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям: r = R, φ = kt/2, θ = kt/2 , (r, φ, θ --- сферические координаты). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.
Решение
Найдём проекции вектора скорости на оси сферических координат:
vr=˙r=0;; vφ=r˙φsinθ=Rk2sinkt2 ;; vθ=r˙θ=Rk2Модуль скорости v=√v2r+v2φ+v2θ=Rk2√sin2kt2+1
Используя условие задачи 1, определить модуль ускорения точки.
Решение
Найдём проекции вектора ускорения на оси сферических координат:
ar=˙r−r(˙θ2+˙φ2sin2φ)=Rk24(1+sin2kt2)Модуль ускорения a=√a2r+a2φ+a2θ=Rk24√4+sin2kt2