Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Для данной проблемы есть, как математические доказательства существования и единственности решения задачи с периодическими граничными условиями, так и доказательства потери единственности решений при резком возникновении неустойчивости в конечное время.

Данные уравнения стали основой гидродинамики. Численные решения этих уравнений применяются во многих практических случаях. Аналитически данные уравнения решены только для некоторых частных задач. Отсутствует понимание полностью свойств уравнений Навье-Стокса.

Уравнения Навье - Стокса

В трехмерном случае уравнения Навье - Стокса можно записать как:

$\frac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v \nabla )\vec v = \frac{1}{\rho} \nabla p+\nu \Delta \vec v+\vec f (\vec r , t)(1),$

где:

• $\vec v$ - трехмерный вектор скорости;
• $p$ - давление;
• $\nu$ > $0$ - кинематическая вязкость,
• $\rho$ - плотность;
• $\vec f$ - внешняя сила;
• $\nabla$ - оператор набла;
• $\Delta$ - лапласиан.

Уравнение (1) является векторным. Его можно представить в виде системы из трех скалярных уравнений.

В данном уравнении следует найти поле скоростей и давлений. Так как в трехмерном случае мы имеем три уравнения и четыре неизвестных, то дополнительно используют уравнение неразрывности, которое для несжимаемой жидкости записывают как:

$\nabla \bullet \vec v=0 (2).$

Начальные условия к уравнениям можно задать в виде поля скоростей в момент времени $t=t_0$:

$\vec v (\vec r, 0)=\vec v_0(\vec r),$

где $\vec v_0(\vec r)$ - известная гладкая векторная функция, которая должна удовлетворять уравнению неразрывности (2).

Уравнения Навье - Стокса в гидродинамике

Точные решения уравнений Навье - Стокса обладают большим значением в теоретической гидродинамике. Этим решениям посвящают множество научных работ.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если дополнительные условия, начальные и краевые обеспечивают:

1. существование решения;
2. его единственность,
3. непрерывную зависимость от заданных в задаче параметров.

Если принимать во внимание сказанное выше, то корректными в гидродинамике являются задачи, которые можно отнести к течениям с малыми числами Рейнольдса, когда нелинейность уравнений не проявляется.

При увеличении числа Рейнольдса проявляется нелинейность, и появляются свойства, которые нельзя совместить с определением корректности.

Для стационарных задач нелинейность может вызывать неединственность решения при одних числах Рейнольдса и его отсутствие при других.

Возможность решения задачи в гидродинамике принципиальным образом зависит от ее постановки, то есть от:

• начальных условий;
• краевых условий.

Классическими граничными условиями в гидродинамике являются следующие виды условий:

1. Условия прилипания для ограниченной области, которые связаны с заданием вектора скорости на границе, который удовлетворяет только условию соленоидальности.
2. Условия в бесконечной области для задач обтекания. В этом случае на обтекаемой границе задают условия прилипания, в бесконечности вектор скорости постоянен.
3. Условия на свободных границах.

Наряду с указанными граничными условиями принципиально возможны и другие разнообразные постановки. Например, циркуляционное течение вязкой жидкости в круговой области, на границе которой заданы условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. Решение данной задачи является неединственным, так как квазитвердое вращение с произвольной угловой скоростью удовлетворяет всем условиям задачи.

Строгие теоретические решения уравнений Навье-Стокса, в основном получены для граничных условий первого и второго типа. О.А. Ладыженской доказано, что стационарная задача с граничными условиями первого или второго вида имеет, по крайней мере, одно гладкое решение при любых числах Рейнольдса. В этом случае граница области и граничные условия не обязательно являются гладкими. Но при этом необходимо ограниченность значений вектора скорости на границе и массовых сил в общем случае.

Проблема единственности стационарных решений снята только для случая малых чисел Рейнольдса. В иных случаях неединственность решений – это скорее правило, чем исключение.

Особым вниманием в стационарной гидродинамике пользуется предельный переход $\nu \to 0$. В виду тог, что самые распространенные вещества – вода и воздух – обладают малыми кинематическими вязкостями в сравнении с характерными параметрами $V L$, где $L$ - линейный масштаб течения. Асимптотическую постановку этой задачи дала теория пограничного слоя Прандтля и ее расширение – теория сращиваемых асимптотических разложений. Заметим, что схема Прандтля применима не всегда.

Разрешимость начально-краевых нестационарных задач доказана для всех моментов времени только в случае двух пространственных измерений. В общем трехмерном случае разрешимость доказана для гладких начальных данных на малом временном интервале.

Вопрос об однозначности разрешимости трехмерной задачи в «целом» для любого времени, любых гладких данных задачи и любых размеров области течения открыт по настоящее время.

Так, имеется «слабое» решение Хофа, но класс «слабых» решений недопустимо широк, поскольку в нем происходит нарушение течения, а это несовместимо с принципом детерминизма в классической механике.

Если допускать существование «хорошего» решения в целом, то доказывается :

• его единственность,
• непрерывная зависимость нестационарных решений от начальных данных и внешних сил для конечных временных интервалов.

В классе двумерных задач с нулевыми граничными условиями это доказано для произвольного интервала (так, при нулевых условиях и убывании сил движение жидкости затухает).

Для задач с неоднородными условиями непрерывной зависимости решения в целом от начальных условий нет, так как при больших числах Рейнольдса стационарные течения способны терять устойчивость.

Постановка задачи институтом Клэя

Математический институт Клэя выдвинул два базовых варианта условий задачи для решений уравнений Навье-Стокса:

1. Решение уравнений в трехмерном пространстве учитывая ограничения скорости роста решения в бесконечности. Для любых начальных условий.
2. Решение данных уравнений на торе в пространстве трех измерений. При этом граничные условия должны быть периодическими.

Задача будет считаться решенной, если будет доказано наличие или отсутствие решения и его гладкость или негладкость.