Явление дисперсии
Зависимость скорости распространения волны от ее частоты называют дисперсией. Дисперсия света - это результат взаимодействия электромагнитных волн (световых волн) с заряженными частицами, которые составляют вещество наряду с нейтральными частицами. Это явление сопровождается спектральным разложением немонохроматического света на синусоидальные составляющие. Происходит это потому, что разным частотам соответствуют различные показатели преломления. В вакууме все электромагнитные волны распространяются с одинаковой скоростью не зависимо от их частоты. Явление дисперсии возможно только в веществе. Значит ее объяснение связано со структурой вещества.
Существенная разница между ${\varepsilon }^2$ ($\varepsilon -диэлектрическая\ проницаемость\ $вещества) и $n$ (показатель преломления среды) имеется у веществ, которые имеют полярные молекулы, если $\varepsilon $ измеряется на частотах на много отличающихся от частоты волн света. Однако, измерения показателей преломления веществ в оптическом диапазоне, показали, что n одинаков у веществ с полярными и не полярными молекулами. Значит, можно сделать вывод о том, что ориентационная поляризуемость наблюдается в веществах с полярными молекулами в статическом поле или переменных полях малой частоты. В полях с высокой частотой молекулярный диполь не успевает поворачиваться, степень ориентации диполей при этом уменьшается, значит, уменьшается диэлектрическая проницаемость.
Статья: Классическая электронная теория дисперсии
Закон дисперсии
Для объяснения зависимости показателя преломления вещества от частоты (то есть явления дисперсии) надо провести анализ механизма поляризации атома (молекулы) в электромагнитном поле волны света.
Электрическая составляющая электромагнитной волны действует на электрон. Воздействием магнитной составляющей обычно пренебрегают, так как скорость электрона мала в сравнении со скоростью света. Электрическая сила, с которой волна действует на оптический электрон и заставляет их совершать колебания, может быть записана как:
Вынужденные колебания электронного облака происходят по закону:
где $A=\frac{q_eE_0}{m({\omega }^2_0-{\omega }^2)}.$ - амплитуда, ${\omega }_0-круговая\ $частота собственных колебаний электрона, зависящая от природы атома, $\omega $ -- круговая частота колебаний волны. Изменение начальной фазы с нуля при $\omega {\omega }_0$ учитывают, вводя знак у амплитуды.
Наведенный полем дипольный момент молекулы совершает колебания по закону:
Используя выражение (3) получим значение поляризуемости молекулы ($\alpha $):
Диэлектрическую проницаемость вещества с полярными молекулами можно выразить как:
где $n_0$ -- концентрация молекул. Выражение (5) называют законом дисперсии.
Выражение (5) можно упростить, если учесть, что для газов электрическая восприимчивость ($\varkappa =n_0\alpha $)$\ \varkappa \ll 1,\ $следовательно, можно выполнить следующее:
Используя выражения (5) и (6), имеем:
При выводе закона дисперсии мы учитывали только воздействие внешнего поля световой волны на электронное облако молекулы и не учитывали межмолекулярного взаимодействия. Значит, закон в виде (6) выполняется только для газов. Но для качественного объяснения процесса дисперсии он применим для жидких и твердых тел. Кроме того выражение (6) имеет смысл только при условии, что частота волны существенно отлична от собственной частоты колебаний электрона.
График закона дисперсии в виде (7) показан на рис. 1. Более точная теория дисперсии, которая учитывает затухание и приводит к верной зависимости показателя преломления на всем диапазоне частот, дает график, который изображен сплошной линией рис.1.
Рисунок 1.
Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если показатель преломления равен $n$ для радиоволн с частотой $\nu .$
Решение:
За основу решения задачи примем выражение:
\[n^2=1+\frac{n_0{q_e}^2}{m{\varepsilon }_0\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)}\left(1.1\right),\]где $n_0$ - концентрация молекул.
Учтем, что для свободных электронов собственная частота равна нулю (${\omega }^2_0=0$). Частота $\nu $ связана с циклической частотой ($\omega $) как:
\[\omega =2\pi \nu \left(1.2\right).\]Соответственно формулу (1.1) преобразуем к виду:
\[n^2=1-\frac{n_0{q_e}^2}{m{\varepsilon }_0{\left(2\pi \nu \right)}^2}\left(1.3\right).\]Из выражения (1.3) получаем:
\[n_0=\frac{\left(1-n^2\right)m{\varepsilon }_0{\left(2\pi \nu \right)}^2}{{q_e}^2}.\]Ответ: $n_0=\frac{\left(1-n^2\right)m{\varepsilon }_0{\left(2\pi \nu \right)}^2}{{q_e}^2}.$
Задание: Во всех телах наблюдается не одна, а несколько полос поглощения. Для того чтобы это учесть в классической теории принимают, что вещество построено из частиц разного типа (электронов, ионов), которые ведут себя как затухающие гармонические осцилляторы, имеющие разные собственные частоты. В разреженных газах взаимодействием этих частиц можно пренебречь. Как можно записать выражение для коэффициента преломления подобного вещества исходя из классической теории дисперсии? Что можно сказать о поведении полученного выражения при этом?
Решение:
За основу решения задачи примем выражение для одного типа частиц вида:
\[n^2=1+\frac{n_0{q_e}^2}{m{\varepsilon }_0\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)}\left(1.1\right).\]В таком случае искомая формула может быть представлена как:
\[n^2=1+\frac{n_0}{{\varepsilon }_0}\sum\limits_k{\frac{{q_e}^2}{m\left({\omega }^2_{0k}-{\omega }^2\right)}(1.2)},\]где ${\omega }_{k0}$ -- собственные частоты частиц, составляющих газ. Около каждой собственной частоты функция, представленная в (1.2) терпит разрыв. В том случае, если $\omega $ стремится к ${\omega }_{k0}$ слева, то функция $n(\omega )$ стремится к $+\infty $, если $\omega $ стремится к ${\omega }_{k0}$ справа, то $n\left(\omega \right)\to -\infty .$ Такое поведение функции объясняется тем, что если пренебрегать трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе становится бесконечной.
