Свободные и связанные заряды

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Что такое свободные и связанные заряды

Когда мы рассматриваем диэлектрики в электростатических полях необходимо различать два вида электрических зарядов: свободные и связанные.

Определение

Свободными зарядами надо считать заряды, которые могут под действием поля перемещаться на существенные расстояния, как например, электроны в проводниках, ионы в газах и заряды, привнесенные извне на поверхность диэлектриков, которые нарушают их (диэлектриков) нейтральность. Заряды, которые входят в состав нейтральных, в целом, молекул диэлектриков, так же, как и ионы, которые закреплены в кристаллических решетках твердых диэлектриков около положений равновесия, называют связанными зарядами.

Потенциал электростатического поля в диэлектрике ( $\varphi$ ) равен:

$\varphi ={\varphi }_0+{\varphi }'\left(1\right),$

где ${\varphi }_0$ -- потенциал поля создаваемого свободными зарядами, ${\varphi }'$ - потенциал поля создаваемого связанными зарядами. При этом мы знаем, что:

${\varphi }_0=\int{\frac{\rho dV}{R}}+\int{\frac{\sigma dS}{R}}\left(2\right),\$

где $\rho$ -- объемная плотность свободных зарядов, $\sigma$ -- поверхностная плотность свободных зарядов. Потенциал поля связанных зарядов определен как:

${\varphi }'=\int{\frac{\overrightarrow{P}\overrightarrow{R}}{R^3}}dV\left(3\right),$

где $\overrightarrow{P}$ -- вектор поляризации.

Из уравнений (1) и (3) следует, что:

$\varphi ={\varphi }_0+\int{\frac{\overrightarrow{P}\overrightarrow{R}}{R^3}}\left(4\right).$

Если использовать теорему Остроградского - Гаусса и некоторые формулы векторного анализа, не сложно получить иной вид уравнения (4), а именно:

$\varphi ={\varphi }_0+\int{\frac{{\rho }_{sv}}{R}dV}+\int{\frac{{\sigma }_{sv}}{R}dV=\int{\frac{{\rho }_{sv}+\rho }{R}dV}+\int{\frac{{\sigma }_{sv}+\sigma }{R}dV}}\left(5\right),$

где ${\rho }_{sv}$ - средняя объемная плотность связанных зарядов, ${\sigma }_{sv}-средняя\ поверхностная\ плотность\$ связанных зарядов. Из уравнения (5) видно, что электрическое поле при наличии диэлектрика совпадает с полем, которое создано свободными зарядами плюс поле, которое создается связанными зарядами.

Плотность связанных зарядов

При $\overrightarrow{P}=const$ (что означает равномерную поляризацию диэлектрика) средняя плотность связанных зарядов равна нулю, что означает, что в данном случае не происходит накопление зарядов одного знака в диэлектрике. На границе между поляризованным диэлектриком и вакуумом или металлом сосредоточен поверхностный связанный заряд плотности:

${\sigma }_{sv}=\pm P_n,\ -div\ \overrightarrow{P}={\rho }_{sv}\left(6\right),$

где $P_n$ -- нормальная компонента вектора поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

Функция $\varphi$ вида (7) является решением уравнения:

${\nabla }^2\varphi =-4\pi \left(\rho +{\rho }_{sv}\right)\left(7\right).$

Зная, что:

$\overrightarrow{E}=-\nabla \varphi \ \to div\overrightarrow{E}=-{\nabla }^2\varphi (8)$

и учитывая (6), можно записать, что:

$div\overrightarrow{E}=4\pi \rho -4\pi div\overrightarrow{P}\ (9)$

или

$div\overrightarrow{(E}+4\pi \overrightarrow{P})=4\pi \rho \ \left(10\right).$

Уравнение (10) -- основное дифференциальное уравнение электростатического поля в любой произвольной среде.

Для того, чтобы получить полную систему уравнений электростатики к уравнению (10), необходимо добавить выражение, связывающее векторы напряженности электрического поля и вектор поляризации.

Зависимость $\overrightarrow{P}(\overrightarrow{E})$ в общем случае представлена в виде:

$P_i={\varepsilon }_0\sum\limits_j{{\varkappa }_{ij}E_j+{\varepsilon }_0\sum\limits_{j,k}{{\varkappa }_{ijk}E_jE_k+\dots ,}\left(11\right),}$

где индексы $i,j$ -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат $(i=x,\ y,z; j=x,\ y,z.)$ , ${\varkappa }_{ij}$ -- тензор диэлектрической восприимчивости.

Итак, при наличии внешнего электрического поля вещество само становится источником поля, следовательно, поле изменяется.

Пример 1

Задание: Имеется плоский конденсатор, пространство между обкладками которого, заполнено однородным, изотропным диэлектриком c диэлектрической восприимчивостью $\varkappa$ . На обкладках конденсатора находится поверхностный заряд, плотность его равна $\sigma .$ Какова напряженность результирующего поля в конденсаторе?

Решение:

Если между обкладками конденсатора вакуум, то напряженность поля, которое создают заряженные обкладки, равно:

$E_{vak}=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_0}\left(1.1\right),$

где ${\varepsilon }_0=8,\ 85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}.\$ -- электрическая постоянная.

Пример 1

Рис. 1

$+q, -q$ -- заряды на обкладках конденсатора.

$\overrightarrow{E_{vak}}$ -- напряженность поля, которое создается обкладками конденсатора.

$-q', +q'$ -заряды диэлектрика.

$\overrightarrow{E}'$ - напряженность поля, которое создается в результате поляризации диэлектрика.

Так как диэлектрик поляризуется, напряженность поля уменьшается. Так как диэлектрик считаем однородным, поле, которое создается в плоском конденсаторе, также можно считать однородным, делаем вывод о том, что поляризованность диэлектрика однородна, то есть объемные связанные заряды отсутствуют ( ${\rho }_{sv}=0$ ). Имеем только поверхностные заряды плотность которых ( ${\sigma }_{sv}$ ):

${\sigma }_{sv}=P_n\ \left(1.2\right).$

Зная связь напряженности поля и вектора поляризации для изотропного диэлектрика:

$P=\varkappa {\varepsilon }_0E(1.3)$

получим:

${\sigma }_{sv}=\varkappa {\varepsilon }_0E\left(1.4\right),$

где $E$ -- проекция напряженности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. Напряженность поля направлена от положительно заряженной пластины конденсатора к отрицательной. Поэтому из (1.4) следует, что поверхностная плотность связанного заряда на границе с положительно заряженной пластиной имеет знак минус, а на границе с отрицательной пластиной - плюс. Получаем, что напряженность поля в диэлектрике между пластинами конденсатора равна напряженности поля в вакууме между теми же пластинами, но при поверхностной плотности заряда равном:

${\sigma }'=\sigma -{\sigma }_{sv}\left(1.5\right).$

На этом основании запишем, что напряженность поля в конденсаторе при наличии диэлектрика равна:

$E=\frac{\left(\sigma -{\sigma }_{sv}\right)}{{\varepsilon }_0}=\frac{\left(\sigma -\varkappa {\varepsilon }_0E\right)}{{\varepsilon }_0}\ \left(1.6\right).$

Выразим из (1.6) искомую напряженность:

$E=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_0(1+\varkappa )}.$

Ответ: $E=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_0(1+\varkappa )}.$

«Свободные и связанные заряды» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Задание: Точечный заряд q окружён концентрическим слоем диэлектрика (рис.2). Найдите поверхностную плотность связанных зарядов, которые индуцированы точечным зарядом q, если известны радиусы $R_1\ и\ R_2$ (рис.2). Сферический слой заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon .$

Пример 2

Рис. 2

Решение:

Напряженность поля точечного заряда будет иметь вид:

$\left\{ \begin{array}{c} E_r=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{q}{r^2}\ при\ r Из (2.1) видим, что напряженность терпит разрыв на поверхности сферического слоя диэлектрика при $r=R_1$ и $r=R_2.$ Зная связь напряженности и вектора поляризации для изотропного диэлектрика и то, что при отсутствии диэлектрика связанных зарядов нет , соответственно вектор поляризации равен нулю получим: \[\left\{ \begin{array}{c} P_r=0\ при\ r Соответственно, поверхностная плотность связанных зарядов равна: \[{\sigma }_{sv1}=-P_r\left(r=R_1\right)=-\left(\frac{\varkappa }{4\pi \varepsilon }\frac{q}{{R_1}^2}\right),$

${\sigma }_{sv2}=P_r\left(r=R_2\right)=\left(\frac{\varkappa }{4\pi \varepsilon }\frac{q}{{R_2}^2}\right).$

Ответ: Поверхностные плотности индуцированных зарядов равны: ${\sigma }_{sv1}=-\left(\frac{\varkappa }{4\pi \varepsilon }\frac{q}{{R_1}^2}\right),$ ${\sigma }_{sv2}=\left(\frac{\varkappa }{4\pi \varepsilon }\frac{q}{{R_2}^2}\right)$ .