Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Вектор электрической индукции

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Физика / Электростатика / Вектор электрической индукции
Вектор электрической индукции

Что такое вектор электрической индукции

Определение

Вектором электрической индукции (или вектором электрического смещения) ($\overrightarrow{D}$) называют физическую величину, которая определяется в системе СИ как:

\[\overrightarrow{D}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\ \left(1\right),\]

где ${\varepsilon }_0$ -- электрическая постоянная, $\overrightarrow{E}$ -- вектор напряженность, $\overrightarrow{P}$ -- вектор поляризации.

В СГС вектор электрического смещения определен как:

\[\overrightarrow{D}=\overrightarrow{E}+4\pi \overrightarrow{P}\ \left(2\right).\]

Вектор $\overrightarrow{D}$ не является чисто полевым вектором, так как он учитывает поляризованность среды. Этот вектор связан с объемной плотностью заряда соотношением:

\[div\overrightarrow{D}=\rho \left(3\right).\]

Из (3) мы видим, что единственным источником $\overrightarrow{D}$ являются свободные заряды, на которых данный вектор начинается и заканчивается. В точках, где свободные заряды отсутствуют, вектор электрической индукции непрерывен. Изменение напряженности поля, которые вызваны наличием связанных зарядов, учитываются в самом векторе $\overrightarrow{D}$.

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения, если среда изотропна, еще можно записать как:

\[\overrightarrow{D}=\left({\varepsilon }_0\overrightarrow{E}+{\varepsilon }_0\varkappa \overrightarrow{E}\right)=\left({\varepsilon }_0+{\varepsilon }_0\varkappa \right)\overrightarrow{E}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\left(4\right),\]

где $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды.

Использование вектора $\overrightarrow{D}$ существенно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Так, например теорема Остроградского - Гаусса в интегральном виде при наличии диэлектрика может быть записана как:

\[\int\limits_S{\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=Q\left(5\right).}\]

При переходе через границу раздела двух диэлектриков для нормальной составляющей вектора $\overrightarrow{D}$ можно записать:

\[D_{2n}-D_{1n}=\sigma \ \left(6\right).\]

или

\[\overrightarrow{n_2}\left(\overrightarrow{D_2}-\overrightarrow{D_1}\right)=\sigma \ \left(7\right),\]

где $\sigma $ -- поверхностная плотность распределения зарядов на границе диэлектриков. $\overrightarrow{n_2}$ -- нормаль, которая проведена в сторону второй среды.

Для тангенциальной составляющей:

\[D_{2\tau }=\frac{{\varepsilon }_2}{{\varepsilon }_1}D_{1\tau }\left(8\right).\]

Единицей измерения в системе СИ вектора электрической индукции служит $\frac{Кл}{м^2}.$

Поле вектора $\overrightarrow{D}$ можно изображать с помощью линий электрического смещения. Направление и густота определяются аналогично линиям вектора напряженности. Однако в отличие от вектора $\overrightarrow{E}$ линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость
Пример 1

Задание: Пластины плоского конденсатора имеют заряд q. Как изменится вектор электрической индукции, если пространство между пластинами сначала было заполнено воздухом, а за тем диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon \ne {\varepsilon }_{vozd}$.

Решение:

Пусть поле в конденсаторе в первом случае характеризуется вектором смещения (${\varepsilon }_{vozd}=1$):

\[\overrightarrow{D_1}={\varepsilon }_{vozd}{\varepsilon }_0\overrightarrow{E_1}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E_1}\left(1.1\right).\]

Заполним пространство между пластинами конденсатора однородным и изотропным диэлектриком. Под действием поля в конденсаторе диэлектрик поляризуется. На его поверхности появляются связанные заряды с плотностью (${\sigma }_{sv}$). Они создают дополнительное поле, напряженность которого равна:

\[E'=\frac{{\sigma }_{sv}}{{\varepsilon }_0}\left(1.2\right).\]

Векторы поля $\overrightarrow{E'}$ и $\overrightarrow{E_1}$ направлены в противоположные стороны, при чем:

\[E_1=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_0}\ \left(1.3\right).\]

Результирующее поле в присутствии диэлектрика можно записать как:

\[E=E_1-E'=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_0}-\frac{{\sigma }_{sv}}{{\varepsilon }_0}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\left(\sigma -{\sigma }_{sv}\right)\left(1.4\right).\]

Зная, что плотность связанных зарядов можно найти как:

\[{\sigma }_{sv}=\varkappa {\varepsilon }_0E\ \left(1.5\right).\]

Подставим (1.5) в (1.4), получим:

\[E=E_1-\varkappa E\ \left(1.6\right).\]

Выразим из (1.6) напряженность поля E, получим:

\[E=\frac{E_1}{1+\varkappa }=\frac{E_1}{\varepsilon }\ \left(1.7\right).\]

Следовательно, вектор электрической индукции в диэлектрике равен:

\[D=\varepsilon {\varepsilon }_0\frac{E_1}{\varepsilon }={\varepsilon }_0E_1=D_1.\]

Ответ: Вектор электрической индукции не изменится.

Пример 2

Задание: В зазор между разноименно заряженными пластинами внесли пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, которая не несет свободных зарядов. Штриховой линией на рисунке изображена замкнутая поверхность (рис.1). Чему равен поток вектора электрической индукции ($Ф_D$) через эту поверхность?

Пример 2

Рис. 1

Решение:

Поток вектора электрического смещения ($Ф_D$) через замкнутую поверхность $S$ равен:

\[Ф_D=\int\limits_S{\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}\left(2.1\right).}\]

С другой стороны по теореме Остроградского -- Гаусса $Ф_D$ равен суммарному свободному заряду, который находится внутри заданной поверхности. По условию нашей задачи свободных зарядов в диэлектрике и в пространстве между пластинами конденсатора, которое не занято диэлектриком свободных зарядов нет, следовательно, поток вектора электрической индукции равен нулю.

Ответ: $Ф_D$=0.

Пример 3

Задание: На рисунке 2 изображена замкнутая поверхность $S$ которая проходит так, что захватывает часть пластины изотропного диэлектрика. При этом известно, что поток вектора электрической индукции через эту поверхность равен нулю, а поток вектора напряженности больше нуля. Какие выводы можно сделать?

Пример 3

Рис. 2

Решение:

Если по условию задачи, поток вектора электрического смещения ($Ф_D$) через замкнутую поверхность равен нулю:

\[Ф_D=0\left(3.1\right),\ \]

а он по теореме Остроградского -- Гаусса $Ф_D$ равен суммарному свободному заряду, который находится внутри заданной поверхности, следовательно, то внутри этой поверхности нет свободных зарядов:

\[Ф_D=\int\limits_S{\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=Q=0\left(3.2\right).}\]

Но при этом сказано, что отличен от нуля поток вектора напряженности, но его поток равен сумме зарядов и свободных и связанных, следовательно, в диэлектрике присутствуют связанные заряды.

Ответ: Свободных зарядов нет, связанные заряды есть и их сумма положительна.

Ограниченное предложение
Введите email чтобы зафиксировать скидку
300 ₽
На любой первый заказ в Автор24