Определение квазистационарного поля
В том случае, если рассматривают электрические колебания, то имеют дело с токами, которые меняются во времени. Однако мы помним, что важнейшие законы для токов, закон Ома и законы Кирхгофа сформулированы для тока, который во времени не изменяется (постоянного тока). Эти законы выполняются и для мгновенных значений тока и напряжения, если изменения происходят с небольшой скоростью. В случае рассмотрения изменяющихся полей и токов необходимо учесть следующее:
-
Скорость распространения электромагнитных полей конечна (скорость распространения электромагнитных возмущений велика, в вакууме равна скорости света $(c=3\cdot {10}^8\frac{м}{с})$).
-
Источником магнитного поля является переменное электрическое поле, то есть существуют токи смещения ($j_{sm}-объемная\ плотность\ тока\ смещения$), которые равны:
При небольшой частоте переменного тока эти факторы обычно игнорируют. Если принимают то, что электромагнитные поля распространяются мгновенно, а магнитное поле порождается только токами проводимости, то такие токи и поля называют квазистационарными.
Критерий квазистационарности полей
Сформулируем математические критерии квазистационарности поля.
- Допустим, что существует периодический процесс, который распространяется от источника со скоростью света ($c$), длина волны ($\lambda $) при этом для данного процесса равна:
где $T$ - период изменения заданного процесса во времени. Тогда критерий, который говорит о том, что в квазистационарных полях пренебрегают конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений, записывают так:
где пространственные изменения величины, которая характеризует процесс, изучаются в области линейные размеры которой ($l$) много меньше длины волны. Роль данного критерия определена частотой и пространственными размерами области, в которой рассматривается процесс.
Допустим, что длина цепи равна $l$. Тогда если за время равное:
требуемое для передачи возмущения в самую дальнюю точку цепи, сила тока изменяется несущественно, следовательно, мгновенные значения силы тока для всех сечений цепи очень близкие. Токи, которые удовлетворяют данному условию, называют квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности можно записать в виде:
где $T$ - период изменений.
Для переходного непериодического процесса условием квазистационарности служит неравенство:
где $\triangle $-промежуток времени в течение которого происходит изменение.
Таким образом, поле переменных токов может удовлетворять условиям квазистационарности только в ограниченной области пространства, не далеко от токов, в том случае, если сила токов, заряды конденсаторов и т.д. незначительно изменяются за промежуток времени, который необходим для распространения электромагнитного возмущения. Кроме того, переменные токи могут быть квазистационарными, только если они замкнуты.
По сути, основным условием квазистационарности полей можно назвать низкую скорость их изменения.
Для того чтобы изменение параметров в системе можно было считать мгновенным, необходимо, чтобы длительность их скачка была много меньше, чем время релаксации. Время релаксации электрической цепи, например, зависит от характеристик элементов, которые в нее входят.
- Если вектор электрического смещения изменяется, например, в соответствии с законом:
то в соответствии с формулой (1) токи смещения имеют вид:
Следовательно, пренебречь наличием токов смещения в сравнении с эффектами, которые вызывают токи проводимости можно, если выполняется условие для модулей соответствующих токов:
Условие (9) может быть записано в виде:
где плотность токов проводимости связана с напряженностью электрического поля дифференциальной формой закона Ома как:
а вместо токов смещения используется правая часть формулы (8).
Надо отметить, что для переменных магнитных полей в вакууме и диэлектриках учитывать токи смещения необходимо, так как в этих веществах источниками магнитного поля являются именно они. Наличие токов смещения являются причиной существования электромагнитных волн.
Переменные токи, которые используют в технике сильных токов, с достаточной степенью точности удовлетворяют условиям квазистационарности. К электрическим колебаниям, которые используются в радиотехнике, теория квазистационарных токов не применима (или ограниченно применима), так как данные колебания считаются быстрыми.
Задание: Для цепи 3 м чему равно запаздывание $\tau ?$ До какой частоты ($\nu$) токи можно считать квазистационарными?
Решение:
Основой для решения задачи является условие стационарности токов в виде:
\[\tau =\frac{l}{c}\ll T\left(1.1\right).\]Вычислим запаздывание $(\tau )$ для заданной цепи, если мы знаем, что скорость света в вакууме равна $c=3\cdot {10}^8\frac{м}{с}$:
\[\tau =\frac{3}{3\cdot {10}^8}={10}^{-8}\left(с\right).\]Можно сказать, что вплоть до $T={10}^{-6}c$ токи в этой цепи можно будет считать квазистационарными. Период связан с частотой соотношением:
\[\nu =\frac{1}{T}\ \left(1.2\right).\]Вычислим соответствующую частоту, при которой будем считать ток квазистационарным для заданной цепи:
\[\nu =\frac{1}{{10}^{-6}}={10}^6\left(Гц\right).\]Ответ: $\tau ={10}^{-8}с.$ $\nu ={10}^6Гц.$
Задание: Объясните почему, если рассматривают распределение тока по проводника в пределах электростанции, переменный ток можно считать квазистационарным?
Решение:
Для технического тока частота равна $\nu =50\ Гц$. Найдем длину волны такого тока, используя формулу:
\[\lambda =cT\left(2.1\right),\]где $T$ - период, который связан с частотой как:
\[\nu=\frac{1}{T}\left(2.2\right).\]Вычислим длину волны, зная скорость света в вакууме ($c=3\cdot {10}^8\frac{м}{с}$):
\[\lambda =c\frac{1}{\nu }=\frac{3\cdot {10}^8}{50}\approx 6\cdot 10^6\left(м\right).\]Из величины $\lambda =6\cdot 10^6м$ очевидно, что если мы будем рассматривать любую область пространства, где изменяются токи в пределах электростанции, то условие:
\[l\ll \lambda \ \left(2.3\right)\]будет выполняться и ток и соответствующее ему поле можно считать квазистационарным.
При этом следует учесть, если время скачка значений переменного тока мало, например, $\triangle t={10}^{-9}c$ в таком случае критерий стационарности примет вид:
\[l\ll c\triangle t,\ где\ c\triangle t\approx \ {10}^{-9}\cdot 3\cdot {10}^8=0,3\ (м)(2.4)\]такой процесс можно считать квазистационарным только на расстояниях, существенно меньших $0,3$ м.
