Вычислительные методы в экономике

Сущность вычислительных методов

Вычислительные методы подразумевают представление исходных данных экономической задачи и ее решения в форме числа или набора чисел.

Большинство вычислительных методов связано с той или иной математической программой. В их основе лежат методы решения системы линейных уравнений, интерполирования и приближённого вычисления функций, численного интегрирования, численного решения систем нелинейных уравнений, численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, численного решения уравнений частных производных, решения оптимизационных задач.

Основными требованиями, предъявляемыми к вычислительному алгоритму, являются:

• алгоритм должен давать единственное решение с определенной точностью с заданным числом шагов или делать вывод о невозможности его получения;
• устойчивость вычислительного алгоритма;
• минимальная сложность вычислительного алгоритма.

Методология

Все экономические задачи, предполагающие применение вычислительных методов, можно решить, соблюдая определенную последовательность.

Исходную экономическую задачу заменяет другая задача - вычислительный алгоритм. Среди основных требований к вычислительному алгоритму можно назвать высокую точность, экономичность и устойчивость. Во время перехода к дискретной модели может появиться погрешность аппроксимации, а в процессе реализации вычислений — погрешности округлений, именно поэтому реальные вычислительные алгоритмы требуют анализа погрешности и устойчивости вычислительных алгоритмов.

Современная наука в решении экономических задач требует формулировки математической модели в терминологии дифференциальных и интегральных уравнений функции непрерывного аргумента. Для перехода от континуальных к дискретным математическим моделям используется замена функций непрерывного аргумента на функции дискретного аргумента. В получившемся конечно-разностных уравнении производная и интеграл представляют собой конечную сумму и разностное отношение соответственно. Получившаяся в результате модель является системой алгебраических уравнений, решение которой с высокой точностью требует составления вычислительного алгоритма, который может быть реализован на вычислительных машинах. Для решения больших систем следует воспользоваться собственными значениями и векторами матриц, сведением нелинейных систем уравнений к линейным. Некоторые экономические модели предполагают использование непосредственно статистической выборки или крупных объектов. Помимо этого, строится нерегулярная система, для которой вычислительный метод сочетается с теорией графов. В отдельный класс можно выделить некорректно сформулированные задачи.

Вычислительные алгоритмы содержат параметры, которых нет в исходных параметрах задачи. Выбор этого параметра позволяет сблизить решение первой и второй задач. Для различных классов экономических задач можно использовать разнообразные вычислительные методы решения. В зависимости от способа дискретизации вычислительные методы могут быть проекционными и конечно-разностными, а в зависимости от способа решения — прямыми и итерационным. Методы конечных разностей подразумевают задачу определения значения функции в дискретном множестве точек, тогда как проекционные методы функция представляют собой линейную комбинацию элементов. Дискретная функция при этом может рассмотрена в качестве линейной комбинации полиномов. Особенностью прямых методов является их слабая устойчивость, итерационные методы обладают более высокой устойчивостью и быстрой сходимостью.

Неточности в реализации алгоритма, вызванные округлением при вычислениях, не могут существенно изменить его свойства. Следует помнить, что вычислительные программы выполняют всего четыре ключевых арифметических операции. При этом точность решения должна быть выше, чем ожидаемая точность экономического эксперимента. Довольно долго исследователи не принимали во внимание погрешности округления при определении условий и критериев роста погрешности. Необходимость гарантированной оценки точности реального вычисления привела к появлению интервального анализа. Оптимальный алгоритм имеет минимальную погрешность или минимальное число операций для заданного уровня погрешности.

Математическое моделирование в экономике

Основным назначением таких моделей является проведение анализа, построение прогноза и выбор оптимального решения в разных экономических областях. Так, макроэкономическая модель описывает экономику как единое целое со сложной взаимосвязью материальных и финансовых показателей. Микроэкономическая модель описывает взаимодействие функциональных и структурных элементов экономики (предприятий и фирм).

Разработка экономико-математической модели является сложным, трудоемким процессом, включающим ряд этапов:

1. Определение основной цели моделирования объекта, формулировка условий экономической задачи.
2. Построение концептуальной модели с допущениями и упрощениями, позволяющими исключить те параметры объекта, влияние которых несущественно.
3. Построение собственно математической модели: ввод в ее описание математических символов и обозначений, определение исходных и результирующих данных, математическое представление цели моделирования.
4. Выбор алгоритма решения с помощью вычислительных методов.
5. Программная реализация модели с учетом выбранного вычислительного алгоритма.
6. Анализ результатов, сопоставление с теоретическим прогнозом и практическими данными.