Парадокс Браеса
Парадокс Браеса был выведен немецким математиком Дитрихом Браесом в 1968 году, он гласит, что добавление дополнительной мощности в сеть с условием, что двигающиеся в сети сущности сами определяют свой маршрут, может стать причиной снижения общей производительности. Это происходит потому, что равновесие Нэша в таких системах не всегда является оптимальным.
Примером парадокса может быть дорожная сеть. Пусть задана некоторая сеть дорог, известно число автомобилей для каждого узла, которые выезжают оттуда, и пункт назначения данных автомобилей. Одни дороги могут быть предпочтительнее других не только потому, что качество их покрытия лучше, но и по причине наименьшей плотности потока. Если же водители будут выбирать маршруты, которые выглядят наиболее благоприятными для них, то время в пути может и не быть минимальным. Существуют и примеры, в которых перераспределение трафика при создании дополнительных дорог не приводит к уменьшению времени нахождения в пути.
Ярким примером парадокса Браеса в реальной жизни является улучшение дорожной ситуации в Штутгарте после перекрытия секции одной новой дороги. А закрытие в 1990 году 42-й улицы в Нью-Йорке позволило сократить число дорожных заторов в данном районе.
Исследование парадокса Браеса с помощью методов экспериментальной экономики
На сегодняшний день важнейшей задачей многих исследователей является нахождение решения транспортных проблем крупных городов. Решениями данной проблемы могут быть:
- Сокращение числа транспортных средств;
- Открытие платных дорог;
- Расширение магистралей;
- Строительство новых дорог.
Однако, любое решение может привести не только к положительным, но и к отрицательным результатам. Оказалось, что строительство новых дорог тоже может отрицательно сказаться на значении транспортных потоков. Это нашло выражение в парадоксе Браеса.
Транспортные задачи могут исследоваться различными методами, в которых используется транспортная сеть – ориентированный граф. Рассмотрим такой пример. Пусть наполненность сети равна 6 тысяч участников движения в час. Участники должны добраться из точки 1 в точку 4 по одному из двух путей, которые представлены на рисунке 1. Необходимые затраты, т.е. вес ребра, указан на нем, а y(ij) – это количество автомобилистов, поехавших по данному ребру. Все участники движения стараются минимизировать свои затраты, поэтому равновесие Нэша в данной ситуации – это разделение потоков на равные части по двум путям. Таким образом, x(124) = x(134) = 3, x(1k4) – это количество участников, которые выбрали путь k, а полное время в пути равняется 83 минутам. При строительстве новой дополнительной дороги из точки 3 в точку 2 время в пути увеличивается при равном распределении потоков. Открытие третьего пути приведет к равновесному распределению, которое будет равняться x(124) =x (134) = x(1324) = 2, при этом общие затраты должны снизиться, но время в пути составит 92 минуты. Из рассмотренной ситуации можно сделать вывод, что открытие дополнительной дороги позволит установить единственное равновесие Нэша, которое не будет оптимальным по Парето, в этом и состоит парадокс Браеса.
Рисунок 1. Пример парадокса Браеса 1. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Для изучения парадокса Браеса на практике, Лабораторией экспериментальной экономики проводились игры, в которых участвовали студенты. Для этого использовалась программа, основанная на оболочке z-Tree, воспроизводящая виды транспортной сети. В данном эксперименте принимали участие 6 человек, задачей которых был выбор одного из двух путей в одном случае, и одного из трех – в другом. В симметричном случае игроки довольно быстро приходили к равновесию, которое было оптимальным по Парето. в ситуации с дополнительной дорогой участники выбирали не оптимальный исход по Парето, демонстрируя тем самым парадокс Браеса.
Пример парадокса Браеса
Рассмотрим другой пример парадокса Браеса (Рисунок 2). Предполагается, что автомобилисты желают проехать от пункта Start до пункта End. Существует два пути – через точку А и через точку В. Время в пути от пункта Start до точки А находится в зависимости от плотности автомобильного потока и равняется числу автомобилей (Т), поделенному на 100. Время в пути от пункта Start до точки В не зависит от числа автомобилей и равняется 45 минутам. По аналогии, время в пути из А в End занимает 45 минут, а путь из В в пункт назначения равен Т / 100. При условии, что А и В не соединены, время по маршруту через точку А будет равняться А / 100 + 45, на по маршруту через точку В – В / 100 + 45. Если один путь будет короче, то отсутствует равновесие Нэша, и все рациональные водители переключились бы на более короткий путь. Предположим, что из отправного пункта выехало 4000 автомобилей, тогда согласно тому, что А + В = 4000, в системе установится равновесие при А = В = 2000. Таким образом, в не зависимости от выбранной дороги автомобили будут в пути 2000 / 100 + 45 = 65 минут.
Рисунок 2. Пример парадокса Браеса 2. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим пример, когда пунктирная линия, соединяющая А и В, является новой дорогой, езда по которой занимает примерно 40 минут. В данной ситуации все автомобилисты предпочтут поехать по маршруту через точку А, поскольку даже в самом худшем случае данный маршрут займет Т/100 = 4000 / 100 = 40 минут, тогда как путь через точку В гарантировано будет равняться 45 минутам. В точке А все рациональные водители предпочтут добраться по более короткому пути до точки В, а затем доехать до End, поскольку маршрут А – В - End в худшем случае равен только 0 + 4000 / 100 = 40 минутам. Из этого следует, что время в пути, затрачиваемое каждым водителем, будет равняться 4000 / 100 + 4000 / 100 = 80 минутам, т.е. после открытия новой дороги увеличится время в пути на 15 минут.
В случае, если водители договорились не использовать дорогу между А и В, они бы выиграли время, но так как каждый отдельный автомобилист старается сэкономить время, используя дорогу А-В, то данное распределение не представляется социально оптимальным. Это и является проявлением парадокса Браеса.
