На этой странице вы сможете познакомиться с формулами для вычисления площади полной и боковой поверхности пирамиды. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы и примеры вычисления площадей пирамид.
Пирамида представляет собой объёмную фигуру, в основании которой лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками. У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а боковые грани равны.
Рассмотрим, как вычислять площадь полной поверхности правильной пирамиды.
Полная площадь поверхности пирамиды через высоту и сторону основания
Суммарная площадь всех сторон и основания правильной пирамиды определяется по формуле:
${S =\frac{n \cdot a}{2} \cdot (\frac{a}{2 \cdot \mathrm{tg}\frac{180}{n}} + \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2 \cdot \mathrm{tg}(\frac{180}{n})})^2})}$
Здесь:
$a$ — длина стороны основания;
$n$ — число сторон основания;
$H$ — высота пирамиды.
Для вычисления полной поверхности правильного тетраэдра можно применять более простую формулу.
Полная площадь тетраэдра
Для правильного тетраэдра полная площадь поверхности определяется по формуле:
$S =\sqrt3 \cdot a^2$, где
$a$ — длина стороны тетраэдра.
Рассмотрим пример использования формулы для правильного тетраэдра.
Задача
Боковая грань правильного тетраэдра равна $7$ см. Чему равна площадь полной поверхности?
Решение:
Вспомним, чему равна площадь правильного треугольника:
$S_∆ = \sqrt3 \cdot \frac{a^2}{4} = \sqrt3 \cdot \frac{7^2}{4} ≈ 21.21$ кв. см.
Мы нашли площадь одной грани правильного тетраэдра. Всего у тетраэдра 4 грани, а это значит что вся площадь поверхности равна произведению площади одной грани на количество граней, равное четырём:
$S = 21.21 \cdot 4 = 84,87$ кв. см.
Полученный ответ проверим онлайн-калькулятором. Результаты совпадают, а значит ответ — верный.
Боковую поверхность правильной пирамиды чаще всего вычисляют по двум формулам — через периметр и апофему или через сторону основания и высоту.
Апофемой пирамиды называется высота боковой грани.
Боковая поверхность пирамиды через периметр и апофему
Боковая поверхность правильной пирамиды в данном случае определяется по формуле:
$S_б = \frac12 \cdot P \cdot c$, где
$P$ — периметр основания пирамиды;
$c$ — апофема пирамиды.
При этом периметр правильного многоугольника может быть определён по формуле:
$P = a \cdot n$, где
$a$ — длина стороны многоугольника;
$n$ — количество сторон.
Вычислим боковую поверхность через апофему и периметр на примере 4-угольной пирамиды.
Задача
Дана правильная пирамида с квадратом в основании, сторона которого равна $5$ см. Апофема пирамиды равна $9$ см. Вычислите площадь боковой поверхности.
Решение:
Рассчитаем периметр основания. Для квадрата периметр равен умноженной на 4 стороне:
$P_{осн.} = 4 \cdot a^2 = 20$ см
Теперь сосчитаем площадь боковой поверхности:
$S_б = \frac12 \cdot 20 \cdot 9 = 90$ кв. см.
Боковая поверхность пирамиды через высоту и сторону основания
В случае если дана высота и сторона основания правильной пирамиды, площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле:
$S_б = \frac{n \cdot a}{2} \cdot \sqrt{h^2 + (\frac{a} {2 \cdot \mathrm{tg}(180 / n)})^2}$, здесь
$n$ — количество сторон основания;
$a$ — длина стороны основания;
$h$ — высота пирамиды.
