Площадь пирамиды

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

На этой странице вы сможете познакомиться с формулами для вычисления площади полной и боковой поверхности пирамиды. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы и примеры вычисления площадей пирамид.

Определение 1

Пирамида представляет собой объёмную фигуру, в основании которой лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками. У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а боковые грани равны.

Рассмотрим, как вычислять площадь полной поверхности правильной пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды через высоту и сторону основания

Суммарная площадь всех сторон и основания правильной пирамиды определяется по формуле:

${S =\frac{n \cdot a}{2} \cdot (\frac{a}{2 \cdot \mathrm{tg}\frac{180}{n}} + \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2 \cdot \mathrm{tg}(\frac{180}{n})})^2})}$

Здесь:

$a$ — длина стороны основания;

$n$ — число сторон основания;

$H$ — высота пирамиды.

Для вычисления полной поверхности правильного тетраэдра можно применять более простую формулу.

Полная площадь тетраэдра

Для правильного тетраэдра полная площадь поверхности определяется по формуле:

$S =\sqrt3 \cdot a^2$ , где

$a$ — длина стороны тетраэдра.

Рассмотрим пример использования формулы для правильного тетраэдра.

Пример 1

Задача

Боковая грань правильного тетраэдра равна $7$ см. Чему равна площадь полной поверхности?

Решение:

Вспомним, чему равна площадь правильного треугольника:

$S_∆ = \sqrt3 \cdot \frac{a^2}{4} = \sqrt3 \cdot \frac{7^2}{4} ≈ 21.21$ кв. см.

Мы нашли площадь одной грани правильного тетраэдра. Всего у тетраэдра 4 грани, а это значит что вся площадь поверхности равна произведению площади одной грани на количество граней, равное четырём:

$S = 21.21 \cdot 4 = 84,87$ кв. см.

Полученный ответ проверим онлайн-калькулятором. Результаты совпадают, а значит ответ — верный.

Боковую поверхность правильной пирамиды чаще всего вычисляют по двум формулам — через периметр и апофему или через сторону основания и высоту.

Определение 2

Апофемой пирамиды называется высота боковой грани.

Боковая поверхность пирамиды через периметр и апофему

Боковая поверхность правильной пирамиды в данном случае определяется по формуле:

$S_б = \frac12 \cdot P \cdot c$ , где

$P$ — периметр основания пирамиды;

$c$ — апофема пирамиды.

При этом периметр правильного многоугольника может быть определён по формуле:

$P = a \cdot n$ , где

$a$ — длина стороны многоугольника;

$n$ — количество сторон.

Вычислим боковую поверхность через апофему и периметр на примере 4-угольной пирамиды.

Пример 2

Задача

Дана правильная пирамида с квадратом в основании, сторона которого равна $5$ см. Апофема пирамиды равна $9$ см. Вычислите площадь боковой поверхности.

Решение:

Рассчитаем периметр основания. Для квадрата периметр равен умноженной на 4 стороне:

$P_{осн.} = 4 \cdot a^2 = 20$ см

Теперь сосчитаем площадь боковой поверхности:

$S_б = \frac12 \cdot 20 \cdot 9 = 90$ кв. см.