Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Проекция вектора на вектор

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Калькуляторы / Проекция вектора на вектор
Проекция вектора на вектор

На этой странице вы узнаете, что такое проекция вектора на вектор, а также как найти проекцию вектора на вектор.

Также добавлен онлайн-калькулятор для расчёта длины проекции.

Определение 1

Проекция вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ — это отрезок, получаемый при опущении перпендикуляров из начала и конца вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ или его продолжение.

Ниже добавлен онлайн-калькулятор для поиска длины проекции $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ на плоскости. Вводить значения координат можно последовательно, используя для переключения клавишу Tab.

Рассмотрим пример использования формулы для нахождения проекции вектора на вектор на плоскости.

Пример 1

Задача

Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{3; 4\}$ и $\{7; 15\}$. Найдите, чему равна проекция вектора $\vec{a}$ на второй вектор.

Решение:

Воспользуемся приведённой выше формулой:

$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{3 \cdot 7 + 4 \cdot 15} {\sqrt{7^2 + 15^2}} = \frac{21 + 60}{\sqrt{49 + 225}}≈4.89$.

Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, следовательно, решение правильное.

Помощь со студенческой работой на тему
Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на вектор в пространстве

В пространстве координатная формула для нахождения проекции $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ примет вид:

$Пр_\vec{b} \vec{a} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$, где

$x_1, y_1, z_1$ — координаты вектора $\vec{a}$;

$x_2, y_2, z_2$ — координаты вектора $\vec{b}$.

Решим пример на использование этой формулы.

Пример 2

Задача

Даны вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{1; 2; 3\}$ и $\{5; 5; 13\}$. Чему равна проекция первого вектора на второй?

Решение:

Рассчитаем длину проекции по вышеприведённой формуле:

$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 13}{\sqrt{5^2 + 5^2 + 13^2}} = \frac{5 + 10 + 39}{\sqrt{25 + 25 + 169}}≈ 3.65$.

Ответ совпадает с ответом калькулятора, следовательно, расчёты проведены верно.