Проекция вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ — длина отрезка, который получается, если опустить перпендикуляры из начала и конца вектора $\vec{a}$ на прямую, где лежит вектор $\vec{b}$. Вычисляют проекцию по формуле:
$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.
Здесь $x_1, y_1, z_1$ — координаты вектора $\vec{a}$, а $x_2, y_2, z_2$ — координаты вектора $\vec{b}$. В статье разберем алгоритм расчета, посмотрим на примеры и покажем, как использовать онлайн-калькулятор.
Пример решения задачи
Расчет проекции на плоскости
Задача
Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{3; 4\}$ и $\{7; 15\}$. Найдите, чему равна проекция вектора $\vec{a}$ на второй вектор.
Решение:
Находим скалярное произведение:
$3 \cdot 7 + 4 \cdot 15 = 21 + 60 = 81$.
Считаем длину вектора $\vec{b}$:
$\sqrt{7^2 + 15^2} = \sqrt{49 + 225} = \sqrt{274}$.
Делим произведение на длину:
$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{81}{\sqrt{274}} \approx 4.89$.
Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, следовательно, решение правильное.
Расчет проекции в пространстве
Задача
Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{1; 2; 3\}$ и $\{5; 5; 13\}$. Чему равна проекция первого вектора на второй?
Решение:
Считаем скалярное произведение:
$1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 13 = 5 + 10 + 39 = 54$.
Вычисляем длину вектора $\vec{b}$:
$\sqrt{5^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{25 + 25 + 169} = \sqrt{219}$.
Получаем результат:
$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{54}{\sqrt{219}} \approx 3.65$.
Ответ совпадает с ответом калькулятора, следовательно, расчеты проведены верно.
Онлайн-калькулятор
Чтобы ускорить расчеты, воспользуйтесь нашим инструментом. Впишите координаты векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ в поля ввода. Переключайтесь между ячейками клавишей Tab.
Проекция вектора на вектор в пространстве
В пространстве координатная формула для нахождения проекции $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ примет вид:
$Пр_\vec{b} \vec{a} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$, где
$x_1, y_1, z_1$ — координаты вектора $\vec{a}$;
$x_2, y_2, z_2$ — координаты вектора $\vec{b}$.
Нажмите «Рассчитать». Система подставит ваши данные в формулу:
$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
Найти эксперта
и покажет результат. Для работы с двумерными векторами оставьте поля $z_1, z_2$ пустыми или впишите в них ноль.
Калькулятор исключает ошибки при сложении и извлечении корня. Полученное число — длина проекции. Проверить себя можно по нашим примерам: $4.89$ для плоскости и $3.65$ для пространства. Значения пересчитываются моментально при обновлении любого параметра.
Часто задаваемые вопросы
Что показывает длина проекции вектора?
Длина проекции — скалярная величина. Она отражает «вклад» вектора $\vec{a}$ в направление вектора $\vec{b}$. Это показывает, какую часть длины вектора $\vec{a}$ получится «уложить» вдоль прямой, содержащей вектор $\vec{b}$.
Нужна ли для расчета длина самого вектора?
Нет, длина вектора $\vec{a}$ не участвует в формуле. Вы используете только координаты обоих векторов ($x_1, y_1, z_1$ и $x_2, y_2, z_2$). В знаменателе стоит длина вектора-основания $\vec{b}$, которую мы находим как $\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$.
Можно ли найти проекцию, если координаты вектора b — нули?
Нет. Если $\vec{b}$ — нулевой вектор, знаменатель формулы $Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$ становится равен нулю.
Делить на ноль нельзя, поэтому проекция на нулевой вектор не существует.
Найти эксперта
