Отличие критерия Найквиста от критериев Гурвица, Рауса и Михайлов и его преимущество
Критерий Найквиста – это критерий, который позволяет оценить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.
Критерий был сформулирован в 1932 году американским физиком Найквистом, который занимался исследованием свойств электронных усилителей с обратной связью. В отличие от критериев Михайлова, Гурвица и Рауса, основанных на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет делать выводы об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы. В этом заключается значительное преимущество критерия Найквиста, потому что построение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутого контура для большинства реальных систем проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно такое построение упрощается для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев. В том случае, когда неизвестно математическое описание одной или нескольких конструктивных составляющих, то есть оценка их свойств возможна только экспериментально, критерий Найквиста является единственным пригодным.
Формулировки критерия Найквиста
В критерии Найквиста используется комплексная частотная характеристика разомкнутой системы, имеющее действительное и мнимое слагаемое:
$W(jw) = U(w)+jV(w)$
Для построения комплексной частотной характеристики задается w от 0 до бесконечности, в результате чего на комплексной характеристике получается годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки 1 на действительной оси, позволяют делать выводы об устойчивости замкнутой системы.
Годограф – это кривая, которая соединяет концы векторов переменной величины, отложенных в разные моменты времени, но из одной точки.
Известны формулировки Найквиста для трех случаев:
- Разомкнутая система устойчива.
- Разомкнутая система неустойчива.
- Разомкнутая система астатическая.
Допустим, что разомкнутая система устойчива. В этом случае, если годограф такой устойчивой системы при изменении w от 0 до бесконечности не охватывает точку -1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. В противном случае (когда годограф не охватывает точку -1) замкнутая система будет неустойчива. Примеры годографов, которые соответствуют устойчивой и неустойчивой замкнутой системам изображены на рисунке ниже.
Рисунок 1. Примеры годографов, которые соответствуют устойчивой и неустойчивой замкнутой системам. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для второй формулировки критерия Найквиста используется такое понятие, как охват точки годографом в отрицательном или положительном направлениях. Положительным направлением считается такое, при котором конец вектора двигается против часовой стрелки, а отрицательным - по часовой стрелке. Допустим, что разомкнутая система неустойчива, тогда годограф неустойчивой разомкнутой системы в случае изменения w от 0 до бесконечности охватывает точку -1 на оси абсцисс в положительном направлении m/2 раз, где m - количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то тогда замкнутая система будет устойчивой. Примеры годографов, которые соответствуют замкнутым системам при рассмотрении второго случая представлены на рисунке ниже, m = 2.
Рисунок 2. Примеры годографов, которые соответствуют замкнутым системам. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В том случае, если разомкнутая система имеет передаточную функцию, в которой содержится комплексная переменная в знаменателе р, то есть
$W(p) = B(p) / pD(p)$
при w = 0, частотная характеристика будет иметь неопределенность. В данном случае амплитуда становится бесконечной, годограф получается с бесконечной ветвью. Однако, если годограф дополнить ветвью зеркально отраженной и провести полуокружность бесконечно большого радиуса, чтобы она пересекала положительную часть абсцисс, то может быть использована первая формулировка критерия Найквиста.
Рассмотрим случай, когда разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые замыкаются на бесконечности. Если точка -1 на оси абсцисс оказалась вне замкнутой кривой, система является замкнутой устойчивой, в противном случае она неустойчива. Примеры данных годографов изображены на рисунке ниже.
Рисунок 3. Примеры годографов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Замкнутая система будет располагаться на границе устойчивости в том случае, если годограф разомкнутой системы проходит через точку -1 оси абсцисс. Записать это аналитически можно следующим образом:
$1+W(jw)=0$
Кривые Найквиста показывают влияние коэффициента усиления на степень устойчивости системы.
