Релевантная логика и паранепротиворечивая логика

Характеристика паранепротиворечивой логики

В рамках паранепротиворечивой логики не имеет места принцип, не позволяющий выводить из логического противоречия произвольное предложение.

В паранепротиворечивой логике противоречие трактуется не так, как в классической. Она исключает возможность вывода любых предложений из противоречия, за счет чего противоречия перестают угрожать теории. Однако это не обеспечивает устранение принципиальной необходимости избавляться в ходе дальнейшего развития теории от возникающих противоречий.

Паранепротиворечивая логика - это логическая система, которая позволяет существовать противоречиям, но не допускает их противоречивого использования в выводах. В отличие от классической логики, которая стремится исключить любое противоречие, паранепротиворечивая логика предполагает, что противоречия могут возникать в реальном мире, и пытается разработать методы их обработки. В паранепротиворечивой логике противоречия не являются проблемой, если они не приводят к логической ошибке в выводах. Например, в паранепротиворечивой логике возможно существование двух противоречивых утверждений, но при этом ни одно из них не приводит к логической ошибке в выводе.

Строгое определение паранепротиворечивой логики выводится через характеристику отношения логического следования. Это отношение называют чрезмерным (explosive) в случае, если оно удовлетворяет следующему условию: для любых формул A и B, из A и не-A следует произвольная формула B. Большая часть стандартных логик (не только классическая, но и интуиционистская, и ряд многозначных) являются чрезмерными. Паранепротиворечивой признается только такая логика, отношение логического следования которой не чрезмерно.

Паранепротиворечивая логика возникла в ответ на потребность в разработке теорий, которые одновременно были бы:

• противоречивыми,
• нетривиальными.

В стандартных логических системах противоречивость и тривиальность не различаются: противоречие теории означает ее тривиальность. В паранепротиворечивой логике могут быть сформулированы противоречивые, но нетривиальные теории. Именно такое определение паранепротиворечивой логики предложили (независимо друг от друга) польский логик Ст. Яськовский (1948) и бразильский логик Н. С. А. да Коста. Иногда встречается другой критерий паранепротиворечивости – так называемый критерий Яськовского - применимый для логических исчислений с правилом вывода modus ponens: в таких системах не должен иметь места закон Дунса Скотта A ⊃ (¬A ⊃ B).

Виды паранепротиворечивых логик

Опровержение и ограничение принципа «из противоречия следует что угодно» может производиться разными способами. Это порождает большое разнообразие непротиворечивых логик. Основные подходы, реализуемые в развитии пропозициональных паранепротиворечивых логик (в качестве их непосредственного расширения выступают их предикатные варианты):

• дискурсивные (дискуссивные) паранепротиворечивые логики. Это исторически первый вид паранепротиворечивых логик, построенный Ст. Яськовским в 1948 году. Эта логика обозначается D2. В соответствии с названием, эта логика служит для того, чтобы выявить логику дискуссии, у участников которой могут быть противоречивые мнения. Яськовский использует для определения этой логики подходящую интерпретацию в модальной логике К. Льюиса S5. Такие логики часто называют не-адъюнктивными. Существуют различные обобщения дискурсивных логик, им посвящено множество исследований. Более того, в 1984 году было доказано, что дискуссивная логика может быть построена во всякой нормальной модальной логике;
• релевантные логики – один из классов непротиворечивой логики по мотивации и развитию. В силу сформулированного А. Белнапом критерия релевантности (1960 год), в релевантной логике доказуемой является не каждая формула, главным знаком которой выступает релевантная импликация, а антецедент характеризуется противоречивостью. К примеру, недоказуема формула (A & ¬A) → B. Паранепротиворечивость релевантных логик может быть показана с помощью различных семантических подходов;
• многозначные логики. Одним из самых простых и наглядных способов конструирования паранепротиворечивости является добавление к классическим двум истинностным значениям (истина и ложь) третьего истинностного значения S. Разные авторы интерпретируют его как «противоречиво», «парадоксально» или «антиномично». Приняв в качестве выделенных истинностных значений 1 и S и взяв S в качестве неподвижной точки, что позволяет определить отрицание как ¬(S) = S, имеем случай, когда (p & ¬ p) принимает выделенное значение. Очевидно, что эти логики, как и классическая, являются истинностно-функциональными;
• не-истинностно-функциональный подход. Это самый известный и интенсивно исследуемый с момента появления класс паранепротиворечивых логик. Ключевая идея заключается в следующем. Берут полный позитивный фрагмент классической или интуиционистской логики и определяют отрицание не-истинностно-функциональным образом.

Рост интереса к паранепротиворечивым логикам, наблюдающийся в последнее время, объясняется их многочисленными приложениями и применениями. Важнейшим применением является исследование возможно противоречивых теорий. Это в первую очередь относится к теории множеств и формальной семантике. Уже удалось построить целый ряд паранепротиворечивых теорий множеств, в которых существует расселовское множество.