Вывод уравнения нормали к графику функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Замечание 1

Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$ .

Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:

$k_{норм}=- \frac{1}{k_{к}}= -1 \frac{1}{f’(x_0)}$ .

Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:

$y – y_0 = - \frac{1}{f’(x_0)} \cdot (x – x_0) \left(1\right)$ , здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$ .

Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$ :

Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
Затем нужно определить производную.
Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$ , найденное значение — коэффициент касательной.
Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$ .

Напомним также как выглядит само уравнение касательной:

$y – y_0 = f’(x_0) \cdot (x – x_0)$ .

Пример 1

Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$ .

Решение:

Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$ , затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$ .

Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$ : $y’(2) = 2 x = 2 \cdot 2= 4$ .

Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$ :

$y-4=-\frac{1}{4} \cdot (x – 2)$

Уравнение нормали найдено.