Уравнение -- это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной.
Например: $4x-9=x,\ \ 2\left(y+8\right)=5y-8,\ \ 3z-18=-\left(z+2\right).$
Выражение, записанное в уравнении слева от знака равенства, называют левой частью уравнения, а выражение записанное справа, - правой частью уравнения.
Число, которое удовлетворяет уравнение, называется корнем или решением уравнения. Если в уравнение $4x-9=x$ вместо переменной $x$ подставить $3,\ $то получим $9\cdot 3-9=3-$ правильное числовое равенство.
Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение -- означает найти все его корни либо доказать, что их нет.
Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения.
При решении равнений используют такие свойства:
- Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному.
- Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
- Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то самое число, отменное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида $ax=b,$ где $a$ и $b-$некоторые числа, $x-$переменная, называется линейным уравнением с одной переменной.
Возможны такие решения линейного уравнения:
Решите уравнения:
Решите уравнение:
\[7-5\left(x+1\right)=4-7x\]- Раскроем скобки: \[7-5x-5=4-7x\]
- Перенесем слагаемые, что имеют переменную в левую часть, а остальные в правую, изменив знаки на противоположные: \[-5x+7x=-7+5+4\]
- Сведем подобные слагаемые \[2x=2\]
- Решим полученное линейное уравнение \[x=2:2\] \[x=1\]
Ответ. 1.
Уравнения вида $ax^2+bx+c=0\ \ \left(a\ne 0\right)$ называется квадратным уравнением с одной переменной, $a-$коефициент при $x^2$ (первый коэффициент), $b-$коэффициент при $x$ (второй коэффициент), $c-$свободный член.
Если $b\ne 0,\ \ c\ne 0,\ $ то квадратное уравнение называется полным.
Если $a=1,\ $то квадратное уравнение называется сведенным, если $a\ne 1,$ -- несведенным. Несведенное квадратное уравнение всегда можно сделать сведенным, разделив обе части его на первый коэффициент $a\ne 0.$
Сведенные квадратные уравнения обычно записывают в виде $x^2+px+q=0.$
Корни квадратного уравнения можно найти, выделив полный квадрат двучлена с квадратного трехчлена.
Если второй коэффициент $b$ либо свободный член $c$ равняется нулю, то квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0\ $называется неполным.
Корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ находят по формуле
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]Выражение $D=b^2-4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если $D
Если $D > 0,$ то уравнение имеет два действительных корня.
Если $D=0,$ то уравнение имеет один действительный корень.
В случае, когда $D=0,$ иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение $D=b^2-4ac$, можно переписать формулу в виде
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]Если $b=2k,\ $то формула принимает вид
\[x=\frac{-2k\pm \sqrt{4k^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}\]Значит, $x=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$, где $k=\frac{b}{2}.$
Решить уравнение
\[2x^2-5x+2=0\]Решение.
Здесь $a=2,\ b=-5,\ c=2.$
Имеем
\[D=b^2-4ac={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 2=9\]Так как $D > 0,$ то уравнение имеет два корня
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}=\frac{5\pm 3}{4}\]Итак,
\[x_1=\frac{5+3}{4}=2,\ \ x_2=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}.\ \]Ответ. $\frac{1}{2},\ 2.$
Уравнения с параметрами
Если в уравнении $ax=b\ \ \ \ x-$переменная, а буква $a$ обозначает какое либо число, то говорят, что это уравнение с параметром. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:
- При $a=0$ получаем уравнение $0x=b$
- При $b=0$ корнем будет любое число
- При $b\ne 0$ уравнение корней не имеет
- При $a\ne 0$ делим обе части уравнения на $a$ (которое не равняется нулю) и получаем $x=\frac{b}{a}.$
Имеем два случая:
Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев.
Решить уравнение $5ax+3a=2ax+9a,$ где $x-$переменная.
Решение. Перенесем члены со сменной $x$ в одну часть, а без $x-$ в другую:
\[5ax-2ax=9a-3a\]Сведем подобные слагаемые
\[3ax=6a\]Для нахождения переменной $x$ мы б хотели поделить обе части уравнения на $3a,\ $но при $a=0$ мы будем делить на $0,$ что невозможно. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Можем записать так:
\[5ax-2ax=9a-3a\] \[3ax=6a\]Если $a=0,$ то $0\cdot x=0$, значит $x-$ любое число;
Если $a\ne 0,$ то $x=2.$
Ответ. При $a=0-$любое число; при $a\ne 0\ \ \ \ x=2.$
