Откладывание вектора от данной точки
Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Если точка A начала какого-либо вектора →a, то говорят, что вектор →a отложен от точки A (рис. 1).
Рисунок 1. →a отложенный от точки A
Введем следующую теорему:
От любой точки K можно отложить вектор →a и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
-
Вектор →a - нулевой.
В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор →KK.
-
Вектор →a -- ненулевой.
Обозначим точкой A -- начало вектора →a, а точкой B - конец вектора →a. Проведем через точку K прямую b параллельную вектору →a. Отложим на этой прямой отрезки |KL|=|AB| и |KM|=|AB|. Рассмотрим векторы →KL и →KM. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором →a (рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Вычитание векторов. Правило первое
Пусть нам даны векторы →a и →b.
Разностью двух векторов →a и →b называется такой вектор →c, который при сложении с вектором →b дает вектор →a, то есть
→b+→c=→aОбозначение: →a−→b=→c.
Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.
Пусть даны векторы →a и →b. Построить вектор →a−→b.
Решение.
Построим произвольную точку O и отложим от нее векторы →OA=→a и →OB=→b. Соединив точку B с точкой A, получим вектор →BA (рис. 3).
Рисунок 3. Разность двух векторов
По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что
→OB+→BA=→OAТо есть
→b+→BA=→aИз определения 2, получаем, что
→a−→b=→BAОтвет: →a−→b=→BA.
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность →a−→b нужно от произвольной точки O отложить векторы →OA=→a и →OB=→b и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.
Вычитание векторов. Правило второе
Вспомним следующее необходимое нам понятие.
Вектор →a1 называется произвольным для вектора →a, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.
Обозначение: Вектор (−→a) противоположный для вектора →a.
Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.
Для любых двух векторов →a и →b справедливо следующее равенство:
→a−→b=→a+(−→b)Доказательство.
По определению 2, имеем
Прибавим к обеим частям вектор (−→b), получим
Так как векторы →b и (−→b) противоположны, то →b+(−→b)=→0. Имеем
Теорема доказана.
Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность →a−→b нужно от произвольной точки O отложить вектор →OA=→a, затем от полученной точки A отложить вектор →AB=−→b и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.
Пример задачи на понятие разности векторов
Пусть дан параллелограмм ADCD, диагонали которого пересекаются в точке O. →AB=→a, →AD=→b (рис. 4). Выразить через векторы →a и →b следующие векторы:
а) →DC+→CB
б) →BO−→OC
Рисунок 4. Параллелограмм
Решение.
а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим
→DC+→CB=→DBИз первого правила разности двух векторов, получаем
→DB=→a−→bб) Так как →OC=→AO, получим
→BO−→OC=→BO−→AOПо теореме 2, имеем
→BO−→AO=→BO+(−→AO)=→BO+→OAИспользуя правило треугольника, окончательно имеем
→BO+→OA=→BA=−→AB=−→a