Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Вычитание векторов. Как найти разность векторов

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка A начала какого-либо вектора a, то говорят, что вектор a отложен от точки A (рис. 1).

$\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Рисунок 1. a отложенный от точки A

Введем следующую теорему:

От любой точки K можно отложить вектор a и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

  1. Вектор a - нулевой.

    В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор KK.

  2. Вектор a -- ненулевой.

    Обозначим точкой A -- начало вектора a, а точкой B - конец вектора a. Проведем через точку K прямую b параллельную вектору a. Отложим на этой прямой отрезки |KL|=|AB| и |KM|=|AB|. Рассмотрим векторы KL и KM. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором a (рис. 2)

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы a и b.

Определение 2

Разностью двух векторов a и b называется такой вектор c, который при сложении с вектором b дает вектор a, то есть

b+c=a

Обозначение: ab=c.

«Вычитание векторов. Как найти разность векторов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы a и b. Построить вектор ab.

Решение.

Построим произвольную точку O и отложим от нее векторы OA=a и OB=b. Соединив точку B с точкой A, получим вектор BA (рис. 3).

Разность двух векторов

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

OB+BA=OA

То есть

b+BA=a

Из определения 2, получаем, что

ab=BA

Ответ: ab=BA.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность ab нужно от произвольной точки O отложить векторы OA=a и OB=b и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Вектор a1 называется произвольным для вектора a, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор (a) противоположный для вектора a.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов a и b справедливо следующее равенство:

ab=a+(b)

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор (b), получим

Так как векторы b и (b) противоположны, то b+(b)=0. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность ab нужно от произвольной точки O отложить вектор OA=a, затем от полученной точки A отложить вектор AB=b и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм ADCD, диагонали которого пересекаются в точке O. AB=a, AD=b (рис. 4). Выразить через векторы a и b следующие векторы:

а) DC+CB

б) BOOC

Параллелограмм

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

DC+CB=DB

Из первого правила разности двух векторов, получаем

DB=ab

б) Так как OC=AO, получим

BOOC=BOAO

По теореме 2, имеем

BOAO=BO+(AO)=BO+OA

Используя правило треугольника, окончательно имеем

BO+OA=BA=AB=a
Дата последнего обновления статьи: 01.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Вычитание векторов. Как найти разность векторов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant