Уравнения высших степеней — это уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трём. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.
Наиболее известными схемами для решения являются:
- Формула Кардано, он подходит только для уравнений 3-ьей степени;
- Метод Феррари для уравнений 4-ой степени;
- Теорема Виета для степени больше двух;
- Теорема Безу;
- Схема Горнера.
Ниже рассмотрены основные методы решения уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами, справедливые для разных степеней.
Теорема Виета
Рассмотрим уравнение вида ax3+bx2+cx+d=0.
Данное уравнение обладает тремя корнями и для того чтобы его решить в общем виде, необходимо решить следующую систему:
{x1+x2+x3=−bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=−da
Иначе эти системы уравнений также называют формулами Виета.
Решите уравнение: x3+x2−4x−4=0.
Решение:
Составим систему уравнений:
{x1+x2+x3=−11x1⋅x2+x2⋅x3+x1⋅x3=−41=−4x1⋅x2⋅x3=−41
Решив её, получим следующие корни:
{x1=−2x2=2x3=−1
Теорема Безу
Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида a0xn+a1xn−1+a2xn−2]+...+an−1x+an=0 с ненулевым свободным членом имеет некий корень α, принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.
Алгоритм при решении уравнения с использованием теоремы Безу следующий:
- Найти и выписать все делители свободного члена.
- Проверять эти делители до тех пор, пока не будет найден хотя бы один, являющийся корнем уравнения.
- Разделить всё уравнение на (x−α) и записать само уравнение как произведение (x−α) и результата выполненного деления.
- Решить полученное после разложения уравнение.
Решите: x3+4x2+x−6=0
Решение:
Делители члена не при переменной: ±1;±2;±3;±6
Подставим 1 в корень уравнения и получим, что наше равенство выполняется:
13+4⋅12+1−6=0
Следовательно, x1=1 — один из корней уравнения. Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком:
Рисунок 1. Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:
(x−1)(x2+5x+6)=0
Решаем полученное квадратное уравнение и получаем ещё 2 корня: x2,3=−3;−2.
Схема Горнера
Схема Горнера состоит в том, чтобы также сначала найти какой-либо корень уравнения вида a0xn+a1xn−1+a2xn−2]+...+an−1x+an=0 через делители свободного члена.
После этого составляется специальная таблица с результатами деления на (x−α), в которой каждый член зависим от предыдущего. Коэффициенты из данной таблицы используются как коэффициенты в полученном от деления частного многочлене, они вычисляются по формулам:
b0=a0;b1=αb0+a1;b2=αb1+a2...bn−1=αbn−2+an−1;bn=αbn−1+an.
Рисунок 2. Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решить: x3+4x2+x−6=0.
Решение:
Делители свободного члена — ±1;±2;±3;±6
Запишем таблицу со коэффициентами:
Рисунок 3. Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Отсюда получаем, что многочлен, полученный от деления на (x−α) при α=1, равен x2+5x+6.Получается, что исходное уравнение принимает вид:
(x−1)⋅(x2+5x+6)=0.
Корни же второго многочлена будут x2,3=−2;−3.
Метод одновременного подбора по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене
Данный метод основан на следующем условии:
Несократимая дробь pq будет корнем уравнения, если числитель этой дроби является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
Алгоритм этого метода:
- Поиск делителей свободного члена.
- Поиск делителей коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
- Составление дробей и подбор решения.
Решите: 2x4+17x3−17x2−8x+6=0.
Решение:
Делители свободного члена: ±1;±2;±3;±6.
Делители коэффициента при старшем члене: 1;2.
Следовательно, как корни нужно проверить следующие значения: 1;−1;2;−2;3;−3;6;−6;12;−12;32;−32.
Подставив эти числа в уравнения, получим, что корнями уравнения являются x1=1;x2=12.
Это значит, что многочлен можно разделить на 2(x−1)(x−12)=2x2−3x+1. При выполнении деления получаем частное x2+10x+6.
Приравниваем этот многочлен к нулю и находим его корни через дискриминант, они равны x3,4=−5±√19.
