Общий метод решения уравнения Лагранжа
Предположим, что некоторое дифференциальное уравнение первого порядка $F\left(x,y,y'\right)=0$, не разрешенное относительно производной, удалось разрешить относительно $y$, то есть представить в виде $y=f\left(x,y'\right)$.
Частным случаем дифференциального уравнения такого вида является уравнение Лагранжа $y=x\cdot \phi \left(y'\right)+\psi \left(y'\right)$, в котором $\phi \left(y'\right)\ne y'$.
Дифференциальное уравнение Лагранжа решают методом введения параметра $y'=p$.
При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Выполнив дифференцирование по $x$ с учетом $dy=p\cdot dx$, после несложных алгебраических преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x\left(p\right)$ и её производной $\frac{dx}{dp} $, а именно: $\frac{dx}{dp} -\frac{\phi '\left(p\right)}{p-\phi \left(p\right)} \cdot x=\frac{\psi '\left(p\right)}{p-\phi \left(p\right)} $.
Это уравнение решается известным методом, в результате чего получим его общее решение $x=F\left(p,C\right)$.
Подставив полученный результат в соотношение $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$, получим $y=F\left(p,C\right)\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Таким образом, общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {x=F\left(p,C\right)} \\ {y=F\left(p,C\right)\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)} \end{array}\right. $.
Дополнительные частные либо особые решения уравнения Лагранжа могут быть получены в результате нахождения действительных корней уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$ и подстановки их в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Решение типичных задач
Решить дифференциальное уравнение $y=-x\cdot y'+y'^{2} $.
Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y'\right)=-y'$ и $\psi \left(y'\right)=y'^{2} $.
Вводим параметр $y'=p$ и получаем $y=-x\cdot p+p^{2} $, а также $\phi \left(p\right)=-p$ и $\psi \left(p\right)=p^{2} $.
Теперь получим уравнение вида $\frac{dx}{dp} -\frac{\phi '\left(p\right)}{p-\phi \left(p\right)} \cdot x=\frac{\psi '\left(p\right)}{p-\phi \left(p\right)} $. Для этого находим: $\phi '\left(p\right)=-1$; $\psi '\left(p\right)=2\cdot p$; $p-\phi \left(p\right)=p-\left(-p\right)=2\cdot p$.
Уравнение приобретает вид: $\frac{dx}{dp} +\frac{1}{2\cdot p} \cdot x=1$.
Применяем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:
- Стандартный вид $\frac{dx}{dp} +\frac{1}{2\cdot p} \cdot x=1$, где $P\left(p\right)=\frac{1}{2\cdot p} $, $Q\left(p\right)=1$.
- Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(p\right)\cdot dp =\int \frac{1}{2\cdot p} \cdot dp =\frac{1}{2} \cdot \ln \left|p\right|$.
- Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(p\right)}{v\left(p\right)} \cdot dp =\int \sqrt{p} \cdot dp =\frac{2}{3} \cdot p^{\frac{3}{2} } $ и получаем $u\left(p,C\right)=\frac{2}{3} \cdot p^{\frac{3}{2} } +C$.
- Получаем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $x=\left(\frac{2}{3} \cdot p^{\frac{3}{2} } +C\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{p} } =\frac{2}{3} \cdot p+\frac{C}{\sqrt{p} } $.
Записываем частное решение $v\left(p\right)=e^{-\frac{1}{2} \cdot \ln \left|p\right|} $, выполняем упрощающие преобразования: $\ln v\left(p\right)=-\frac{1}{2} \cdot \ln \left|p\right|$; $\ln \left(v\left(p\right)\right)^{2} +\ln \left|p\right|=0$; $\left(v\left(p\right)\right)^{2} \cdot \left|p\right|=1$.
Выбираем для $v\left(p\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(p\right)=\frac{1}{\sqrt{p} } $.
Подставляем полученный результат в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$. Получаем: $y=-\left(\frac{2}{3} \cdot p+\frac{C}{\sqrt{p} } \right)\cdot p+p^{2} =\frac{1}{3} \cdot p^{2} -C\cdot \sqrt{p} $.
Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {x=\frac{2}{3} \cdot p+\frac{C}{\sqrt{p} } } \\ {y=\frac{1}{3} \cdot p^{2} -C\cdot \sqrt{p} } \end{array}\right. $.
Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$: получаем $p=0$.
Подставляем $p=0$ в $y=-x\cdot p+p^{2} $ и получаем $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=\frac{1}{3} \cdot p^{\frac{3}{2} } $.
Решить дифференциальное уравнение $y=x\cdot y'\cdot \left(y'+2\right)$.
Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y'\right)=y'\cdot \left(y'+2\right)$ и $\psi \left(y'\right)=0$.
Вводим параметр $y'=p$ и получаем $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$, а также $\phi \left(p\right)=p\cdot \left(p+2\right)$ и $\psi \left(p\right)=0$.
Теперь получим уравнение вида $\frac{dx}{dp} -\frac{\phi '\left(p\right)}{p-\phi \left(p\right)} \cdot x=\frac{\psi '\left(p\right)}{p-\phi \left(p\right)} $. Для этого находим: $\phi '\left(p\right)=2\cdot p+2$; $\psi '\left(p\right)=0$; $p-\phi \left(p\right)=p-\left(p^{2} +2\cdot p\right)=-p^{2} -p$.
Уравнение приобретает вид:
$\frac{dx}{dp} -\frac{2\cdot p+2}{-p^{2} -p} \cdot x=0$ или $\frac{dx}{dp} +\frac{2}{p} \cdot x=0$.
Применяем алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка:
- Имеем стандартный вид $x'+P\left(p\right)\cdot x=0$, где $P\left(p\right)=\frac{2}{p} $.
- Вычисляем интеграл $I=\int P\left(p\right)\cdot dp =\int \frac{2}{p} \cdot dp =2\cdot \ln \left|p\right|$.
- Записываем общее решение в виде $x=C\cdot e^{-2\cdot \ln \left|p\right|} $ и выполняем упрощающие преобразования:
$\ln x=\ln \left(C\cdot e^{-2\cdot \ln \left|p\right|} \right)=\ln C-2\cdot \ln \left|p\right|=\ln \frac{C}{p^{2} } $, откуда $x=\frac{C}{p^{2} } $.
Подставляем полученный результат в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$. Получаем: $y=\frac{C}{p^{2} } \cdot p\cdot \left(p+2\right)$ или $y=C\cdot \left(1+\frac{2}{p} \right)$.
Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {x=\frac{C}{p^{2} } } \\ {y=C\cdot \left(1+\frac{2}{p} \right)} \end{array}\right. $.
Параметр $p$ из этой системы можно исключить:
$p=\frac{\sqrt{C} }{\pm \sqrt{x} } $; $y=C\cdot \left(1\pm \frac{2\cdot \sqrt{x} }{\sqrt{C} } \right)$ -- это результат решения в явной форме.
Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=-p^{2} -p=0$.
Получаем: $p\cdot \left(p+1\right)=0$, откуда имеем два корня $p=0$ и $p=-1$.
Подставляем первый корень $p=0$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем первое дополнительное решение данного уравнения $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=0$.
Подставляем второй корень $p=-1$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем второе дополнительное решение данного уравнения $y=-x$. Это решение является особым, так как не получается из общего ни при каком $C$.
