Умножение корней с одинаковыми основаниями

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Как перемножать корни?

Замечание 1

Умножение корней с одинаковыми основаниями осуществляется согласно теореме о том, что корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных чисел.

Данное правило можно использовать как для объединения чисел под одним знаком корня, так и наоборот, чтобы записать выражение в виде произведения:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Это правило применимо как для умножения квадратных корней, так и для перемножения корней с любыми другими одинаковыми основаниями (показателями).

Также оно применимо если необходимо произвести умножение числа на корень.

В этом случае в начале его нужно возвести в степень показателя корня, а затем записать под знаком корня, вот так:

$a \cdot \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Замечание 2

Умножение корней с разными показателями производить нельзя!

Пример 1

Вычислите корни:

$\sqrt{36 \cdot 64 \cdot 9}$ .
$\sqrt{7056}$ .

Решение:

$\sqrt{36 \cdot 64 \cdot 9}=\sqrt{36} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{9}=6 \cdot 8 \cdot 3 = 144$ .
$\sqrt{7056}=\sqrt{2^4+3^3+7^2}=\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 2^2 \cdot 3 cdot 7 =84$ .