Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями

Свойства обратных тригонометрических функций

Для начала напомним свойства обратных тригонометрических функции, которые будут нам необходимы при решении уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

${arcsin \left(-x\right)\ }=-arcsinx$

Рисунок 1.

${arccos \left(-x\right)\ }=\pi -arccosx$

Рисунок 2.

${arctg \left(-x\right)\ }=-arctgx$

Рисунок 3.

${arcctg \left(-x\right)\ }=\pi -arcctgx$

Рисунок 4.

Рисунок 5.

Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

1. $arcsinf(x)=arcsing(x)\Leftrightarrow$

Рисунок 6.

1. $arccosf(x)=arccosg(x)\Leftrightarrow$

Рисунок 7.

1. $arctgf(x)=arctgg(x)\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)$

2. $arcctgf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)$

3. $arctgf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f\left(x\right)g\left(x\right)=1$

4. $arcsinf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{g^2\left(x\right)+1}$

5. $arccosf(x)=arctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{g^2\left(x\right)+1}$

6. $arcsinf(x)=arctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{g^2\left(x\right)}{g^2\left(x\right)+1}$

7. $arccosf(x)=arcctgg(x)\Leftrightarrow f^2\left(x\right)=\frac{g^2\left(x\right)}{g^2\left(x\right)+1}$

Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

1. $arcsinf\left(x\right)

Рисунок 8.

1. $arccosf\left(x\right)

Рисунок 9.

1. $arctgf\left(x\right)

2. $arcctgf\left(x\right)g\left(x\right)$

Примеры задач на решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции