Понятие одночлена: основной урок алгебры
Одночленом могут называться числа, переменные, их степени и произведения: $3xy^3$.
Стандартный вид одночлена - запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.
Коэффициент одночлена - число, записанное слева в стандартной записи одночлена: $-xzy^2$. Отметим, что здесь хоть и не написано числа, но подразумевается, что числовой коэффициент равен $-1$.
Чаще всего в стандартной записи одночлена переменные располагают в алфавитном порядке.
Степень одночлена - сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.
Пример: $xy^2z^5$. Степень одночлена равна $1+2+5=8$.
Заметим, что если в одночлен не входят переменные, (то есть одночлен - число, отличное от нуля), то говорят, что степень одночлена равна нулю.
Если одночлен представляет собой само число 0, то тогда говорят, что степень одночлена не определена.
Действие над одночленами и приведение одночлена к стандартному виду
Одночлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга. Поясним на примерах.
Сложим одночлены ${3ab}^5,\ {6b}^6,{13ab}^5$
Запишем вначале сумму:
${(3ab}^5)+\left(\ {6b}^6\right)+({13ab}^5) $
Раскроем скобки:
${3ab}^5+\ {6b}^6+{13ab}^5$
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
${16ab}^5+\ {6b}^6$
Вычтем из одночлена ${6b}^6$ одночлен ${-12b}^6$
Запишем вначале разность:
$\left(\ {6b}^6\right)-({-12b}^6) $
Раскроем скобки:
${6b}^6+{12b}^6$
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
${18b}^6$
Как мы видим, результатом сложения и вычитания может быть как одночлен, так и многочлен.
Умножение. Результатом перемножения одночленов всегда получается одночлен. Одночлены перемножаются по следующей схеме:
- составляется произведение.
- раскрываются скобки.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Умножим $3xzy^2$ и $5xz^3$
Составим произведение:
$\left(3xzy^2\right)\cdot (5xz^3)$
Раскроем скобки и сгруппируем числа и переменные:
$3\cdot 5xxz^3zy^2$
Перемножим, получим:
$15x^2y^2z^4$
Еще одна операция - возведение в степень. Так как по определению, чтобы возвести число в натуральную степень, необходимо умножить это число столько раз само на себя, какой показатель степени и множитель имеется. По такому же принципу перемножаются и одночлены.
Возвести одночлен ${3ab}^5$ в третью степень.
${\left({3ab}^5\right)}^3={3ab}^5\cdot {3ab}^5\cdot {3ab}^5=3\cdot 3\cdot {3a{a{ab}^5b}^5b}^5=27{a^3b}^{15}$
Последняя операция - деление одночлена на одночлен. Результатом такого деления часто выступает рациональная дробь и только иногда получается одночлен. Для выполнения деления одночленов записывается дробь и, при возможности, проводится сокращение.
Разделим одночлен $27{a^3b}^{15}$ на одночлен $9{ab}^{13}$
Запишем дробь:
$\frac{27{a^3b}^{15}}{9{ab}^{13}}$
Сократим, получим:
$\frac{27{a^3b}^{15}}{9{ab}^{13}}=3a^2b^2$
Пример задачи на действия над одночленами
Задача.
Даны два одночлена $15x^2y^2z^4$ и $3xy^2z^2$.
- Найти степени обоих одночленов
- Сложите эти одночлены.
- Вычтите из первого одночлена второй.
- Возведите второй одночлен в квадрат.
- Перемножить одночлены.
- Разделите первый одночлен на второй.
Решение:
Степень первого одночлена: $2+2+4=8$
Степень второго одночлена: $1+2+2=5$
$\left(15x^2y^2z^4\right)+\left(3xy^2z^2\right)=15x^2y^2z^4+3xy^2z^2$
$\left(15x^2y^2z^4\right)-\left(3xy^2z^2\right)=15x^2y^2z^4-3xy^2z^2$
${\left(3xy^2z^2\right)}^2=9x^2y^4z^4$
$\left(15x^2y^2z^4\right)\left(3xy^2z^2\right)=45x^3y^4z^6$
$\frac{15x^2y^2z^4}{3xy^2z^2}=5xz^2$
